2024-2025学年广东省中山市高一数学下学期期末考试（附答案）

这是一份2024-2025学年广东省中山市高一数学下学期期末考试（附答案），共22页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，5B， 已知，则， 已知复数，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷共6页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校､班级､姓名､考场号､座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （）
A. B. C. D.
2. 已知为不共线向量，，则（）
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
3. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，则
4. 某地政府对在家附近工作的年轻人进行了抽样调查，得到他们一年能在家陪伴父母的天数，并绘制成如下图所示的频率分布直方图，则样本中位数约为（）
A. 150.5B. 152.5C. 154.5D. 156.5
5. 已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率．先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4，5表示击中目标，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数：
169 966 151 525 271 937 592 408 569 683
471 257 333 027 554 488 730 863 537 039
据此估计的值为（）
A. 0.6B. 0.65C. 0.7D. 0.75
6. 如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，已知，则（）
A. B. C. D.
7. 已知，则（）
A. B. C. D.
8. 设长方体对角线与顶点出发的三条棱所成的角分别为、、，与顶点出发的三个面所成的角分别为、、，下列四个等式：其中正确的是（）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则（）
A. B.
CD.
10. 下列化简正确的是（）
A. B.
C. D.
11. 如图，已知二面角的棱l上有A，B两点，，，，，且，则下列说法正确的是（）．
A. 当时，直线与平面所成角的正弦值为
B. 当二面角的大小为时，直线与所成角为
C. 若，则二面角的余弦值为
D. 若，则四面体的外接球的体积为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度后，所得图象与函数的图象重合，则___________．
13. 在中，内角A，B，C的对边分别为，且，，，符合条件的三角形有两个，则实数的取值范围是_____
14. 记一组数据平均数为，方差为，则数据的平均数为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知平面向量，满足，，.
（1）求；
（2）若向量与夹角为锐角，求实数的取值范围.
16. 第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分（包括2分），即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10：10后，每人发一个球就要交换发球权．
（1）已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率；
（2）已知某局比赛中双方比分为8：8，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率．
17. 已知函数.
（1）解不等式；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.
18. 如图，为半球直径，C为上一点，P为半球面上一点，且．
（1）证明：；
（2）若，，求直线与平面所成的角的正弦值．
19. 在中，，点D在边上，且
（1）若的面积为，求边的长；
（2）若，求.
数学试卷答案
本试卷共6页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校､班级､姓名､考场号､座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知结合诱导公式及两角和的正弦公式进行化简即可求解．
【详解】解：．
故选：．
2. 已知为不共线向量，，则（）
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
【答案】A
【解析】
【分析】运用向量的加法运算，求得，从而得出结论.
【详解】因为，所以三点共线，
故选：A．
3. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间中线面、面面的位置关系判断即可.
【详解】对于A：若，，则或与相交，故A错误；
对于B：若，则或，故B错误；
对于C：若，，则，故C正确；
对于D：若，则或，故D错误.
故选：C
4. 某地政府对在家附近工作的年轻人进行了抽样调查，得到他们一年能在家陪伴父母的天数，并绘制成如下图所示的频率分布直方图，则样本中位数约为（）
A. 150.5B. 152.5C. 154.5D. 156.5
【答案】B
【解析】
【分析】先根据频率之和为1求出未知数，再找到频率之和为0.5所在的区间即可根据频率分布直方图进行求解中位数.
【详解】依题意，，解得，
显然，，
所以样本中位数为.
故选：B
5. 已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率．先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4，5表示击中目标，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数：
169 966 151 525 271 937 592 408 569 683
471 257 333 027 554 488 730 863 537 039
据此估计的值为（）
A. 0.6B. 0.65C. 0.7D. 0.75
【答案】B
【解析】
【分析】由20组随机数中找出至少2次击中目标包含的随机数的组数，即可求概率的值.
【详解】20组随机数中至少2次击中目标的包含的随机数为：
151 525 271 592 408 471 257 333 027 554 730 537 039
一个有组，
所以其3次射击至少2次击中目标的概率，
故选：B.
6. 如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据锐角三角函数定义，结合正方形的性质、平面向量基本定理进行求解即可.
【详解】过作，垂足为，设大正方形的边长为1，设小正方形的边长为，
因为，所以，所以，由勾股定理可知：
，即，
，
，
因此由平面向量基本定理可知：，
因为，所以
，
故选：C
7. 已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，求得，结合，代入即可求解.
【详解】因为，可得，
则，
.
故选：A.
8. 设长方体的对角线与顶点出发的三条棱所成的角分别为、、，与顶点出发的三个面所成的角分别为、、，下列四个等式：其中正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在图中找到，，及，，所对应的角，在直角三角形中应用正余弦化简整理，即可求出结果.
【详解】连接，，，，，，如下图
由题知：，，，
因为平面，平面，平面，
得：，，，
对于A项：
，故A项错误.；
对于B项：
，故B项错误；
对于C项：
，故C项错误;
对于D项：
，故D项正确.
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由，结合每个选项计算可判断其正确性.
【详解】因为，所以，所以，故A正确；
所以，所以，故B不正确；
，故C不正确；
，故D正确.
故选：AD.
