陕西省2025届高三下学期三模（陕晋两省）数学试题（Word版附解析）

这是一份陕西省2025届高三下学期三模（陕晋两省）数学试题（Word版附解析），共19页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效．
3．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由题意得，,
则，或，
则，或，
故选：C.
2. 命题：的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，
可得命题“”的否定为“”.
故选：C.
3. 设，其中i为虚数单位．则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为，所以．令，解得或，
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：A
4. 米斗是随着粮食生产而发展出来的称量粮食的量器，早在先秦时期就有．如图，是米斗中的一种，可盛10升米（1升）．已知该米斗的盛米部分为正四棱台，上口宽为，下口宽，且，若，则该米斗的侧棱与下底面所成角的正切值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【详解】设该米斗的高为，米斗的侧棱与下底面所成角为，则，
，
解得．
故选：B
5. 已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（ ）
A. 0个B. 1个
C. 2个D. 与有关，不能确定
【答案】C
【详解】直线，
令，得即直线恒过定点．
由知，点A在圆内，故直线恒与圆相交，
故选:C．
6. 在圆内接梯形中，，，，，则其外接圆的半径为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【详解】
如图，梯形内接于圆，则，
因，则，
故梯形为等腰梯形，则，
所求即的外接圆的半径．
在中，由余弦定理可得
，
则，又由正弦定理，，即．
故选：B．
7. 某大型超市为了解顾客的购物习惯，对近期进入超市的1000名顾客进行了随机调查．调查发现，有600名顾客在进入超市前已经决定好了要购买的商品（称为“计划型顾客”），其余400名顾客则没有特定的购买计划（称为“随机型顾客”）．根据以往的销售数据，“计划型顾客”在超市的平均消费金额为200元，而“随机型顾客”中，有的人平均消费金额为100元，另外的人平均消费金额为300元．若从该超市近期进入的顾客中随机抽取1名，则这名顾客的平均消费金额不低于200元的概率，以及该顾客的平均消费金额分别为（ ）．
A. 概率为0.72，平均消费金额为210元B. 概率为0.88，平均消费金额为216元
C. 概率为0.88，平均消费金额为240元D. 概率为0.82，平均消费金额为230元
【答案】B
【详解】设事件表示“抽取的顾客为计划型顾客”，
事件表示“抽取的顾客的平均消费金额不低于200元”，
事件表示“抽取的顾客为随机型顾客”；
，由于计划型顾客的平均消费金额已经为200元，所以；
随机抽取1名顾客，消费不低于200元的概率是：
，
设顾客的平均消费金额为，则的可能取值为，
则；；
，
期望为：.
故选：B
8. 已知函数定义为：，若函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】①当时，要使有意义，故；
方程为，平方得，，解得；
显然，解不等式得；
在上满足：当或时，有1个零点；当时，有两个零点；
②当时，若，，函数有无穷个零点；
当时，方程，即，
解得，令，即；
即在上满足：当且时，有1个零点；当时，有无穷个零点；当时，没有零点．
综上，当时，有三个零点．
故选：D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 甲，乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下：
甲组：，，，，，，，，，，，
乙组：，，，，，，，，，
则下列说法正确的是（ ）
A. 甲组数据的第60百分位数是252
B. 乙组数据的中位数是246
C. 从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率为
D. 甲组中存在这样的成员，将他调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高
【答案】BCD
【详解】对于选项A，因为，所以甲组数据的第60百分位数是第8个数，即253，故A错误；
对于选项B，因为，所以乙组数据的中位数是第5个数与第6个数的平均数，即，故B正确；
对于选项C，甲组中跳远成绩在250厘米以上的有7人，乙组中跳远成绩在250厘米以上的有2人，
所以从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率为
，故C正确；
对于选项D，甲组的平均成绩为厘米，
乙组的平均成绩为厘米，
所以将甲组中跳远成绩为248厘米的成员调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高，故D正确.
故选：BCD.
10. 设函数，则（ ）
A. 是周期函数B. 的图象有对称轴
C. 在区间上单调递增D. 的图象关于点中心对称
【答案】ABD
【详解】由题意得，故，
定义域为，关于原点对称；
A选项，，
是函数的一个周期，故A正确；
B选项，，
关于，故B正确；
C选项，，；，
显然，故在区间上不单调递增，故C错误；
D选项，
，
的图象关于点中心对称，D正确．
故选：ABD．
11. 在边长为的正方体中，动点在棱上，动点在棱上，满足．以下对运动过程的描述，正确的是（ ）
A. 存在，满足
B. 存在，使与所成角的余弦值为
C. 点到平面的距离为定值
D. 四面体的体积为定值
【答案】ABD
【详解】以点为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，．
因为点在上，故可设点的坐标为；
点在上，设点的坐标为，．
所以，．
因为，所以，得，
因此，点坐标为，其中．
若，则，故，
又，，
所以，
所以，即存在，满足，A正确；
因为，，
所以，
若与所成角的余弦值为，则，
化简可得，所以，
所以存在，使与所成角的余弦值为，B正确；
设平面的法向量为，
则，又，，
所以，设，则，，
所以为平面的一个法向量，
又，
所以点到平面的距离为，
当或时，，
当时，，故不为定值，C错误；
四面体，即三棱锥的底面的面积为定值，
又平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
故三棱锥的体积恒为定值，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是______.
