2025年江西省景德镇市昌江一中高考数学模拟试卷（二）（4月份）（含答案）

这是一份2025年江西省景德镇市昌江一中高考数学模拟试卷（二）（4月份）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“∀x∈(e,+∞)，lnx>1”的否定是( )
A. ∀x∈(e,+∞)，lnx≤1B. ∃x∈(e,+∞)，lnx≤1
C. ∀x∈(0,e]，lnx>1D. ∃x∈(0,e]，lnx>1
2.已知复数z满足(1−i)z=2+i，则|z|=( )
A. 102B. 5C. 52D. 104
3.已知集合A={a,1}，B={x|x2+x−2≤0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是( )
A. {−2,1}B. {−1,0,2}C. [−2,1]D. [−2,1)
4.若sin(α+β)−2csαsinβ=cs(α−β)，则下列结论一定正确的是( )
A. tan(α−β)=1B. tan(α+β)=1C. tan(α−β)=−1D. tan(α+β)=−1
5.在△ABC中，D为BC边上一点，且BC=3BD，设AB=a，AC=b，则AD=( )
A. 23a+13bB. 13a+23bC. 23a−13bD. 13a−23b
6.如图，在圆锥PO中，AB是底面圆的直径，已知AB=4，∠BAC=30°，M是BC的中点，二面角O−BC−P的大小为60°.则圆锥PO的体积为( )
A. 4π3
B. 4π
C. 16π3
D. 6π
7.已知5a=2，5a=2，52b=3，则下列结论正确的是( )
A. a2bC. 2b0,b>0)的左、右焦点，D是双曲线C的右支上一点，若|DF1|−|DF2|=2 2，双曲线E的离心率为 62．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设A1，A2分别是双曲线C的左，右顶点，平行y轴的直线l交双曲线C于P，Q(异于A1，A2)两点.直线A1P与直线A2Q交于点R，求交点R的轨迹E的方程；
(3)过点F(1,0)且斜率为k(|k|≥1)的直线交第(2)问的轨迹E于A，B(A,B不在坐标轴上)两点，点G是轨迹E上一点，满足GF⊥x轴，直线OA，OB分别交直线GF于点M，N，其中O为坐标原点，记S△MAF=S1，S△BNF=S2，求1S1+1S2的最小值．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.A
5.A
6.B
7.D
8.B
9.ABD
10.ACD
11.AD
12.x+y−1=0
13.3 3
14.( 22, 63]
15.解：(1)数列{an}满足a1=1，an+1=an+2n(n∈N∗)，
所以当n≥2时，an=an−1+2n−1，…，a3=a2+22，a2=a1+2，
上述各式相加得an=a1+2+22+⋯+2n−1，
又a1=1，所以an=1+2+22+⋯+2n−1=1−2n1−2=2n−1(n≥2)，
又a1=1满足上式，故an=2n−1(n∈N∗)．
(2)证明：设数列{bn}的前n项和为Sn，若bn=an+1anan+1，
所以bn=an+1anan+1=2n−1+1(2n−1)(2n+1−1)=12n−1−12n+1−1，
所以数列{bn}的前n项和
Sn=121−1−122−1+122−1−123−1+⋯+12n−1−12n+1−1=1−12n+1−10)，
得F′(x)=ex⋅lnx+exx=ex(lnx+1x)，
令t(x)=lnx+1x，则t′(x)=1x−1x2=1x(1−1x)，
当00，∴F′(x)=ex⋅lnx+exx=ex(lnx+1x)>0，
则F(x)在(0,+∞)单调递增．
(ⅱ)证明：F(x+1)e−x2−x+1e=ex+1⋅ln(x+1)−1e−x2−x+1e=ex⋅ln(x+1)−x2−x，
当x>2时，令H(x)=ex⋅ln(x+1)−x2−x，
则H′(x)=ex⋅[ln(x+1)+1x+1]−2x−1>ex−2x−1(x>2)，
令M(x)=ex−2x−1(x>2)，则M′(x)=ex−2>0(x>2)，
∴M(x)在(2,+∞)上单调递增，则M(x)>M(2)=e2−5>0，
∴H′(x)>0，∴H(x)在(2,+∞)上单调递增，
则H(x)>H(2)=e2⋅ln3−6>e2−6>0，
∴F(x+1)e−x2−x+1e>0，
即∀x∈(2,+∞)，F(x+1)e>x2+x−1e．
19.解：(1)∵F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，D是双曲线C的右支上一点，

且|DF1|−|DF2|=2 2，
∴a= 2，
又双曲线C的离心率为 62，
即e=ca= 62，得c= 3，
∴b= c2−a2=1，
∴双曲线C的标准方程为x22−y2=1．
(2)由(1)得双曲线C的方程为x22−y2=1，
设R(x,y),P(x1,y1)(|x1|> 2)，
则Q(x1,−y1)，又A1(− 2,0)，A2( 2,0)，
则A1R=(x+ 2,y),A1P=(x1+ 2,y1)，
由A1，R，P三点共线得：(x1+ 2)y=y1(x+ 2)；
又A2R=(x− 2,y),A2Q=(x1− 2,−y1)，
由A2，R，Q三点共线得：(x1− 2)y=−y1(x− 2)，
两式相除得x1=2x,y1= 2yx，
∵x122−y12=1，
所以42x2−2y2x2=1，
即2−2y2=x2，得x22+y2=1(xy≠0)，
∴直线A1P与直线A2Q的交点R的轨迹E的方程为x22+y2=1(xy≠0)．
(3)由已知可设直线AB的方程为y=k(x−1)，|k|≥1，设A(x2,y2)，B(x3,y3)，

联立x22+y2=1(xy≠0),y=k(x−1),
化简可得(2k2+1)x2−4k2x+2k2−2=0，
∴Δ=(4k2)2−4(2k2+1)(2k2−2)=8k2+8>0，
∴x2+x3=4k22k2+1,x2x3=2k2−22k2+1，
y2y3=k2(x2−1)(x3−1)=k2(x2x3−x2−x3+1)=−k22k2+1，
y2+y3=k(x2+x3−2)=−2k2k2+1，
又直线OA的方程为y=y2x2x，与直线x=1联立可得M(1,y2x2)，
∴S1=12×|y2x2|×|x2−1|，
直线OB的方程为y=y3x3x，与直线x=1联立可得N(1,y3x3)，
∴S2=12×|y3x3|×|x3−1|，
∴1S1+1S2=|2x2y2(x2−1)|+|2x3y3(x3−1)|=2|y2+k|y22+2|y3+k|y32，
∵|k|≥1，∴(y2+k)(y3+k)=k2x2x3≥0，
∴1S1+1S2=2|y2y32+ky32+y22y3+ky22y22y32|，
又ky22+ky32=k(y2+y3)2−2ky2y3=4k3(2k2+1)2+2k32k2+1=2k3(2k2+3)(2k2+1)2，
y2y32+y3y22=y2y3(y2+y3)=2k3(2k2+1)2，
∴1S1+1S2=8|k+2k|≥16 2，当且仅当k=± 2时取等号，
∴1S1+1S2的最小值为16 2． 分数区间性别
[70,80)
[80,90)
[90,100]
男生/名
15
45
60
女生/名
25
25
30
α
0.10
0.05
0.010
xα
2.706
3.841
6.635
男生
女生
合计
基本技能优秀
60
30
90
基本技能良好
60
50
110
合计
120
80
200
X
0
1
2
P
110
35
310