吉林省四平市第三高级中学2024-2025学年高二下学期第一次质量检测（4月）数学试题（原卷版+解析版）

这是一份吉林省四平市第三高级中学2024-2025学年高二下学期第一次质量检测（4月）数学试题（原卷版+解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共150分，考试时间120分钟。 命题人：王晓慧 审题人：高洁 邹永新
（导数、排列组合、二项式定理）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
2. 已知函数，则（ ）
A. B. 1C. 0D.
3. 将六位数“”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为 （ ）
A. B. C. 216D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为（ ）
A. B.
C. D.
6. 将5名实习教师分配到某校高二年级的甲、乙、丙3个班级实习，要求每个班至少一名，最多两名，其中不去甲班，则不同的分配方案有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
7. 如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
8. 已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（ ）
A. B.
C D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. 若，则B.
C. D.
10. 高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A. 所有可能方法有种
B. 如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
C. 如果同学甲必须选择社区A，则不同安排方法有25种
D. 如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
11. 对于函数，下列说法正确的有（ ）
A. 在处取得极大值
B. 只有一个零点
C.
D. 若在上恒成立，则
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．
13. 若的展开式中的系数为70，则实数___________．
14. 设，，，比较，，的大小关系并用“”连接起来____________
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.
15. 已知函数.
（1）求单调区间；
（2）求在区间上最大值和最小值.
16. 已知函数.
（1）求在点处切线方程；
（2）过点作曲线的切线，求的方程.
17. 已知(1＋m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x项的系数为112.
（1）求m，n的值；
（2）求展开式中偶数项的二项式系数之和；
（3）求(1＋m)n(1－x)的展开式中含x2项的系数．
18. 已知函数
（1）讨论函数的单调性
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
19. 已知函数，.
（1）若函数在定义域上单调递增，求的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，求的取值范围.
2024－2025学年度下学期第一次质量检测
高二数学试题
本试卷共150分，考试时间120分钟。 命题人：王晓慧 审题人：高洁 邹永新
（导数、排列组合、二项式定理）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求出极限值.
【详解】函数，求导得，
所以.
故选：B
2. 已知函数，则（ ）
A. B. 1C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得，令，求得，得到函数的解析式，进而求得的值，得到答案.
【详解】由函数，可得，
令，可得，解得，
所以，则.
故选：A.
3. 将六位数“”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为 （ ）
A. B. C. 216D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，分末尾是或，末尾是，即可得出结果.
【详解】由题意，
末尾是或，
不同偶数个数为，
末尾是，
不同偶数个数为，
所以共有个.
故选：D
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据，利用二项展开式的通项公式，求得的值．
【详解】，
则.
故选：D．
5. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据原函数图像，由导函数与原函数图像之间关系，逐项判断，即可得出结果.
【详解】由图可知，函数在上单调递减，所以在上恒成立，排除选项B和D；
函数在上先递减后递增再递减，所以在上应为负、正、负的趋势，即选项A错误，C正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查导数与原函数图像之间关系的判定，属于基础题型.
6. 将5名实习教师分配到某校高二年级的甲、乙、丙3个班级实习，要求每个班至少一名，最多两名，其中不去甲班，则不同的分配方案有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】D
【解析】
【分析】本着排列组合混合的题型要“先分类，后分步，先组合，后排列”的原则分析解决问题.
【详解】根据题意，去甲班实习的教师可以是1人或2人.
有1人去甲班时，因为不去甲班，可从另外4人中选1人去甲班，有种选法，
再选2人去乙班，有种选法，剩下2人去丙班，有种方法，
这是分3步完成的，故有种方案；
有2人去甲班时，因为不去甲班，可从另外4人中选2人去甲班，有种选法，
再剩余3人分配到2个班的分法有种方法，
所以这类办法有种.
故不同的分配方案有:.
故选：D
7. 如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据图像算出函数在点处的切线，即可求出其在处的函数值与导数取值。
【详解】由图象可得，切线过点和，切线斜率为，所以，
又因为切线方程为，则切点坐标为，有，
所以.
故选：C
8. 已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，讨论其单调性即可求解.
【详解】构造函数，
在时恒成立，
所以时单调递增，
所以，即，所以，
故选:C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. 若，则B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据求导公式依次判定选项即可得到答案.
【详解】对于A，若，则，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：AC
10. 高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A. 所有可能的方法有种
B. 如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
C. 如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种
D. 如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
【答案】BC
【解析】
【分析】根据分步乘法原理判断A、C，根据间接法判断B，根据分类加法原理和乘法原理判断D.
【详解】对于选项A，安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，
每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，
故有种选择方案，错误；
对于选项B，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种），正确；
对于选项C：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种），正确；
对于选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，
再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有（种），
错误.
故选：BC
11. 对于函数，下列说法正确的有（ ）
A. 在处取得极大值
B. 只有一个零点
C.
