江西省景德镇市2024届高三下学期第三次质量检测（二模）数学试卷(含答案)

这是一份江西省景德镇市2024届高三下学期第三次质量检测（二模）数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知全集,,,则是( )
A.B.C.D.
2．下列有关复数,的等式中错误的是( )
A.B.
C.D.
3．已知函数是奇函数,则时,的解析式为( )
A.B.C.D.
4．已知是数列的前n项和,,,则( )
A.B.C.D.
5．已知a,b是空间内两条不同的直线,,,是空间内三个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A.若,,则
B.若,,则
C.若,,,则
D.若,,,则或
6．过抛物线上的一点P作圆的切线,切点为A,B,则可能的取值是( )
A.1B.4C.D.5
7．函数在内恰有两个对称中心,,将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.若,则( )
A.B.C.D.
8．六位爸爸站在幼儿园门口等待接六位小朋友放学,小朋友们随机排成一列队伍依次走出幼儿园,爸爸们也随机分两列队伍依次排队站在幼儿园门口的两侧,每列3人.则爸爸们不需要通过插队就能接到自己家的小朋友的概率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．等边边长为2,,,与交于点F,则( )
A.B.
C.D.在方向上的投影向量为
10．正方体的棱长为6,P,Q分别是棱,的中点,过P,Q,C作正方体的截面,则( )
A.该截面是五边形
B.四面体外接球的球心在该截面上
C.该截面与底面夹角的正切值为
D.该截面将正方体分成两部分,则较小部分的体积为75
11．已知A、B是椭圆上两个不同的动点（不关于两坐标轴及原点O对称）,F是左焦点,e为离心率.则下列结论正确的是( )
A.直线的斜率为1时,在y轴上的截距小于
B.周长的最大值是
C.当直线过点F,且中点纵坐标的最大值为时,则
D.当时,线段的中垂线与两坐标轴所围成三角形面积的取值范围是
三、填空题
12．在中,a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,其中,,,则________.
13．若关于x,y的三项式的展开式中各项系数之和为64,则_________;其中项系数的最大值为___________.
14．不经过第四象限的直线l与函数的图象从左往右依次交于三个不同的点,,,且,,成等差数列,则的最小值为_____________.
四、解答题
15．已知在正三棱柱中,,.
（1）已知E,F分别为棱,的中点,求证：平面;
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
16．近年来,景德镇市积极探索传统文化与现代生活的连接点,活化利用陶溪川等工业遗产,创新场景和内容,打造了创意集、陶然集、春秋大集“三大集市”IP,让传统文化绽放当代生命力.为了了解游客喜欢景德镇是否与年龄有关,随机选取了来景旅游的老年人和年轻人各50人进行调查,调查结果如表所示：
（1）判断是否有的把握认为游客喜欢景德镇与年龄有关？
（2）2024年春节期间,景德镇某旅行社推出了A、B两条旅游路线.现有甲、乙、丙共3名游客,他们都决定在A、B路线中选择其中一条路线旅游,他们之间选择哪条旅游路线相互独立.其中甲选择A路线的概率为,而乙、丙选择A路线的概率均为,且在三人中有且仅有1人选择A路线的条件下该人为甲的概率为.设表示这3位游客中选择A路线的人数,求的分布列与数学期望.
附：
17．已知是双曲线上的一个点,且与两焦点构成的三角形的面积是.
（1）求双曲线的标准方程;
（2）P是的右顶点,过点的直线l与交于异于P的不同两点A、B,与直线交于E点.连接,并过M作的平行线分别与直线、交于C、D两点.求证：M是线段的中点.
18．已知函数,.
（1）当时,求函数的极值;
（2）已知实数.
①求证：函数有且仅有一个零点;
②设该零点为,若图象上有且只有一对点,关于点成中心对称,求实数a的取值范围.
19．设X,Y是非空集合,定义二元有序对集合为和的笛卡尔积.若,则称R是X到Y的一个关系.当时,则称x与y是R相关的,记作.已知非空集合X上的关系R是的一个子集,若满足,有,则称R是自反的：若,,有,则,则称R是对称的;若,y,有,,则,则称R是传递的.且同时满足以上三种关系时,则称R是集合X中的一个等价关系,记作~.
（1）设,,,,求集合与;
（2）设R是非空有限集合X中的一个等价关系,记X中的子集为x的R等价类,求证：存在有限个元素,使得,且对任意,;
（3）已知数列是公差为1的等差数列,其中,,数列满足,其中,前n项和为.若给出上的两个关系和,请求出关系,判断是否为上的等价关系.如果不是,请说明你的理由;如果是,请证明你的结论并请写出中所有等价类作为元素构成的商集合.
参考答案
1．答案：D
解析：
2．答案：A
解析：
3．答案：C
解析：
4．答案：A
解析：
5．答案：C
解析：
6．答案：D
解析：
7．答案：A
解析：
8．答案：B
解析：不妨假设六位爸爸已经站好了位置,只需要考虑小孩找到各自的爸爸,
则其为定序问题,故不需要插队的概率.
