河南省开封市清华中学2024-2025学年高三下学期高考热点模拟测试 数学试题（含解析）

这是一份河南省开封市清华中学2024-2025学年高三下学期高考热点模拟测试 数学试题（含解析），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2.已知复数，则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.下表为2018—2024年某企业两轮电动车的年产量y（单位：万辆），其中2018—2024年的年份代码x分别为1—7.
已知y与x具有线性相关关系，且满足经验回归方程，则的值为( )
A.146.5B.164.8C.179.5D.197.8
4.已知向量a，b满足，，且.若，则( )
A.2B.C.D.
5.已知为等比数列，且，，记为的前n项和，则( )
A.127B.128C.63D.64
6.已知函数是偶函数，则实数( )
A.eB.1C.2D.4
7.已知抛物线的焦点为F，准线与x轴交于点M，直线l过点F且与C交于A，B两点，若直线AM的斜率为，则( )
A.B.C.4D.5
8.“筝形”是指以一条对角线所在直线为对称轴的四边形.已知“筝形”ABCD以AC所在直线为对称轴，且，若点平面ABCD，且，，则四棱锥的体积为( )
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知，则下列结论正确的是( )
A.若，且，则B.若，且，则
C.若，则D.若，则
10.某高校组织全体学生参加以“庆祝中华人民共和国成立75周年”为主题的知识测试，随机抽取了200名学生的成绩（单位：分）进行统计，按成绩分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.
根据图中数据，下列结论正确的是( )
A.这200名学生成绩的极差介于35至45之间
B.这200名学生成绩的平均数小于中位数
C.从200名学生中随机抽取一名，其成绩不低于70分的概率估计为0.7
D.从该校学生中随机抽取两名，在这两名学生成绩都不低于70分的条件下，恰有一名学生成绩在内的概率估计为
11.函数（，）的部分图象如图所示，其中轴，则下列说法正确的是( )
A.的最小正周期
B.
C.在上单调递增
D.将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知第一象限内的点P，Q分别在双曲线的渐近线与双曲线的渐近线上，若O为坐标原点且，则两双曲线的离心率之积为___________.
13.若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是___________.
14.某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与8的误差不超过4即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n的最小值为____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.
（1）求；
（2）若，求的面积.
16.（15分）已知函数，.
（1）若函数在区间上单调递增，求a的取值范围；
（2）若函数有两个不同的极值点，，证明：.
17.（15分）如图，在三棱锥中，，是正三角形，E是PC的中点，F是AC的中点，且.
（1）证明：平面PAC；
（2）求二面角的正弦值.
18.（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆W上，P到W的焦点的最大距离为，.
（1）求椭圆W的标准方程；
（2）若，判断点P与曲线的位置关系；
（3）若椭圆W的右顶点为C，经过点的直线与W交于A，B两点，的面积为，求直线AB的方程.
19.（17分）若数列A：，，…，（）中且对任意的，恒成立，则称数列A为“数列”.
（1）若数列1，x，y，7为“数列”，写出所有可能的x，y；
（2）若“数列”A：，，…，中，，，，求n的最大值；
（3）设为给定的偶数，对所有可能的“数列”A：，，…，，记，其中表示，，…，这s个数中最大的数，求M的最小值.
数学（新高考Ⅰ卷） 参考答案
1.答案：A
解析：易知集合，，所以.故选A.
2.答案：D
解析：，其在复平面内对应的点为，在第四象限.故选D.
3.答案：B
解析：由表中数据得，因为点在经验回归直线上，所以，所以，故选B.
4.答案：A
解析：由题意得，且.，
，则，解得.故选A.
5.答案：C
解析：设的公比为q，由，得，又，故.又，所以，从而，所以，，故选C.
6.答案：C
解析：法一：因为为偶函数，所以，所以
，，，，，，，所以，故选C.
法二：，令，因为为偶函数，所以为偶函数，所以，故选C.
7.答案：D
解析：如图，过点A作AE垂直于准线，垂足为E，设.
由直线AM的斜率为得，，则.易知，即，化简得，解得.易得直线l的斜率存在且不为0，设为k，则其方程为，由，得，设，，则，，故.当时，，此时.当时，，此时.综上，.故选D.
8.答案：C
解析：在四棱锥中，连接AC，BD交于点E，过S作平面ABCD于点O，由及直线AC为四边形ABCD的对称轴知点O在直线AC上，连接BO，DO，如图所示.
易得，.设，则.在中，.在中，.易得，所以.又，所以，所以，，，，所以.易知平面SAC，所以四棱锥的体积.故选C.
9.答案：ACD
解析：选项A：由可得，由可得，故，故A正确.
选项B：当，时，满足，且，但，，不等式不成立，故B错误.
选项C：因为，所以，故，故C正确.
选项D：由可得，且，故，即，故D正确.故选ACD.
10.答案：BCD
解析：选项A：因为，，所以这200名学生成绩的极差介于30至50之间，A错误.
选项B：这200名学生成绩的平均数，成绩的中位数为80分，所以这200名学生成绩的平均数小于中位数，B正确.
