江西省景德镇市昌江一中2024-2025学年高三下学期4月模拟（二） 数学试卷（含解析）

这是一份江西省景德镇市昌江一中2024-2025学年高三下学期4月模拟（二） 数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.命题“，”的否定是( )
A. ，B. ，
C. D.
2.已知复数z满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知集合，，若，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.若，则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
5.在中，D为BC边上一点，且，设，，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在圆锥PO中，AB是底面圆的直径，已知，，M是BC的中点，二面角的大小为则圆锥PO的体积为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知，，，则下列结论正确的是( )
A. 且B. 且C. D.
8.已知点F是抛物线E：的焦点，点A是抛物线E上一点.过点A作圆O：的两条切线，切点分别为B，C，且分别交抛物线的准线于M，N两点，M，N位于y轴异侧如图所示若，则的长为( )
A. 2B. 3C. 4D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数，将的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则关于函数，下列结论正确的是( )
A. 函数的最小正周期为B. 函数图象关于点对称
C. 函数图象关于直线对称D. 函数在区间上单调递减
10.设A，B是一次随机试验中的两个事件，且，，，则( )
A. A，B相互独立B.
C. D.
11.已知函数的定义域为I，区间，若，，则称是在D上的不动点，集合为在D上的不动点集.若函数在R上的不动点集为，下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数在点处的切线方程为______.
13.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为______.
14.已知椭圆的左，右焦点分别为，，其中，直线与椭圆C交于P，Q两点，记的面积为S，若时，，则椭圆C的离心率的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知数列满足：，
求数列的通项公式；
设数列的前n项和为，若，求证：
16.本小题15分
为激发学生注重学科核心素养的培养，某校数学教研组开展数学基本技能比赛，比赛采用自主报名参赛方式，全校共有200名学生自主报名参赛，统计参赛成绩，参赛学生所得分数的分组区间为得到如下的频数统计表：
若学生得分不低于90分，则认为基本技能优秀，得分低于90分，则认为基本技能良好，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生的基本技能与性别是否有关？
为进一步调研男生和女生在基本技能上的差异，在参加数学基本技能比赛的200名学生中，按性别比例分层抽样的方式随机抽取5名学生进行问卷调研，然后再从这5名学生中随机抽取3名学生进行座谈调研，记取出的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：
，
17.本小题15分
如图，在三棱柱中，D为边AC上异于A，C两点的动点，平面与边交于点
请判断四边形的形状，并说明理由；
已知侧面底面ABC，，，，求直线AB与平面所成角的大小.
18.本小题17分
已知函数，
证明：函数与的图象关于直线对称；
设
ⅰ判断函数的单调性；
ⅱ证明：，
19.本小题17分
已知，分别是双曲线的左、右焦点，D是双曲线C的右支上一点，若，双曲线E的离心率为
求双曲线C的标准方程；
设，分别是双曲线C的左，右顶点，平行y轴的直线l交双曲线C于P，异于，两点.直线与直线交于点R，求交点R的轨迹E的方程；
过点且斜率为的直线交第问的轨迹E于A，不在坐标轴上两点，点G是轨迹E上一点，满足轴，直线OA，OB分别交直线GF于点M，N，其中O为坐标原点，记，，求的最小值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“，”的否定是“，”．
故选：
由全称量词命题的否定是存在量词命题，即可判断选项．
本题主要考查了命题的否定，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由，
得，
则
故选：
由复数的除法法则求得z，再由模的定义计算．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由，解得，
所以，
