江苏省苏州市工业园区星海实验高级中学2023-2024学年高一上学期期末复习数学试题

这是一份江苏省苏州市工业园区星海实验高级中学2023-2024学年高一上学期期末复习数学试题，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A. 60B. 63C. 66D. 69
【答案】C
【解析】
【分析】将代入函数结合求得即可得解.
【详解】，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
2. 《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男了在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为米，整个肩宽约为米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之向的距离约为（ ）(参考数据：)
A. 1.612米B. 1.768米C. 1.868米D. 2.045米
【答案】B
【解析】更多优质资源可进入 【分析】
根据弧长公式求出圆心角为直角，再根据勾股定理可求得弦长.
【详解】由题得：“弓”所在的弧长为：；，
所以其所对的圆心角；
∴两手之间的距离.
故选：B.
3. 已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意得到或，计算得到答案.
【详解】，则
函数有最小值也有最大值
则或
故选：
【点睛】本题考查了三角函数的最值问题，漏解是容易发生的错误.
4. 函数的定义域为，若满足：(1)在内是单调函数；(2)存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数 是“梦想函数”，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“梦想函数”定义将问题改写为，等价转化为有2个不等的正实数根，转化为二次方程，利用根的分布求解.
【详解】因为函数是“梦想函数”，
所以在上的值域为，且函数是单调递增的.
所以，即
∴有2个不等的正实数根，令
即有两个不等正根，
∴且两根之积等于，
解得.
故选：A.
【点睛】此题以函数新定义为背景，实际考查函数零点与方程的根的问题，通过等价转化将问题转化为二次方程根的分布问题，综合性比较强.
二、多项选择题
5. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若的最小正周期是，则
B. 当时，的对称中心的坐标为
C. 当时，
D. 若在区间上单调递增，则
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解:对于A选项，当的最小正周期是，即：，则，故A选项正确；
对于B选项，当时，，所以令，解得：，所以函数对称中心的坐标为，故B选项错误；
对于C选项，当时，，，，由于在单调递增，故，故C选项错误；
对于D选项，令，解得： 所以函数的单调递增区间为：，因为在区间上单调递增，所以，解得：，另一方面，，，所以，即，又因为，所以，故，故D选项正确.
故选：AD
【点睛】本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D选项的解决先需根据正切函数单调性得，再结合和得，进而得答案.
6. 下列判断或计算正确的是（ ）
A. ，使得B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
对于A，由余弦函数的值域进行判断；对于B，利用诱导公式和三角函数的符号进行判断；对于C，利用诱导公式进行判断；对于D，利用同角三角函数的关系化简即可判断
【详解】解：对于A，由得，而，所以无解，所以A错误；
对于B，，所以B正确；
对于C， ，所以C正确；
对于D，，所以D错误，
故选：BC
7. 已知函数，，且，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用函数图象的作法，结合对数函数的图象得函数图象，从而得，且，对A进行判断，利用题目条件所得结论，结合函数的性质，对B进行判断，利用利用题目条件所得结论，结合不等式性质，对C进行判断，利用利用题目条件所得结论，结合利用基本不等式求最值，对D进行判断，从而得结论．
【详解】解：因为，，
所以由函数图象知，且．
对于A，因为，所以A不正确；
对于B,因为，且，
所以．
因为函数是单调递减函数，
所以函数的值域是，
因此，即，所以B正确；
对于C,因为，且，
所以，因此C正确；
对于D,因为，且，
所以,
当且仅当时，等号成立，
而，因此，所以D正确．
故选：BCD．
【点睛】关键点睛：本题考查了函数图象的作法，不等式性质，利用基本不等式求最值，解题的关键是画出函数图象，根据图象得出，且．
8. 已知，，，则的值可能是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
,有则且,分和打开 ，然后用重要不等式求出其最值，从而得到答案.
【详解】由，得，则且.
当时, =
=.当且仅当即 时取等号.
当时, =
=.当且仅当即 时取等号.
综上，.
故选：BCD.
