北师大版数学高二选择性必修第一册 期中模拟卷(二)(原卷+解析卷）

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章、第二章、第三章
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一个焦点的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．圆心为且过点的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．两条不同直线的方向向量分别为，则这两条直线（ ）
A．平行B．垂直C．异面D．相交或异面
4．在梯形中，，且和所在直线的方程分别是与，则梯形的面积为（ ）
A．9B．18C．D．
5．若双曲线的焦点与椭圆的长轴端点重合，则的值为（ ）
A．2B．4C．D．
6．如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（ ）

A．B．C．D．
7．若平面内两定点，间的距离为2，动点满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0
9．已知点到直线的距离为1，则的值可以是（ ）
A．5B．10C．D．15
10．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量B．与同向的单位向量是
C．和夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是
11．已知两圆，则下列结论正确的是（ ）
A．若两圆相切，则
B．若两圆有三条公切线，则
C．若两圆在交点处的切线互相垂直，则
D．若两圆的公共弦所在直线方程为，则
12．已知双曲线的上焦点为，过焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分
13．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图1是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，在其直观图中建立如图2所示的空间直角坐标系，则点的坐标为 .

14．若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为 .
15．已知椭圆的右焦点为外的一点满足（为坐标原点），过点的直线与交于两点，且，若直线的斜率之积为，则 ．
16．已知空间一个平面与一个正方体的12条棱所成的角都等于， 则= .
第Ⅱ卷
四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．求适合下列条件的曲线的标准方程.
(1)实轴长为，焦点坐标为，求双曲线的标准方程；
(2)焦点在轴正半轴上，且焦点到准线的距离是的抛物线的标准方程.
18．四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点．

(1)求异面直线DE与PA所成角的余弦值；
(2)证明：平面PAD，并求点E到平面PAD的距离．
19．已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上.
(1)求圆C的方程；
(2)过点的直线l与圆C交于P，Q两点，如果，求直线l的方程.
20．如图，直三棱柱的侧面为正方形，分别为的中点.

(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
21．已知椭圆方程为，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)对于，是否存在实数k，使得直线分别交椭圆于点P，Q，且，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
22．在平面直角坐标系中，已知原点和点，圆
(1)求圆在轴上截得的线段长度
(2)若，为圆上两点，若四边形的对角线的方程为，求四边形面积的最大值；
(3)过点作两条相异直线分别与圆相交于两点，若直线，的斜率分别为，，且，试判断直线的斜率是否为定值，并说明理由.