广东省惠州市2025届高三下学期4月模拟考试 数学试题（含解析）

这是一份广东省惠州市2025届高三下学期4月模拟考试 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知单位向量满足，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．2024年惠州马拉松赛事期间，组委会需从甲、乙、丙、丁4位志愿者中选3位安排到物资分发、路线指引、医疗协助三个不同服务点，每个服务点1人．已知甲不能安排在物资分发服务点，则不同的安排方法共有（ ）
A．9种B．12种C．15种D．18种
6．如图，在正方体中，分别为所在棱的中点，为下底面的中心，则下列结论中错误的是（ ）
A．平面平面B．
C．D．平面
7．已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（ ）
A．B．
C．函数的周期为2D．
8．已知，均为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，则（ ）
A．为偶函数B．
C．无零点D．在上单调递减
10．用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点．若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另—点反射后，沿直线射出，则（ ）
A．C的准线方程为
B．
C．若点，则
D．设直线与C的准线的交点为，则点在直线上
11．设随机变量X的所有可能取为1，2，3，…，n，且，，现定义，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则随着n的增大而增大
C．若，则的最小值为1
D．若，随机变量Y的所有可能取值为1，2，…，m，且，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．在锐角中，则的值等于 ．
13．已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为 ．
14．已知函数（，且），若恒成立，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列的前n项和为，且．数列是公比为3的等比数列，且．
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
16．体育课上，同学们进行投篮测试，规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行50次投篮训练．已知甲同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立．
(1)求甲同学通过测试的概率；
(2)若乙同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立．经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X．求X的分布列与数学期望．
17．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段与x轴有公共点，求实数a的取值范围．
18．如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点P不在平面ABC内）（如图2），点F在线段PB上（不含端点）．
(1)证明：；
(2)若．
（ⅰ）当点F为线段PB的中点时，求直线PB与平面ACF所成角的大小；
（ⅱ）设平面ACF与平面PBC的夹角为，求的取值范围．
19．已知椭圆C：，，．椭圆C内部的一点，过点T作直线AT交椭圆于M，作直线BT交椭圆于N．M、N是不同的两点．
(1)若椭圆C的离心率是，求b的值；
(2)设的面积是，的面积是，若，时，求t的值；
(3)若点，满足且，则称点U在点V的左上方．求证：当时，点N在点M的左上方．
参考答案
1．【答案】C
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】由题意得.
故选C.
2．【答案】B
【详解】由，
可得：，
故选B
3．【答案】C
【详解】设与的夹角为，
因为，，
所以，
所以，
所以.
故选C.
4．【答案】D
【详解】因为，
所以.
故选D.
5．【答案】D
【详解】运用分类加法计数原理，若甲不入选，有（种）安排方法；
若甲入选，则有（种）安排方法，
所以共有（种）不同的安排方法．
故选D．
6．【答案】C
【分析】根据空间线面位置关系依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，由分别为所在棱的中点得，由正方体的性质易知，平面，平面，
所以，，，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面，故A选项正确；
对于B选项，为下底面的中心，故为的中点，
因为为所在棱的中点，所以，故B选项正确；
对于C选项，若，由B选项知，则有，
令一方面，由正方体的性质知为直角三角形，，
所以，不满足，故C选项错误；
对于D选项，由A选项知，由正方体的性质易知，
所以，平面，平面，
所以平面，故D选项正确.
故选：C.
7．【答案】D
【详解】为奇函数，，
又为偶函数，，故A项错误.
即函数的周期为4，
即C项错误.
由，令，得，
即B项错误.
又，
所以D项正确.
故选D.
8．【答案】D
【详解】，，
令，，，
所以在上为增函数，
∴，
∵，均为锐角，
∴，
∴，
故选D.
9．【答案】AD
【详解】易知的定义域为.
因为，所以为偶函数，故A正确.
当时，，在上单调递增，
所以在上单调递减，则，故B错误，D正确.
令,得,则有2个零点，故C错误.
故选AD.
10．【答案】ABD
【详解】抛物线C：的焦点为，准线方程为，故A正确；
设直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得，则，故B正确；
若点，则，，，故C错误；
直线的方程为，又，即 ，
令，可得，即，
而直线的方程为，则点在直线上，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】ABD
【详解】对于A选项，当时，，则，故A选项正确；
对于B选项，若，则，
所以，随着的增大而增大，故B选项正确；
对于C选项，当时，，则，其中，
.
设，
则，
所以当时，；当时，；
所以当时，随着增大而增大；当时，随着增大而减小，
当时，，故C选项错误；
对于D选项，若，随机变量Y的所有可能取值为1，2，…，m，且，
，
，
则
，
，，所以，故D选项正确.
故选ABD.
12．【答案】 2
【详解】设由正弦定理得
13．【答案】2.1
【详解】,且，，
,
,
由题意可得,
所以的方差为.
14．【答案】
【详解】函数的定义域为，
当时，可得在上单调递增，又，所以不合题意；
当时，，
易知，在上单调递增，令，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以当时，有极小值，也是最小值，
又因为恒成立且，所以，
则，得，所以，
设，，令，得，
当，，则在上单调递减，
当，，则在上单调递增，
所以，即的最小值为.
15．【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）当时，，
当时，，
当时也符合上式，
所以，
，所以.
（2），
所以，
，
两式相减得，
，
所以.
16．【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）记事件A：甲同学通过测试，则甲同学在3次投篮中，投中2次或3次，
则.
（2）若乙通过测试，则乙同学在3次投篮中，投中2次或3次，
所以乙通过测试的概率为，
由题意可知，随机变量的可能取值有0，30，60，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
故.
17．【答案】(1)见解析；
(2).
【详解】（1）由题意得，，
令，得或，
①当时，当或时，，当时，，
所以在或上递增，在上递减，
②当时，当或时，，当时，，
所以在或上递减，在上递增，
综上，当时，在和上递增，在上递减；当时，在和上递减，在上递增；
（2）由（1）可知曲线上的两点的纵坐标为函数的极值，
且函数在，处分别取得极值，
，
因为线段与x轴有公共点，
所以，
所以，
，
所以，且，
解得或，
所以实数a的取值范围为.
18．【答案】(1)证明见解析；
(2)（ⅰ）直线PB与平面所成角为;（ⅱ）.
【详解】（1）证明：取中点为，连接，
因为，
所以，
又因为，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以.
（2）（i）因为为等腰三角形，，即，所以，
因为为等边三角形，所以，
故，，因，则，即，
又因，所以两两互相垂直，
以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系，
，F为线段PB的中点，
则，，
设平面的法向量为，
则，
取，得，
所以，
设直线PB与平面所成角为，则，
又，则，
所以直线PB与平面所成角为，
（ii）设平面的法向量为，
，
则，
取，得，
设，所以，
所以，
则平面的法向量为，
则，
取，得，
所以
，
令，则，
所以，
因为时，，
所以，
所以.
19．【答案】(1)的值为或
(2)1
(3)证明见解析
【详解】（1）因为椭圆的离心率是.
当时，，得；
当时，，得；
所以的值为或；
（2）由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在，
，直线的方程，设．
则.
，直线的方程，设．
则.
由图，，
注意到，则.
又，同理可得
.则
（3）由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在，
，直线的方程，设．
则 .
，直线的方程，设．
则 .
则 .又在椭圆内部，则，故.
又根据题意知，所以.所以当时，点在点的左上方．0
50
100