河南省九师联盟2025届高三下学期二模考试 数学试卷（含解析）

这是一份河南省九师联盟2025届高三下学期二模考试 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，在复平面内，复数与对应的点关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
3．如果是实数，那么“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知是减函数，则函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
5．若函数在区间内仅有一个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．张某经营、两家公司，张某随机到公司指导与管理，已知他第1个月去公司的概率是.如果本月去公司，那么下个月继续去公司的概率为；如果本月去公司，那么下个月去公司的概率为，如此往复.设张某第个月去公司的概率为，则（ ）
A．B．
C．D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，过且斜率为的直线与在第一象限的交点为，的角平分线与线段交于点，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数定义在上，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（ ）
A．
B．
C．的解集为
D．
11．已知函数，，则（ ）
A．是一个周期函数
B．，
C．方程在区间上有4个不同的解
D．，使得
三、填空题（本大题共3小题）
12．若的展开式中的常数项为，则 .
13．已知是第三象限角，，则 .
14．已知为抛物线上的动点，，为圆上的两个不同点，若恰为圆的一条直径，则的最小值为 ；若，均与圆相切，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．某校开设校本课程“剪纸”，为了解学生参加该课程与性别是否有关，用简单随机抽样的方法分别从男生和女生中各抽取了50名学生进行调查，得到如下列联表：
(1)补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析参加“剪纸”课程是否与性别有关联；
(2)以样本估计总体，且以频率估计概率，若从该校女生中随机抽取3人，记其中参加“剪纸”课程的人数为，求的期望.
附：，其中.
16．已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)记的前项和为，求证：.
17．已知椭圆的离心率为，且经过点.
(1)求的方程；
(2)已知，分别为的左、右顶点，为的上顶点，直线交于，（不同于，）两点，记直线，的斜率分别为，，若，求到的距离的最大值.
18．如图1，在半径为2的扇形中，，是弧上的动点（不含，），过点作，交于点.当的面积取得最大值时，将扇形沿着折起到，使得平面平面（如图2所示）.
(1)求图2中的长度；
(2)求图2中直线与所成角的余弦值；
(3)探究在图2中的线段上是否存在点，使得四面体内切球的半径为？并说明理由.
19．设，定义为的“函数”.
(1)设为的“函数”，若，，求曲线在点处的切线方程；
(2)设为的“函数”.
（ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围；
（ⅱ）若，方程有两个根，，且，求证：.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，，，
所以是方程的根，则，解得，
故，合乎题意，故.
故选C.
2．【答案】D
【详解】在复平面内，对应的点为，
而关于直线对称的点为，则，所以.
故选D.
3．【答案】A
【详解】当时，不妨设，则.而当时，可能，此时，而.综上所述“”是“”的充分不必要条件.
4．【答案】B
【详解】因为是减函数，且是增函数，
所以，
因为，
又当时，，
所以函数的图象是对称轴为直线，顶点为，开口向上的抛物线的一部分，只有选项B符合题意.
故选B.
5．【答案】C
【详解】法1：因为，
令，解得或；
令，解得，
所以在上单调递增，
要满足函数在区间内仅有一个零点，
则，，解得.
故选C.
法2：由题意，关于的方程在内仅有一个解，
而，，
令，解得或；
即在上单调递增，原问题等价于.
故选C
6．【答案】B
【详解】如图所示，取的中点，连接，，，
在正方体中，可得且，
因为，分别是棱的中点，则且，
所以四边形为平行四边形，则，
又因为平面，平面，所以平面，
同理可证：平面，
因为，且平面，所以平面平面，
又因为平面，当时，则平面，所以平面，所以点在侧面内的轨迹为线段，
因为正方体的边长为，可得，，
在中，可得，且，
则，所以的最小值为.
故选B.
7．【答案】A
【详解】设表示第个月去公司，则，，
根据题意，得，，
由全概率公式，得
，
即，整理得，
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则.
故选A.
8．【答案】D
【详解】设的半焦距为，
因为双曲线的渐近线方程为，
所以，故，.
设，，，
由余弦定理有，
化简得，则，
因为为的角平分线，
所以，又，
所以，
所以.
故选D.
9．【答案】ABD
【详解】对于A项，因为是减函数，而，所以，故A项正确；
对于B项，因为在上单调递增，而，所以，故B项正确；
对于C项，，因为，，，所以，即，故C项错误；
对于D项，，因为，，，所以，即，故D项正确.
故选ABD.
10．【答案】BCD
【详解】因为为偶函数，所以，则的图象关于直线对称，
又因为为奇函数，所以，
等价于，所以的图象关于点对称，
由，得到，又，
所以，则，所以的周期为，
又当时，，则时，，时，，
时，，的部分图象如图所示.
对于选项A，因为，故选项A错误，
对于选项B，由，得到，又，
所以，则，
所以的周期为，，又，所以，
则，故选项B正确，
对于选项C，由图象知，当时，由得到，
又的周期为，则时，，，故选项C正确，
对于选项D，因为，所以，故选项D正确，
故选BCD.
11．【答案】BC
【详解】对于A项，因为是偶函数，不是周期函数，是偶函数，也是周期函数，故不是周期函数，故A项错误；
对于B项，因为，，，故B项正确；
对于C项，当时，方程可化为.
当时，，此时满足方程；
当时，此时或满足方程；
当时，，此时满足方程，故C项正确；
对于D项，令，则，；令，则，，因为等号不能同时取得，故D项错误.
故选BC.
12．【答案】1
【详解】法1：因为的展开式的通项，
令，解得，所以常数项为，解得.
法2：的展开式中，常数项为从4个因式中1个取，
其余3个取，即常数项为，由，解得.
13．【答案】
【详解】法1：因为，所以，因为是第三象限角，所以，则.
法2：因为，所以，因为是第三象限角，所以，则，所以
14．【答案】
【详解】圆的圆心为，半径，
设，则，，
（时取等号）.
所以，
当为圆的一条直径时，，，
所以，
当且仅当点的坐标为时等号成立，
所以的最小值为.