10. 下列化简正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式，结合特殊角的三角函数值，逐项化简判断即得.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD
11. 如图，已知二面角的棱l上有A，B两点，，，，，且，则下列说法正确的是（）．
A. 当时，直线与平面所成角的正弦值为
B. 当二面角的大小为时，直线与所成角为
C. 若，则二面角的余弦值为
D. 若，则四面体的外接球的体积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由面面垂直的性质得线面垂直，即可求直线与平面所成角的正弦值即可判断A；根据二面角判断B，C即可；由四面体外接球的几何性质确定外接球半径，即可判断D.
【详解】对于A，当时，因为，，所以直线与平面所成角为，
则，故A正确；
对于B，如图，过A作，且，连接，，
则为正方形，即为直线与所成角，为二面角的平面角，
当时，易得，
又，，故面，即面，故，故B正确；
对于C，如图，作，则二面角的平面角为，
又，在中，易得，
在．中，由余弦定理得，，
过C点作交线段的延长线于点O，则平面，
过O点作，交线段的延长线于点H，连接，
则为二面角的平面角，
易得，，，
所以，故C错误；
对于D，同选项C可知，
如图，分别取线段，的中点G，M，连接，过G点作平面的垂线，
则球心O必在该垂线上，设球的半径为R，则，
又的外接圆半径，则，
所以四面体的外接球的体积为，故D正确．
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度后，所得图象与函数的图象重合，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】转化为函数的图象上所有的点向左平移个单位长度后，得到的图象与函数的图象重合，从而可得答案.
【详解】因为函数的图象上所有的点向右平移个单位长度后，得到的图象与函数的图象重合，
所以函数的图象上所有的点向左平移个单位长度后，得到的图象与函数的图象重合，
即，
所以，
因为，∴，
故答案为：
13. 在中，内角A，B，C的对边分别为，且，，，符合条件的三角形有两个，则实数的取值范围是_____
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理，构造关于c的方程，利用根的分布求出x的范围.
【详解】在中，，，，
由余弦定理得：，即
因为符合条件的三角形有两个，所以关于c的方程由两个正根，
所以，解得：.
故实数的取值范围是.
故答案为：
14. 记一组数据的平均数为，方差为，则数据的平均数为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据平均数、方差公式计算可得.
【详解】因为的平均数为，方差为，
所以，，
即，
即，
即，即，
所以，
所以数据的平均数为.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知平面向量，满足，，.
（1）求；
（2）若向量与夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】(1)由给定条件求出，再根据向量模的计算公式即可得解；
(2)根据向量夹角为锐角借助数量积列出不等关系即可作答.
【详解】（1）依题意，，得，
，
所以；
（2）由向量与的夹角为锐角，可得，即有，解得，
而当向量与同向时，可知，
综上所述的取值范围为.
16. 第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分（包括2分），即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10：10后，每人发一个球就要交换发球权．
（1）已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率；
（2）已知某局比赛中双方比分为8：8，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题可知两局比赛就能结束，则只能甲连胜两局，然后根据独立事件概率公式即得；
（2）由题可知甲得11分获胜有两类情况：甲获胜或甲获胜，然后结合条件根据独立事件概率公式即得.
【小问1详解】
设“甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛”为事件，
若两局比赛就能结束，则只能甲连胜两局，
所以；
【小问2详解】
设“该局比赛甲得11分获胜”为事件，
甲得11分获胜有两类情况：甲连得3分，则甲获胜；
甲得3分，乙得1分，则甲获胜，此时有三种情况，每球得分方分别为乙甲甲甲，甲乙甲甲，甲甲乙甲，
所以.
17. 已知函数.
（1）解不等式；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用和角的正弦、二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质解不等式即得.
（2）令，结合分离参数，利用函数单调性求出实数的取值范围.
【小问1详解】
依题意，
，由，得，
则，解得，
所以不等式的解集为.
【小问2详解】
由，得，
由，得，即有，
令，，
原不等式化为，即，显然函数在上单调递增，
则当时，，因此，
所以取值范围.
18. 如图，为半球的直径，C为上一点，P为半球面上一点，且．
（1）证明：；
（2）若，，求直线与平面所成的角的正弦值．
【答案】（1）见解析；
（2）.
【解析】
【分析】(1)由,可得平面，进而可得，又由于,所以可得平面，即可得；
(2)利用等体积法求得点到平面的距离为，设直线与平面所成的角为，则有，即可得答案.
【小问1详解】
证明：因为为半球的直径，C为上一点，
所以,
又因为，
，
平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又因为P为半球面上一点，
所以,
,
平面，
所以平面，
平面，
所以；
【小问2详解】
解：因为三角形为直角三角形，
，
所以，
又因为，平面，
所以，
又因为三角形也是直角三角形，
所以.
所以，
，
设点到平面的距离为，
则有,
即,
所以,
设直线与平面所成的角为，
则.
19. 在中，，点D在边上，且
（1）若的面积为，求边的长；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由三角形面积公式首先可以求得的长度，然后在中，运用余弦定理即可求解.
（2）设所求角，根据已知条件把图中所有角都用含有的式子表示出来，再设，在和分别运用正弦定理，对比即可得到关于的三角方程，从而即可得解.
【小问1详解】
在中，由题意有,
且注意到，，
所以有，解得，
如图所示：
在中，由余弦定理有，
代入数据得，
所以.
小问2详解】
由题意，所以设，
则，
设，
在中，由正弦定理有，
代入数据得，
在中，由正弦定理有，
代入数据得，
又，
所以以上两式相比得，即，
所以有，
所以，
所以，或
又，且，
所以，
所以解得或.