又因为，且，
所以，
即实数a的取值范围是
故选：
化简集合B，结合和集合具有互异性，得出实数a的取值范围．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合间的包含关系，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为，
即，
即，
所以
故选：
利用两角和的正弦公式展开计算可得结论．
本题考查求两角和与差的三角函数值，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由已知得
故选：
利用平面向量的线性运算法则直接求解．
本题考查平面向量的线性运算法则及其应用，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：已知，，M是BC的中点，二面角的大小为，
因为AB是底面圆的直径，所以，
又M是BC的中点，所以，
又平面ABC，平面ABC，所以，
因为，PO，平面POM，所以平面POM，
又平面POM，所以，
所以为二面角的平面角，即
由已知，，可得，
所以，
又平面ABC，平面ABC，所以，
由，解得，
所以圆锥PO的体积
故选：
首先说明为二面角的平面角，即可求出OP，再根据锥体的体积公式计算可得．
本题考查圆锥体积相关计算知识，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：由，则，由，则，即
因为，所以，
因为，所以，故
故选：
根据对数式与指数式的转换，由对数函数的单调性，可得答案．
本题主要考查了指数与对数的转化关系及对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：设MN与圆O相切于点D，如图，切线长相等可得：，，，
所以的周长为，
所以，
设，由题意得，
因为，由等面积法，可得，
所以，
由，则，解得，所以
故选：
设MN与圆O相切于点D，由切线长定理可得的周长为，可得，设，由题意得，可得，计算可得，结合已知可得，可求
本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，圆的方程的应用，切线长定理与三角形的面积的应用，是中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：由题意可得，
对于A，函数的最小正周期，故A正确；
对于B，由于，可得函数图象关于点对称，故B正确；
对于C，由于，可得函数图象不关于直线对称，故C错误；
对于D，令，整理得，
所以单调递减区间为，
显然时，单调递减区间为，
因为，故D正确．
故选：
由已知条件可得，根据周期公式即可判断A项；代入检验结合余弦函数的对称性可判断B、C项；根据正弦函数的单调性即可判断D项．
本题考查了函数的图象变换以及余弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
10.【答案】ACD
【解析】解：因为，所以，
因为，
所以，即，所以A，B相互独立，故A正确；
所以，故B错误；
因为A，B相互独立，所以相互独立，相互独立，相互独立，
所以
，故C正确；
因为，
，
所以，故D正确．
故选：
根据相互独立事件，和事件，条件概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题考查了相互独立事件的判断和条件概率的计算，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：因为在R上的不动点集为，
所以在R上的解集为，
即方程在R上存在3个实数根，，，
所以
，
从而，所以A正确，B错误；
令，则，
当和时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则，即，解得
因为，
所以C错误，D正确．
故选：
根据不动点集的定义，根据方程的三个根化简列出等式，求解即可判断A和B；
再设，对其求导，求出单调性得出m取值范围，再根据题意即可求出的范围，判断C和D即可．
本题考查了函数与方程思想、转化思想及导数的综合运用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，
，又，
所求切线方程为：，即
故答案为：
先求出导函数，得，即切线斜率，然后可得切线方程．
本题考查切线方程的求法，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为已知，，
由余弦定理可得：，
即，所以，
当且仅当时等号成立，
则面积为，
当且仅当时等号成立，
故的面积的最大值为
故答案为：
利用余弦定理结合均值不等式求得bc最大值，再用三角形的面积公式求解即可．
本题考查余弦定理，三角形面积公式及基本不等式的应用，属中档题．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接，，
由题意得，，
所以四边形为矩形，由勾股定理得，
即，