【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
9. 已知函数，其中表示不超过的最大整数，下列关于说法正确的是（ ）
A. 函数为偶函数
B. 的值域为
C. 为周期函数，且周期
D. 与的图象恰有一个公共点
【答案】CD
【解析】
【分析】
A.假设函数为偶函数，则，由的图象关于对称判断； B. 根据表示不超过的最大整数，得到判断；C.易得 判断；D. 利用的值域为，分别令，，判断.
【详解】A.若函数为偶函数，则，所以的图象关于对称，而，，故错误；
B. 因为表示不超过的最大整数，所以，所以的值域为，故错误；
C. ，所以，则为周期函数，且周期，故正确；
D. 由B知：的值域为，令，解得或，当时，，当时，，此时两函数有一个公共点，令，解得或，当时，，当时，，此时两函数无公共点，令，解得或，当时，，当时，，此时两函数无公共点，综上：与的图象恰有一个公共点，故正确；
故选：CD
【点睛】关键点点睛：本题关键是理解的含义，得到，再根据余弦函数的性质即可得解.
三、填空题
10. 函数的值域为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
由得，根据可解得结果.
【详解】由得，
由得，整理得，
解得或.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用求解是解题关键.
11. 已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标依次为1，5，7，则函数的周期为________；其单调减区间为________．
【答案】 ①. 6 ②.
【解析】
【分析】
由题意可知第一个交点与第三个交点的差是一个周期，第一个交点与第二个交点的中点横坐标对应的函数值是最大值或最小值，从而可求出的值，进而可求得答案
【详解】解：因为函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标依次为1，5，7，
所以函数的周期为，得，
由题意可知1和5的中点必为函数的最小值的横坐标，
所以由五法作图法可知，，解得，
所以，
由，得，
所以函数的减区间为，
故答案为：6；
【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的解析式及三角函数的图像与性质，解题的关键是由余弦函数的图像和性质求出，从而可求出，再由五点作图法求出的值，进而可求出其单调减区间，属于中档题
12. 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度（分贝）由公式（，为非零常数）给出，其中为声音能量.当声音强度，，满足时，声音能量，，满足的等量关系式为_________；当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝，当声音强度大于60分贝时属于噪音.火箭导弹发射时的噪音分贝数在区间内，此时声音能量数值的范围是_________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由得，，利用对数的运算化简可得；根据题意列方程组解出，，从而，再利用对数函数的单调性解不等式即可.
【详解】①由题知，，
当时，有，
整理得，，
因为，所以.
②由题知，，即，
解得，，
所以.
由，得，，
因为函数为上的增函数，所以，
故火箭导弹发射时的噪音分贝数在区间内，此时声音能量数值的范围是.
故答案为：；.
13. 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面所在扇形的圆心角为____rad，此时扇面面积为____cm2．
【答案】 ①. ②. 704
【解析】
【分析】
设，，由题意可得：，解得和，进而根据扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：如图，设，，
由题意可得：，
解得：，
所以，．
故答案为：．
【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查数形结合思想的应用，属于中档题．
结论点睛：（1）扇形的面积公式：；
（2）扇形弧长公式：.
14. 已知A，B是函数的图象与函数的图象的两个不同的交点，则线段AB长度的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
求得在一个周期内的两个交点坐标，由此求得长度的最小值.
【详解】和的周期为，由得，在时，有或，记得或，不妨设，所以长度的最小值为.
故答案：
【点睛】本小题主要考查正弦函数与余弦函数，考查两点间的距离公式.
15. 已知定义在上的偶函数满足．且当时，．若对于任意，都有，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求得的值，由此求得的值.证得是周期为的周期函数，将转化为，根据的周期性和对称性，将转化为，结合求得的取值范围.
【详解】由，令，得.由于当时，，所以.故当时，.，由于为偶函数，所以.由，得，所以是周期为的周期函数.当时，，所以.所以当，.得，故.所以当时，，所以.结合是周期为的周期函数，画出的图像如下图所示.由得（），对于任意成立.时，，解得，所以，即对于任意成立.当时，由得，由于在递减，所以；由得，由于在递增，所以.综上所述，的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、周期性，考查函数解析式的求法，考查不等式恒成立问题的求解，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，综合性很强，属于难题.