当，均与圆相切时，则，
设，则，
所以，
因为函数在上单调递增，，
所以当时，即点的坐标为时，取最小值，最小值为.

15．【答案】(1)列联表见解析，认为参加“剪纸”课程与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.050.
(2)
【详解】（1）列联表如下：
零假设为：参加“剪纸”课程与性别无关联，
则，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为参加“剪纸”课程与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.050.
（2）由表格中的数据知，从女生中抽取1人，其参加“剪纸”课程的概率为，
的可能取值为0，1，2，3，且，
所以.
16．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题设条件，可得若，则，
用反证法，假设，由题设条件，显然，这与已知条件矛盾，所以.
因为，所以，，，所以，，
由得，所以，
又，所以是首项、公比均为的等比数列.
所以，则.
（2）显然时，成立，
当时，，所以，所以，
所以，即，所以，
所以.
综上，，得证.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，得， 解得，，
所以的方程为；
（2）由，不同于，，当直线垂直于轴时，与异号，不满足题意，
所以直线不与轴垂直，设其方程为，，，
联立，得，
，即，
则，.
又因为，，所以，，直线的斜率，
由在上，得，即，
因此，
因为，所以，
由
，解得，
此时，对任意实数恒成立，
直线的方程为，所以直线过定点，
又因为，则当时，点到直线的距离取得最大值，
即点到直线的距离的最大值为.
18．【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）图中，因为，，所以，
设，则，
在中，由正弦定理，得，
即，所以.
所以，
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值，
此时，所以的长度为.
（2）如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
所以，
设直线与所成的角为，
则，
所以直线与所成角的余弦值为.
（3）由（2）知，，
，，
所以，，
，
所以四面体的表面积为
设四面体内切球的半径为，
则四面体的体积，
解得，因为，所以，
所以在线段上不存在点，使得四面体内切球的半径为.
19．【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【详解】（1）由题意，得，则，所以切点为，
又因为，所以，
所以曲线在点处的切线斜率为，
所以切线方程为，即.
（2）（ⅰ）由题，可得，定义域为，
则，
因为是的极小值点，则，
则 ，
若，令，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，不满足题意；
若，令，令，
则在上单调递增，在，上单调递减，
所以是的极大值点，不满足题意；
若，则，
所以在上单调递减，无极值，不满足题意；
若，令，令，
则在上单调递增，在，上单调递减，
所以是的极小值点，满足题意；
综上，是的极小值点时，的取值范围为.
（ⅱ）由题，
设，抛物线的对称轴为直线，
因为方程有两个正根，，所以，解得，
由题意知，得.
因为，，所以，
，
令，
则，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增，
因为，所以，
由，，得，
因为，所以，所以，则，
所以，所以，所以，
所以，即.
性别
课程
合计
参加“剪纸”课程
不参加“剪纸”课程
男生
10
女生
30
50
合计
0.050
0.025
0.010
3.841
5.024
6.635
性别
课程
合计
参加“剪纸”课程
不参加“剪纸”课程
男生
10
40
50
女生
20
30
50
合计
30
70
100