黑龙江省大庆第一中学2024-2025学年高一下学期第二阶段考试数学试卷（Word版附解析）

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试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ， ，则
C. 若非零向量 与 是共线向量，则 、 、 、 四点共线
D. 若 ， 均为非零向量，则
2. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，则 （ ）
A. B.
C. 1 D.
3. 已知 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则 （ ）
A. 25 B. 5 C. 4 D.
5. 如图，在 中， 为 中点， 在线段 上，且 ，则 （ ）
A B.
C D.
6. 如图，为了测量河对岸的塔高 ，某测量队选取与塔底 在同一水平面内的两个测量基点 与 ．现
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测量得 ， 米，在点 ， 处测得塔顶 的仰角分别为 ， ，则塔高 （ ）
A. 15 米 B. 米
C. 30 米 D. 米
7. 已知 的外接圆圆心为 ，且 ， ，则向量 在向量 上的投影向
量为（ ）
A. B. C. D.
8. 下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则存在唯一实数 使得
B. 若 ，则 或
C. 若平面向量 ， ， 两两的夹角相等，且 ， ，则
D. 若非零向量 ， 满足 ，则
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， ，则下列结论正
确的是（ ）
A. 是锐角三角形 B.
C. 的面积为 D. 若 为 中点，则
10. 已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
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A. 若 ，则
B. 若 ，则 是钝角三角形
C. 若 ，则 为等腰三角形
D. 若 ， ，这样的三角形有两解，则 的取值范围为
11. 已知矩形 中， 、 交于点 ， ， ，点 是矩形 所在平面内 一点，
且满足 ， ．则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的最大值是为
C. 的最小值为 D. 的最大值为 40
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ， ．则 ________
．
13. 已知平行四边形 中，A、B、C 的坐标分别为 ，则点 D 的坐标为________．
14. 在锐角 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．且 ．则 的取值范围
是________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设 ， ，向量 ， ， ，且 ， ．
（1）求 ；
（2）求向量 与 夹角的余弦值．
16. 如图，等腰梯形 中， ， ， ．
（1）求 ；
（2）求 ．
17. 在 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 ．
（1）求角 B 大小；
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（2）若 ，D 为 边上的一点， ，且______，求 的面积．
请在下列两个条件中选择一个作 条件补充在横线上，并解决问题．
① 是 的平分线；②D 为线段 的中点．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）
18. 用向量方法证明：
（1）如图（i），在 中，点 ， 分别是 ， 边的中点， ， 分别与 交于 ，
两点，求证： ；
（2）对于任意的 ，恒有不等式 ；
（3）如图（ii），直线 与 的边 ， 分别相交于点 ， ．设 ， ， ，
，求证： ．
19. “费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马
点，当 的三个内角均小于 时，使 的点 即为费马点．已知
中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ，点 是
的费马点．
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积；
（3）求 周长的取值范围．
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