黑龙江省大庆第一中2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份黑龙江省大庆第一中2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试卷（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
出题人：杨继 审题人：孙凤林
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
2. 若，则（ ）
A. 380B. 190C. 188D. 240
3. 函数的单调减区间是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数，其中.则使函数不存在极值的有序数对共有（ ）对.
A. 7B. 8C. 9D. 10
5. 已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 甲校3人、乙校2人、丙校1共6人站成一排合影，要求同校人员不相邻，则不同排法共有（ ）
A. 48 种B. 96 种C. 120 种D. 144种
8. 已知函数，，若函数的图象与函数的图象在交点处存在公切线，则函数在点处的切线在y轴上的截距为 （ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 若，则
B. 已知函数，若，则
C. 若，则
D. 曲线上点处切线的倾斜角的取值范围是
10. 下列说法正确是（ ）
A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种
B. 有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60
C. 从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法
D. 6本不同的书，分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法
11. 已知函数在R上可导且，其导函数满足：，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数有且仅有两个零点
B. 函数有且仅有三个零点
C. 当时，不等式恒成立
D. 在上的值域为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 某莲藕种植塘每年固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元.种植x万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕______万千克.
13. 函数有且只有3个零点，则实数的取值范围是______．
14. 已知函数在R上的导函数为，对于任意的实数x都有，当时，，若，则实数a的取值范围是________．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 设为实数，函数
（1）求函数的极值与单调增区间；
（2）若曲线与轴仅有且只有一个交点，求实数的取值范围．
16. 如图，已知四棱柱中，四棱锥是正四棱锥，，，分别为中点．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若平面经过且与平行，求点到平面距离．
17. 已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
18. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；
（3），关于的不等式恒成立，求正实数的取值范围.
19 已知函数（）.
（1），求证：；
（2）证明：.()
大庆一中2023级高二年级下学期第二次月考
数学试卷
出题人：杨继 审题人：孙凤林
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出函数的平均变化率和瞬时变化率，解方程可得结果.
【详解】易知平均变化率，
可得，瞬时变化率为，
因此，解得.
故选：A
2. 若，则（ ）
A. 380B. 190C. 188D. 240
【答案】B
【解析】
【分析】利用组合数的性质求出，再求出答案.
【详解】由，得，所以.
故选：B
3. 函数的单调减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求导，令，解不等式即可.
【详解】，定义域为，，
令，解得.
故答案为：D
4. 已知函数，其中.则使函数不存在极值的有序数对共有（ ）对.
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】由题设，根据得，进而列举出所有数对，即可得.
【详解】由题设，要使函数不存在极值，只需，
所以，满足的有序数对为，共10对.
故选：D
5. 已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的图象可得是函数的极小值点，求出值，再解不等式.
【详解】观察图象知，是函数的极小值点，求导得，
则，解得，当时，；当时，，
则是函数的极小值点，，，
不等式，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B
6. 已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得，易知在区间上单调递增，由在区间上有最小值，可得，即可求解.
【详解】由题意得，
易知在区间上单调递增，
若在区间上有最小值，
则，即，解得.
这时存在，使得在上单调递减，在上单调递增，
即函数在上有极小值，也是最小值，
所以的取值范围是.
故选：A.
7. 甲校3人、乙校2人、丙校1共6人站成一排合影，要求同校人员不相邻，则不同排法共有（ ）
A. 48 种B. 96 种C. 120 种D. 144种
【答案】C
【解析】
【分析】根据甲校3人不相邻分类讨论他们的位置，结合分类加法计数原理和分步计数原理进行求解即可.
【详解】因为甲校3人不相邻排列，所以有以下情形的排列方式：
第一类，甲校3人分别在第一、第三、第五个位置，则有种排法；
第二类，甲校3人分别在第一、第三、第六个位置，则有种排法；
第三类，甲校3人分别在第一、第四、第六个位置，则有种排法；
第四类，甲校3人分别在第二、第四、第六个位置，则有种排法；
因此不同排法共有种，
故选：C
8. 已知函数，，若函数的图象与函数的图象在交点处存在公切线，则函数在点处的切线在y轴上的截距为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设交点为，分别求出，的导数，由题意得切线的斜率相等且切点重合，得到m，a的方程，消去a，可得，令，运用求得，判断单调区间，即可得到，进而得到a的值，再求的导数和在处的切线斜率和切点，求得切线方程，令，即可得到所求截距.