【答案】
【详解】设为与的夹角，则，
因为为锐角，所以，解得，且，
所以的取值范围是．
故答案为：.
13. 已知点M是抛物线上一点，F为抛物线的焦点，A在圆C:上，则的最小值为__________．
【答案】4
【详解】抛物线的准线方程为：x=-1
过点M作MN⊥准线，垂足为N∵点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点
∵A在圆C：，圆心C（4，1），半径r=1
∴当N，M，C三点共线时，|MA|+|MF|最小
∴=4．
14. 已知函数，则______．
【答案】2783
【详解】由知，
设，则，
对照系数，得，则，即，
则，
的图象关于点中心对称；
故．
即
，
故答案为：2783
四、解答题：本题共5小题，第15题满分13分，第16题、第17题满分15分，第18题、第19题满分17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体 ，如图．
1若，证明：平面；
2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角正弦值为，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【详解】1由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，，
由已知得，，平面
又平面BDE，，
又，，平面
2在图2中，，，，即面DEFC，
在梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE，
由题意得，，由勾股定理可得，则，，
过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，
以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
．
设平面ACD的一个法向量为，
由得,取得，
设，则m，，，得
设CP与平面ACD所成的角为，
．
所以
16. 已知函数.
（1）经过点作函数图象的切线，求切线的方程；
（2）设函数，求在上的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由于，设切点坐标为，
则，切线斜率；
另一方面，
故，
此时切点坐标为，
所以切线方程为，即.
（2）由已知，故.
由于，故，由于在单调递增，
同时，，故存在使得，
且当时，
当时，
所以当时，
当时，即函数先减后增.
故.
由于，
所以.
17. 已知双曲线的离心率为，直线与双曲线相交于，两点．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）若以为直径的圆过双曲线的左顶点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由；
（3）设点是满足（2）的双曲线上的一个动点，过分别作的渐近线的两条垂线，垂足分别为，，判断的面积是否为定值；若是，求出该定值并证明；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）过定点，定点为
（3）为定值，定值为，证明见解析
【小问1详解】
由，知，
双曲线的渐近线方程为；
小问2详解】
由，得，双曲线的方程为
联立方程组得，
设，，则，，
则，．
因为
即，
展开得
即，
即，，或．
当时，直线过，不符合题意，舍去；
当时，直线过定点．
【小问3详解】
由（1）知双曲线的两条渐近线方程为和；
设，有，即
则，
设渐近线的倾斜角为，则，
所以的面积,
即的面积为定值，定值为．
18. 无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校120名大学生（男女各60人），调查结果如下表所示：
用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分．
（1）为判断性别对无人驾驶的支持态度是否存在关联，对上面数据重新整理形成下表，请补齐数据，并作出检验判断：能否有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联？
附：，
（2）从抽样调查的60名男大学生中，按分层抽样选10名学生进行深度追踪访谈，求选出的3名男大学生对无人驾驶的支持态度各异的概率；
（3）从该校任选名学生，其中得分为5的学生人数为，若，利用下面所给的两个结论，求正整数的最小值．
结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布；
结论二：若随机变量，则，．
【答案】（1）数据见解析，有
（2）
（3）
【小问1详解】
如表，，，，
，
有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联．
【小问2详解】
按分层抽样从60名男生中选10名，其中支持、中立、反对的人数分别为：6、3、1，
故从中选出3人态度各异的概率为；
【小问3详解】
由题可知从该校随机选一名学生得5分的概率为，易知，
设，根据结论一，知．
再根据结论二，知．
由条件知，
所以，解得，所以正整数的最小值为11．
19. 在人工智能的训练过程中，数据预处理至关重要．现有一种“数据筛选器”工具，其功能为：对于一个无穷非负正整数数列，通过操作删去其中除以余数为的所有项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非负正整数数列．设数列的通项公式，，通过“数据筛选器”工具对数列进行操作后得到，设前项和为．
（1）求；
（2）是否存在不同的正整数，，，使得，，成等差数列？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由；
（3）若，，对数列进行操作得到，将数列中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到，再将的每一项都加上自身项数，最终得到，证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和．
【答案】（1），
（2）不存在，理由见解析
（3）证明见解析
【小问1详解】
由，知：，
中除了除以4余2，其余各项除以4余数均不为2，
故，，故，
故，故，
故当时，，
当时，.
而，故.
【小问2详解】
存在不同的正整数，，，使得，，成等差数列，
不妨设，，，，．
即，，
两边同除以得，，
设，，，，则．
当时，为奇数，为偶数，矛盾；
故不存在这样的正整数组.
【小问3详解】
由题意，，
则，，，
所以保留，则，，，
又当代入上式，得
，，，，．
将，删去，得到，则，，．
，，．
即：，，，即：．
每个大于1的正奇数、、、，
若正奇数为，则取，
则；
若正奇数为，则取，
则；
若正奇数为，则取，
则；
若正奇数为，则取，
则
综上，对任意大于1的正奇数，每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和，对无人驾驶的态度
性别
支持
中立
反对
男
36
18
6
女
24
21
15
对无人驾驶的态度
性别
支持
不支持
男
女
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
对无人驾驶的态度
支持
不支持
男
36
24
女
24
36