16. 函数取得最大值时=_________，在区间上至少取得2次最大值，则正整数的最小值是________．
【答案】 ①. ②. 8
【解析】
【分析】将看成整体，利用正弦函数的图像即得使函数取最大值时的的值；根据求得，再结合正弦函数的图像和题设要求，得出，推理即得.
【详解】函数取得最大值时,有，即：时，函数取得最大值；
由可得：，结合正弦函数的图像可知，要使在区间上至少取得2次最大值，须使，
即，故正整数的最小值是8.
故答案为：；8.
四、解答题
17. 已知函数与.
（1）判断的奇偶性；
（2）若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）偶函数 （2）
【解析】
【分析】（1）根据奇偶性定义判断；
（2）函数只有一个零点，转化为方程只有一个根，用换元法转化为二次方程只有一个正根（或两个相等正根），再根据二次方程根分布分类讨论可得．
【小问1详解】
∵的定义域为R，
∴，∴为偶函数.
【小问2详解】
函数只有一个零点
即
即方程有且只有一个实根.
令，则方程有且只有一个正根.
①当时，，不合题意；
②当时，若方程有两相等正根，则，且，解得；满足题意
③若方程有一个正根和一个负根，则，即时，满足题意.
∴实数a的取值范围为.
18. 已知，函数
（1）若函数过点，求此时函数的解析式；
（2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将点代入可求出，进而得到解析式；
（2）由复合函数的单调性知在区间上单调递增，进而得到最大值与最小值，再由已知得到问题的等价不等式对任意恒成立，构造新函数，求最值可得出答案.
【小问1详解】
解：因为函数过点，
即，
解得，
故；
【小问2详解】
因为是复合函数，设，，
，在区间单调递增，单调递增，
故函数在区间上单调递增，，
由题意对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
设，，只需即可，
因为的对称轴为，图像是开口向下的抛物线，
故在单调递减，
故，
故.
19. 已知函数
（1）当 时，求在区间上的值域;
（2）函数，若对任意，存在，且，使得 ，求的范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用定义法求解函数在区间上的单调性，根据单调性求解值域即可；
（2）根据题意判断函数在区间上不单调，由此可判断，利用定义法证明当时，函数在区间上单调递增，且在区间的最大值，最小值，分类讨论的取值范围，列不等式组即可求解.
【小问1详解】
解：当时，，
在区间上任意取两个值，令，
则，
因为，所以，故函数在区间上单调递增，
又，
所以在区间上的值域为.
【小问2详解】
解：因为对任意，存在，且，使得 ，所以函数在区间上不单调，
又，
在区间上任意取两个值，令，
则，
当，时，，函数在区间上单调递增，不满足题意，故，
当时，，故，则函数在区间上单调递增，
则，
当时，函数，故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则，
故，解得；
当时，,在区间上单调递减，不满足题意；
当，时，，对称轴为，且，
则，
故，解得，与矛盾，故不满足题意；
当时，，在区间上单调递增，不满足题意.
综上，的范围为.
20. 已知函数，，其中.
（1）若，，求的单调区间；
（2）对于给定的实数，若函数存在最大值，
（i）求证：；
（ii）求实数的取值范围（用表示）.
【答案】（1）增区间为，减区间为.
（2）（i）证明见解析，（ii）.
【解析】
【分析】（1）由题意，写出分段函数解析式，根据二次函数的性质，可得答案；
（2）根据绝对值的定义，分类讨论研究，根据二次函数的性质，可得答案.
【小问1详解】
，时，，
当，，对称轴为，
单调增区间为，减区间为；
当时，，对称轴为，单调增区间为.
综上可得，的增区间为，减区间为.
【小问2详解】
（i）
由最大值为，可得，
（ii）
当时，，
由二次函数的图象开口向上，可得的最大值在端点处取得.
即有为最大值，，，
由，且，则，解得；
当时，：
①当时，，由的最大值为，
可得，且，，
解得；
②
当时，，
由最大值，则，，即有.
综上可得，，