9．答案：BD
解析：
10．答案：ACD
解析：
11．答案：ABD
解析：对于A,设,与椭圆联立得：
,由,
又,,即,故A正确;
或考虑当椭圆的极限情况为圆时,,故;
对于B,设右焦点为,则周长,
等号当且仅当直线过点时取到,故B正确;
对于C,设中点为M,由点差法可知,即,
设,则,
,而,故,故C错误;
另解：易知M轨迹是以为长轴,离心率为e的椭圆,
,即该椭圆的短半轴长为,故,故C错误;
对于D,显然直线存在斜率且不为零.
设线段的中垂线所在的直线方程为,则.
设直线的方程为,联立：,
即,,
线段的中点坐标为,
代入,即.
.
又仅当、关于原点对称时,,故,
,故D正确.
另解：设线段中点坐标为,易得,
线段的中垂线方程为.
令,得,令,得.
.又,
,.
显然,,故D正确.
故选ABD.
12．答案：3
解析：
13．答案：6,
解析：
14．答案：
解析：易知l必存在斜率,设,
不经过第四象限,,
设,,,其中,
,,为方程的三个根,
构造函数,
则,易知.
我们先将视作为定值,则由,
可得.
又,.
于是的取值随着的增大而减小,
故当时取最大值,
解得.
同理.
,.
若,,成等差,则有,
整理即,解得,
,
即的最小值为.
15．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）取中点G,连接,.
,F分别为,中点,且,
又E分别为中点,且,
且,
故四边形是平行四边形,.
而平面,面,
平面.
（2）如图以A为坐标原点,,分别为y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
.
设平面的法向量为,
则,
令,得,,.
.
即直线与平面所成角的正弦值是.
16．答案：（1）有的把握认为游客喜欢景德镇与年龄有关
（2）
解析：（1）,
有的把握认为游客喜欢景德镇与年龄有关;
（2）根据贝叶斯公式可知三人中有且仅有1人选择路线的条件下该人为甲的概率为
,
,解得：
由题意可知,X的取值为0,1,2,3.
;
;
;
.
的分布列为
X的数学期望是.
17．答案：（1）
解析：（1）由题意可知,
双曲线的标准方程是.
（2）依题意直线l斜率不为零,设,,,
易得,,
将直线l与进行联立并整理得：,其中,
根据韦达定理可知,.
设直线,直线,
两者联立,得：,
同理,
,
即线段的中点是定点M.
18．答案：（1）
（2）①当实数时,函数有且仅有一个零点②
解析：（1）当时,,则,
令,函数在上单调递减,
,函数在上单调递增,
故当时,取极小值.
（2）①令,
换元,,
即或.
构造函数,显然单调递增,
且,
方程必定存在一负根.
对于函数,当时,
当时,
恒成立,方程无根.
当实数时,函数有且仅有一个零点.
②由上可知.
构造函数,根据对称性不妨假设,
若存在唯一正根,则.
.
,,,,
令,即.
令,构造函数,
,且显然在上单调递减,
存在正零点的必要条件是.
易证明当时,,
,
只要当时,就有,
故是存在正零点的充要条件,
而,且,,
在上单调递增,
,又,
故,即实数a的取值范围是.
19．答案：（1）,
（2）
（3）见解析
解析：（1）依据定义可知,
（2）是X中的一个等价关系,由自反性可知,故不为空集.
若,不妨假设,
必有与,由自反性可知即,
再由传递性可知.
,则,而,即,
于是由传递性有,故,
.
同理可证明,.
综上所述,,,总有或.
任取构成,又任取构成,
再任取构成,…,
以此类推,是有限集合,结合上述结论可知必存在有限个元素,使得,其中;
（3）,,,
故,,必存在.
由题意可知当时,有,
整理即：,
将代入得：,
即,
数列为等差数列,设其公差为d.
当时,有,显然成立.
当时,,,即数列不为常数列,
则,
,
,即,
由.
而,
,
而,显然此方程无解,
,与题意矛盾,
综上所述只有.
.
,由于数列不为常数列,
当为偶数时,,
当为奇数时,,
故为奇数.
.
,
而为奇数,与一奇一偶,,n,p,q三奇一偶或两奇两偶,
又,,n,p,q不可能三奇一偶,
故m,p均为奇数,n,q均为偶数或m,p均为偶数,n,q均为奇数.
.
当时,,
是自反的;
当,将m,n与p,q取值对调,
则,是对称的;
当与,即,
其中m,p,r为奇数,n,q,s为偶数或m,p,r为偶数,n,q,s为奇数,
,是传递的.
综上所述,R是上的等价关系,
其中.
喜欢景德镇
不喜欢景德镇
合计
年轻人
30
20
50
老年人
15
35
50
合计
45
55
100
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
X
0
1
2
3
P