【详解】设交点为，且的导数为，的导数为，
由题意，且，消去a得：，
令，，
当时，递增；当时，递减.
∴处取得极小值，也为最小值为0，则，解得，
代入，可得，即有，
∴，则在处的切线斜率为，切点为
∴在处的切线方程为，令，可得.
故选：C.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 若，则
B. 已知函数，若，则
C. 若，则
D. 曲线上点处切线的倾斜角的取值范围是
【答案】BC
【解析】
【分析】利用导数公式求导可判断ABC选项，根据导数和倾斜角的关系和正切函数图象判断D选项.
【详解】A选项，是个常数，故，A错误；
B选项，，令，解得，B正确；
C选项，是常数，所以，令得，解得，C正确；
D选项，，即，又因为，所以，D错误.
故选：BC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种
B. 有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60
C. 从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法
D. 6本不同的书，分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法
【答案】ACD
【解析】
【分析】A应用分步乘法求不同投法数；B应用组合数求不同选法数；C应用间接法，先求任选4人的选法数，再求出全是男生或女生的选法数，最后作差求不同选法数；D应用平均分组法求分给甲、乙的方法数，对于丙、丁只需将最后2本作全排，即可判断.
【详解】A：由每封信都有3种投法，则5封信有种投法，对；
B：在5人中确定3人去参观，没有排序要求，故有种，错；
C：从10人中任选4人有种，若4人全是男生有种，若4人全是女生由1种，所以共有种，对；
D：先选2本有种，从余下的书再选2本有种，进而分给甲、乙，余下的2本分给丙、丁有，所以共有种，对.
故选：ACD
11. 已知函数在R上可导且，其导函数满足：，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数有且仅有两个零点
B. 函数有且仅有三个零点
C. 当时，不等式恒成立
D. 在上的值域为
【答案】AC
【解析】
【分析】对A：构造函数，根据题意求得，令即可求解后判断；对B：对求导分析其单调性，结合零点存在定理，即可判断；对C：对x的取值分类讨论，在不同情况下研究函数单调性和最值，即可判断；对D：根据B中所求函数单调性，即可求得函数值域.
【详解】令，则，故（为常数），，，
.
令，解得或，
故函数有且仅有两个零点，选项A正确；
，
∴令得；令得，
和上单调递增，在上单调递减.
，，，
∴存，使得；
又，∴存在，使得；
当时，，∴不存在使得.
综上所述，有且仅有两个根，即有两个零点，故选项B错误；
，∴.
当时，，.
令，则，
故在上单调递增，，满足题意；
当时，也满足不等式.
综上所述，当时，不等式恒成立，故选项C正确；
由B知在上单调递减，在上单调递增，且，，，故函数在上的值域为，故选项D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性、零点、不等式恒成立和值域问题；其中解决问题的关键是能够构造函数，准确求出的解析式，属难题.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元.种植x万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕______万千克.
【答案】5
【解析】
【分析】根据题设有利润且，再应用导数求其最值，即可得.
【详解】由题意，利润且，
所以，则，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
所以万千克，利润最大.
故答案为：5
13. 函数有且只有3个零点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数中各段函数的单调性，分成，两种情况并结合导数进行讨论即可.
【详解】当时，时，，，
当时，；当时，；
所以在单调递减，在单调递增，
所以当时，取最小值.
函数有且只有3个零点，又在上单调递增，
所以，在有两个零点且此时，
而在上有一个零点，
如图，
所以，解得，且，所以．
所以.
当时，时，，，
故在上单调递增，且此时，
又在上恒成立，所以此时不合题意.
综上，，即.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数零点个数求参数范围常用的方法：
（1）分离参数法：通常解法为从中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分类讨论法：通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.
14. 已知函数在R上的导函数为，对于任意的实数x都有，当时，，若，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】首先设，结合已知条件得到在为减函数，在为增函数，再将转化为，利用的单调性求解不等式即可.
【详解】设，，
因为当时，，所以，为增函数.
又因为，所以.
所以， 即为偶函数.
所以在为减函数，在为增函数.