D. 若在上恒成立，则
【答案】AB
【解析】
【分析】对A，利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值即可判断；对B，利用函数的单调性和函数值的范围即可判断；对C，利用函数的单调性比较出函数值的大小关系即可判断；对D，利用不等式恒成立，参数分离法即可求解．
【详解】对于A，函数，，
令，即，解得，
当时，，故在上为单调递增函数，
当时，，故在上为单调递减函数，
在时取得极大值，故A正确；
对于B，在上单调递增函数，，函数在上有唯一零点，
当时，恒成立，即函数在上没有零点，故有唯一零点，故B正确；
对于C，在上为单调递减函数，，，故C错误；
对与D，由在上恒成立，即在上恒成立，
设，则，令，解得：，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
当时，函数取得最大值，最大值为，，故D错误．
故选：AB
【点睛】方法点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数单调性和极值，研究不等式恒成立问题，要利用分离参数法处理恒成立问题，再转化为最值问题，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于中档题．
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．
【答案】
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案.
【详解】原来个节目，形成个空位，安排一位老校友；
个节目，形成个空位，安排一位老校友；
个节目，形成个空位，安排一位老校友.
所以不同的安排方式有种.
故答案为：
13. 若的展开式中的系数为70，则实数___________．
【答案】2
【解析】
【分析】先得到的通项公式，进而得到的展开式中含的项为，从而得到不等式，求出答案.
【详解】的通项公式为，
当时，，当时，，
故的展开式中含的项为，
由题意知，解得．
故答案为：2
14. 设，，，比较，，的大小关系并用“”连接起来____________
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，用导数求函数的单调性，即可求得题目.
【详解】由，
设函数，则，
当时，单调递减，
因为，所以，
所以．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.
15. 已知函数.
（1）求单调区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）递增区间为，递减区间为；
（2）最大值为2，最小值为.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，再解导函数大于0、小于0的不等式得解.
（2）由（1）的结论，确定在区间上单调性，进而求出最值.
【小问1详解】
函数的定义域为R，求导得，
由，得或；由，得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问2详解】
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
而，，
则，，
所以在区间上的最大值和最小值分别为.
16. 已知函数.
（1）求在点处的切线方程；
（2）过点作曲线的切线，求的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线的方程.
（2）设切点，利用导函数求得切线的斜率，利用点斜式写出切线方程，再将点代入切线方程，求出，进而求得切线方程.
【小问1详解】
，
因此，所以在点处的切线方程为：，即.
【小问2详解】
设切点，则切线的斜率为，
切线为过，
所以整理得，从而斜率，
所以切线的方程为.
17. 已知(1＋m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x项的系数为112.
（1）求m，n的值；
（2）求展开式中偶数项的二项式系数之和；
（3）求(1＋m)n(1－x)的展开式中含x2项的系数．
【答案】（1）m，n的值分别为2，8；（2）128；（3）1008.
【解析】
【分析】（1）利用二项式系数之和为256，求出n；由含有x项的系数为112，求出m；
（2）直接求出即可；
（3）利用二项展开式直接求解即可.
【详解】（1）因为(1＋m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，
所以2n＝256，解得n＝8，
∴二项展开式的通项为，
∴含x项的系数为，
解得m＝2或m＝－2(舍去)．
故m，n的值分别为2，8.
（2）展开式中偶数项的二项式系数之和为.
（3）∵，
∴含x2项的系数为.
18. 已知函数
（1）讨论函数单调性
（2）当时，恒成立，求实数取值范围.
【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）
【解析】
【分析】（1）通过求导，分类讨论，根据导函数与的大小关系来讨论函数的单调性；
（2）将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，通过求导研究函数的单调性进而求出最小值.
小问1详解】
首先求的导数，可得.
然后分情况讨论：
当时，因为恒成立，所以恒成立.所以在上单调递增.
当时，令，即，解得.
当时，，所以.此时单调递减.
当时，，所以.此时单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
当时，恒成立，即，移项可得.
因为，两边同时除以，得到恒成立.
令，对求导，可得.
令，对求导，可得.因为，所以，即.可知在上单调递增.
那么，即在上恒成立.
令，即，因为，，所以的解为.
当时，即，因为，，所以，解得，即在上单调递增.
当时，即，因为，，所以，解得，即在上单调递减.
所以在处取得最小值，.
因为恒成立，所以，即的取值范围为.
19. 已知函数，.
（1）若函数在定义域上单调递增，求的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题可知恒成立，参变分离后，求函数最值即可；
（2）根据条件可知有两个不同的正跟，列出方程组解出即可.
【小问1详解】
由题知，在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为，当且仅当时等号成立，所以，
经检验，符合题意.
故.
【小问2详解】
由题设且，
若，则在上恒成立，
即单调递减，不可能有两个极值点，不符合题意；
故，又有两个极值点，
则是的两个不同正根，
所以Δ=4a-12-4a2=41-2a>0-2a-1a>0a>0，可得，
即实数的取值范围是.