因为，
所以，
又，故，
故，
即，即，解得，
又点P在直线上，且，所以，即，
所以，，解得，
综上，椭圆C的离心率的取值范围是
故答案为：
连接，，由题意可得四边形为矩形，利用已知可得，利用椭圆的几何性质与勾股定理可得，可得，结合题意可得有，可求椭圆C的离心率的取值范围．
本题主要考查求椭圆离心率的范围，属于中档题．
15.【答案】解：数列满足，，
所以当时，，…，，，
上述各式相加得，
又，所以，
又满足上式，故
证明：设数列的前n项和为，若，
所以，
所以数列的前n项和
，
即
【解析】用累加法即可求出结果；
将第问的结果代入原式，裂项相消求出前n项和为，即可证明结果．
本题考查数列的递推式和等比数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：学生得分不低于90分，则认为基本技能优秀，得分低于90分，则认为基本技能良好，
根据题意得如下列联表：
零假设：该校学生的基本技能与性别无关联．
，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为该校学生的基本技能与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于
在参加数学基本技能比赛的200名学生中，按性别比例分层抽样的方式随机抽取5名学生进行问卷调研，
然后再从这5名学生中随机抽取3名学生进行座谈调研，
记取出的3人中女生的人数为X，由题意知，随机抽取进行问卷调查的5名学生中，女生2名，男生3名，
随机变量X的可能取值有0，1，2，
故，
，
，
的分布列为：

【解析】由题设完善列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想得结论；
由题意X的可能取值有0，1，2，进而求其分布列并求期望值．
本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：在三棱柱中，，
又平面，平面，
所以平面，又平面平面，平面，
所以，
又平面平面ABC，
平面平面，平面平面，
所以，
所以四边形为平行四边形；
取AC的中点O，连接BO，
在中，因为，所以，
因为侧面底面ABC，底面侧面，底面ABC，
所以平面，又侧面，所以
在中，由，，可知，
在中，因为，，所以，
所以，所以，
从而BO，OC，两两垂直．
以O为原点，以OB，OC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则
令，得，
设直线AB与平面所成角为，
则，
因为所以，
即直线AB与平面所成角的大小为
【解析】利用线线平行证明线面平行，再证明线线平行，还要利用面面平行证明线线平行，从而可得平行四边形；
利用空间向量法来求线面角的大小．
本题主要考查线面平行的性质定理、面面平行的性质定理以及直线与平面所成角的计算，属于中档题．
18.【答案】解：证明：设点为函数上任一点，又点关于直线对称的点为，
，，点在函数的图象上．
设点为函数上任意一点，又点关于直线对称的点为，
，，点在函数的图象上．
综上可得，函数的图象与的图象关于直线对称；
ⅰ由已知，
得，
令，则，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
，，
则在单调递增．
ⅱ证明：，
当时，令，
则，
令，则，
在上单调递增，则，
，在上单调递增，
则，
，
即，
【解析】分别取两个函数图象上的任意一点，得到关于直线的对称点，分别代入函数解析式检验，可得答案；
整理函数解析式，根据导数与函数的单调性的关系，对于导数由指数函数恒大于零，构造函数并利用其导数求其最值，可得答案；
整理不等式，构造函数，求导并利用放缩法，研究导数的最值，可得答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于难题．
19.【答案】解：，分别是双曲线的左、右焦点，D是双曲线C的右支上一点，
且，
，
又双曲线C的离心率为，
即，得，
，
双曲线C的标准方程为
由得双曲线C的方程为，
设，
则，又，，
则，
由，R，P三点共线得：；
又，
由，R，Q三点共线得：，
两式相除得，
，
所以，
即，得，
直线与直线的交点R的轨迹E的方程为
由已知可设直线AB的方程为，，设，，
联立
化简可得，
，
，
，
，
又直线OA的方程为，与直线联立可得，
，
直线OB的方程为，与直线联立可得，
，
，
，，
，
又，
，
，当且仅当时取等号，
的最小值为
【解析】利用双曲线的定义与离心率即可求得结果；
首先设出每个点的坐标，由，R，P三点共线得：；由，R，Q三点共线得：，两式联立再代入双曲线方程即可；
设出直线方程，与椭圆方程联立，用韦达定理表达出面积，，再化简利用不等式即可求得结果．
本题考查圆锥曲线方程的应用，属于难题．分数区间性别
男生/名
15
45
60
女生/名
25
25
30
男生
女生
合计
基本技能优秀
60
30
90
基本技能良好
60
50
110
合计
120
80
200
X
0
1
2
P