吉林省四平市实验中学2024−2025学年高二下学期3月期初考试 数学试题（含解析）

这是一份吉林省四平市实验中学2024−2025学年高二下学期3月期初考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知离散型随机变量服从二项分布，且，则
A．B．C．D．
3．已知直线在轴与轴上的截距相等，则实数的值是（ ）
A．1B．﹣1C．﹣2或1D．2或1
4．将一块模板放置在空间直角坐标系中，其位置及坐标如图所示，则点A到直线BC的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．已知双曲线的渐近线过点，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆，圆，、分别是圆、上动点，是轴上动点，则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
7．在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A．B．C．D．
8．某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲,乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲,乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲,乙两人每局获胜的概率分别为,，且满足，每局之间相互独立.记甲,乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲,乙两人训练的轮数至少为（ ）
A．27B．24C．32D．28
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列结论正确的有（ ）
A．若随机变量满足，则
B．若随机变量，且；则
C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05
D．若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点
10．设，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．展开式中二项式系数最大的项是第5项
11．已知椭圆的焦点分别为，，焦距为2c，过的直线与椭圆C交于A，B两点.，，若的周长为20，则经过点的直线（ ）
A．与椭圆C可能相交B．与椭圆C可能相切
C．与椭圆C可能相离D．与椭圆C不可能相切
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知数列中，，，则 .
13．已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为 .
14．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知直线与直线.
(1)当时，求的值．
(2)当时，求与之间的距离．
16．某城市为了加快“两型社会”（资源节约型，环境友好型）的建设，本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时.
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列.
17．已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．

(1)求证平面；
(2)求平面与平面的夹角余弦值；
(3)求点到平面的距离．
18．随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，年的考研人数是万人，年考研人数是万人.某省统计了该省其中四所大学年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
(1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放万元的补贴.
（i）若该省大学年毕业生人数为千人，估计该省要发放多少万元的补贴？
（ii）若A大学的毕业生中小江、小沈选择考研的概率分别为p、2p－1，该省对小江、小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过万元，求p的取值范围.
参考公式：，.
19．已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”为.
(1)求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程;
(2)如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”，求的取值范围;
(3)当时，直线交椭圆于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点，求的面积.
参考答案
1．【答案】C
【详解】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是，则数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的一个通项公式是，则数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是．
故选：C．
2．【答案】D
【详解】由于离散型随机变量服从二项分布，则，所以，，
因此，，故选D．
3．【答案】D
【分析】
对a分类讨论，由截距相等解出的值.
【详解】
当时，直线，此时不符合题意，应舍去；
当时，直线，在轴与轴上的截距均为0，符合题意；
当且，由直线可得：横截距为，纵截距为.
由，解得：.
故的值是2或1.
故选：D
4．【答案】A
【详解】依题意，，，
所以点A到直线BC的距离.
故选：A
5．【答案】D
【详解】由双曲线，可得渐近线为：，
把点代入渐近线方程：，得，解得.
故选：D.
6．【答案】D
【分析】
根据两圆及的位置关系，将的最大转化为求最大，再应用将军饮马模型作关于轴的对称点，利用三角形的三边关系确定的最大值，进而求的最大值.
【详解】
要使的最大，需尽可能大，尽可能小，
∴连接、，让两直线与两圆的交点，离尽可能远，离尽可能近，如下图示：
在△中最大即可，令，关于轴的对称点为，
∴最大，故共线时的最大值为，
∴的最大值为.
故选：D
7．【答案】D
【详解】由二项式定理可知：展开式各项的表达式为：，
其中，，；
令得：，或，
含的项的系数为.
故选：D.
8．【答案】A
【详解】设每一轮训练过关的概率为，
则
，
，当且仅当时等号成立.
函数的开口向上，对称轴为，
所以，
依题意，，则，
，所以至少需要轮.
故选A.
【关键点拨】训练过关分为两种情况,一是两人2局都胜,二是两人有一人胜1局且另1人胜两局,所以每一轮训练过关的概率.
9．【答案】BCD
【详解】对于A，由方差的性质可知，若随机变量满足量满足，则，故A错误；
对于B，根据正态分布的图象对称性可得，故B正确；
对于C，由可知判断与有关且犯错误的概率不超过0.05，故C正确；
对于D，根据回归直线过样本中心点可知D正确.
故选：BCD.
10．【答案】AC
【详解】∵，令得，故A正确；
令得，∴，故B错误；
二项式展开式的通项为，
∴，，∴，故C正确；
∵二项式展开式共项，则展开式中二项式系数最大的项是第6项，为，故D错误；故选AC.
11．【答案】AB
【详解】由椭圆的定义知，，设，则，
则，，而，即有，解得，
又的周长为20，则有，解得，，
因为，即，解得，则，
椭圆C的方程为，显然，即点在椭圆上，
所以经过点的直线与椭圆C相交或相切.
故选：AB
12．【答案】/
【详解】因为，所以数列是等差数列，公差，又，
所以．
故答案为：．
13．【答案】
【详解】两边平方化简得：，①
因为，所以，
又，代入①得：，解得：，
所以在上的投影向量坐标为
.
故答案为：
14．【答案】
【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种，
设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，
故，故，
故，
若，则，则为：，故有2种，
若，则，则为：，
，故有10种，
当，则，则为：
，
，
故有16种，
当，则，同理有16种，
当，则，同理有10种，
当，则，同理有2种，
共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为，
故所求概率为.
故答案为：
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由，则，解得.
（2）解：由可得，解得，
直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
因此，与之间的距离为.
16．【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，，
租车费相同，即两人都在同一时间段还车，
标记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，
则，
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为；
（2）由题可知，X可能取的值有0，2，4，6，8，且
；
；
；
；
.
所以甲、乙两人所付的租车费用之和X的分布列为
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证；
（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；
（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.
【详解】（1）取中点，连接，，
由是的中点，故，且，
由是的中点，故，且，
则有、，
故四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，
故平面；
（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有A0,0,0、、、、C1,1,0、，
则有、、，
设平面与平面的法向量分别为、，
则有，，
分别取，则有、、，，
即、，
则，
故平面与平面的夹角余弦值为；
（3）由，平面的法向量为，
则有，
即点到平面的距离为.
18．【答案】(1)
(2)（i）5028万元（ii）
【详解】（1）由题意得，，
又，

，
，
，
所以，
故得y关于x的线性回归方程为；
（2）（i）将x=120代入，
估计该省要发放补贴的总金额为（万元）；
（ii）设小江、小沈两人中选择考研的人数为，则的所有可能值为、、，
，
，
，
，
，可得，
又因为，可得，
故.
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设.所以，根据“伴随点”的定义，有，则
又因为，
所以，即
所以，椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程为
（2）由（1）知，椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程为，
因为椭圆上的点的“伴随点”为，
所以，根据“伴随点”的定义与（1）中结论，有，解得.
因为点在椭圆上，所以，
所以，，且，
所以
因为，所以…
所以的取值范围是
（3）由题意，得椭圆的方程为.
设，则
联立椭圆和直线的方程，得
所以
由题意，得，所以.①
因为PQ为直径的圆经过坐标原点，
所以，即，
所以.②
将①代入②，化简，得.
所以，
所以
.
又因为点到直线的距离，
所以.A大学
B大学
C大学
D大学
年毕业人数（千人）
年考研人数（千人）
X
0
2
4
6
8
P