选项C：因为这200名学生中成绩不低于70分的学生所占比例为，（另解：这200名学生中成绩不低于70分的学生所占比例为）
所以从200名学生中随机抽取一名，其成绩不低于70分的概率估计为0.7，C正确.
选项D：记“从该校学生中随机抽取两名，这两名学生成绩都不低于70分”为事件A，“这两名学生中恰有一名学生成绩在内”为事件B，由选项C可知，，，所以，D正确.故选BCD.
11.答案：ABC
解析：因为轴，所以图象的一条对称轴为直线，所以，所以，故A正确.易得，则，所以.因为的图象过点，所以，所以，，所以，，因为，所以，故B正确.易得，由，得，则，因为在上单调递增，所以在上单调递增，故C正确.将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，易知为奇函数，故D错误.故选ABC.
12.答案：
解析：双曲线的渐近线与双曲线的渐近线关于直线对称，由及，得，所以两双曲线的离心率之积为.
13.答案：
解析：，则，函数在上存在单调递减区间，只需在区间上有解，即在区间上有解，所以在区间上有解，所以，.令，，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，即，所以，所以m的取值范围是.
14.答案：4
解析：因为X服从正态分布，，所以，所以，所以，所以
，即每个零件合格的概率为.因为合格零件不少于2件的对立事件是合格零件件数为0或1，且合格零件件数为0或1的概率为，所以，即.令，所以，即，所以在上单调递减，而，，所以不等式的解集为，所以n的最小值为4.
15.答案：（1）
（2）或12
解析：（1）由及正弦定理可得，
又，，，………………………………………………2分
又，，，……………………………………………………4分
.…………………………………………………6分
（2）由余弦定理，
可得，解得或.………………………………………8分
当时，的面积为；……………………10分
当时，的面积为.
综上可知，的面积为或12.…………………………………………………………13分
16.答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）易得，………………………………………………………1分
由于在上单调递增，且，
所以在上恒成立，
即在上恒成立.………………………………………………………………3分
因为在上单调递增，
所以时，，
所以，即a的取值范围为.…………………………………………………………6分
（2）由（1）可知，
令，可得，
由函数有两个不同的极值点，，可得有两个实数根，，
则，解得.……………………………………………………………………9分
易得，，
则，
易得，………13分
因为，所以，
又，所以.……………………………………………………………15分
17.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：在正三棱锥中，取BC的中点M，连接PM，AM.
是正三角形，，
，.
又，，平面PAM，
平面PAM.
平面，.
是PC的中点，F是AC的中点，.………………………………………………2分
，.
又，，平面PBC，
平面PBC.
又平面，.…………………………………………………………………4分
同理，在正三棱锥中，有.…………………………………………………6分
又，，平面PAC，
平面PAC.…………………………………………………………………………………7分
（2）由（1）知平面，平面PAC，，
则，.…………………………………………………………………………8分
以P为坐标原点，PA，PB，PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图的空间直角坐标系.
不妨设，则，，，，，
，，.………………………………………………9分
设平面ABF的法向量为，
则即
令，则，，.………………………………………………………11分
设平面BFE的法向量为，
则即
令，则，，.……………………………………………………13分
设二面角的平面角的大小为，
则.
又，.
故二面角的正弦值为.…………………………………………………………15分
18.答案：（1）
（2）点P在曲线上
（3）或
解析：（1）因为P到W的焦点的最大距离为，
所以，
又，所以，………………………………………………………2分
即，所以，解得，
所以，所以，
所以椭圆W的标准方程为.……………………………………………………………4分
（2）由（1）知椭圆W的方程为，
所以，.
因为，设，
所以，…………………………………………………6分
所以解得
因为，
所以点P在曲线上.………………………………………………………………8分
（3）当直线AB斜率不存在时，，
则，不符合题意；……………………………10分
当直线AB斜率存在时，设直线AB的斜率为，
因为直线AB经过点，所以直线AB的方程为，
联立消去y得，………………………………12分
设，，由韦达定理得，，
所以
.……………………………………………………………………………14分
因为C为椭圆的右顶点，所以，
由点到直线的距离公式得点C到直线的距离为，
所以的面积为.
因为的面积为，所以，……………………………………………16分
整理得，所以，或（舍去），
所以，
所以直线AB的方程为或.…………………………………………………17分
19.答案：（1）或或
（2）65
（3）
解析：（1）依题意，因为数列1，x，y，7为“数列”，
所以其中，…………………………………………………………………1分
故所有可能的x，y为或或………………………………………………2分
（2）一方面，注意到：，
对任意的，令，
则且，………………………………………………………………3分
因为，，所以比至少大1，
故对任意的恒成立①，…………………………………………………4分
当，，时，注意到，
得，
此时，
即，解得，故.……………………………………7分
另一方面，取，
则对任意的，，故数列为“数列”，
此时，即符合题意.…………………9分
综上，n的最大值为65.…………………………………………………………………………10分
（3）当（，）时，
一方面：由①式，得，
则，……………………………11分
此时有
故；………14分
另一方面，当，，…，，，，…，时，
，
取，则，，，
且，
，…………………………………………16分
此时.
综上，M的最小值为.………………………………………………………………17分
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
年产量y/万辆
31
33
38
44
a
b
c