因为
，
所以，解得或.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 设为实数，函数
（1）求函数的极值与单调增区间；
（2）若曲线与轴仅有且只有一个交点，求实数的取值范围．
【答案】（1）极大值是，极小值是；单调增区间为，；（2）．
【解析】
【分析】（1）对求导数，然后求出导数的零点，再判断零点左右两侧的符号，确定极值与单调性情况；
（2）结合（1）问的结果，利用极大值或极小值符号解决问题．
【详解】解：（1）．
令，则或．
当变化时，，的变化情况如下表：
所以的极大值是，极小值是．
所以的单调增区间为，
（2）函数，
由此可知，取足够大的正数时，有，
取足够小的负数时，有，
所以曲线与轴至少有一个交点．
由（1）知，．
∵曲线与轴仅有一个交点，∴或，
即或，∴或，
∴当时，曲线与轴仅有一个交点．
16. 如图，已知四棱柱中，四棱锥是正四棱锥，，，分别为的中点．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若平面经过且与平行，求点到平面的距离．
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）连接交于点，连接，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而计算出线面角；
（2）设平面的法向量为，利用该法向量与，垂直，从而计算出点面距离.
【小问1详解】
如图，连接交于点，连接，
由四棱锥是正四棱锥
易得两两互相垂直，
在正四棱锥中，因为，所以，
因为，且，所以，．
以点为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，则，
即'取，得．
设直线与平面所成的角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【小问2详解】
，．
设平面的法向量为，
则，即
取，得．
所以点到平面的距离.
17. 已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项.
（1）证明：数列等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据等差中项列式，再根据完全平方公式计算化简，由定义得出等差数列；
（2）先写出等差数列的通项公式，再应用的分组求和得出即可.
【小问1详解】
因为是与的等差中项，所以，
所以，
因为数列的各项均为正数，所以，
所以，所以，
所以数列是公差为1，首项为的等差数列；
【小问2详解】
因为数列是公差为1，首项为的等差数列，
所以，
所以，当时，，
当时，，
所以,
所以，
18. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；
（3），关于的不等式恒成立，求正实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析．
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）求出导函数分类讨论确定正负得单调性；
（2）由（1）的单调性，结合零点存在定理确定零点个数，从而得参数范围；
（3）不等式分离参数得，右边引入新函数，由导数求得新函数的最大值后可得参数的范围．
【小问1详解】
，
时，恒成立，在上是增函数，
时，时，，是减函数，时，，是增函数，
综上，时，在R上是增函数，时，在上是减函数，在上是增函数；
【小问2详解】
，
由（1）时，只有一个零点，
时，若时，则由在上递减得，显然足够大时，，因此在上还有一个零点，不合题意；
时，由（1）知是极小值也是最小值，函数只有一个零点，此时；
时，在上递增，有一个零点，因此，
此时，时，，因此在上也有一个零点，不合题意，
综上，的取值范围是；
【小问3详解】
不等式即为，又，
所以恒成立，
设，，
则，
由（1）知，从而，且时，，
所以时，，递增，时，，递减，
所以时，，
所以，．
【点睛】方法点睛：用导数研究不等式恒成立问题，一般有两种方法：
（1）直接由不等式引入函数，利用导数求得函数的最值，然后由最值满足的不等关系求得参数；
（2）分离参数后，引入新函数，由导数得新函数的最值，然后可得参数范围．
19. 已知函数（）.
（1），求证：；
（2）证明：.()
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）先证，令，利用导数判断函数单调性，即可证明；再证，令，利用其导数判断其单调性即可证明；
（2）l利用（1）的结论，可得，从而将原不等式转化为，继而转化为证，即证；由此构造函数，利用其导数判断单调性即可证明.
【小问1详解】
先证，令，此时，故，
所以在上单调递增，
所以，即.
再证，
令，，
，在上单调递增，
故，即，
综合以上可得时，；
【小问2详解】
由（1）可知，
，
要证，只需证，
即证，即证；
，
要证，即证
令，则，
在上单调递增，，，
所以在区间上存在零点，则时，，时，，
故在上单调递减，上单调递增，
而，，
由于 ，,故，
故，
所以时，，
故当时，成立，当时，也成立，
所以，得证，则成立.
【点睛】关键点点睛：证明不等式的关键在于利用时， ，从而将原不等式转化为证明.
1
0
0
↗
极大值
↘
极小值
↗