湖南省耒阳市第一中学等多校2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖南省耒阳市第一中学等多校2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 已知，则的最小值为， 若函数，则下列判断正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自已的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册（30%），第二册第六章（70%）.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，则集合中元素个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
3. 已知平面向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量，且的夹角为锐角，则的取值范围为（ ）
A. B.
C D.
5. 已知某观赏渔场有三个观赏亭，观赏亭位于观赏亭的东北方向且它们之间的距离为，观赏亭位于观赏亭的北偏西方向且它们之间的距离为，则观赏亭与观赏亭之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
6. 某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长.若第年投入的研发经费首次超过20万元，则（ ）（参考数据：）
A. 4B. 5C. 7D. 8
7. 若向量满足，且向量与向量的夹角为，则的最大值是（ ）
A B. 40C. 64D.
8. 已知，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量和均不共线，且，则向量可以是（ ）
A.
B.
C.
D
10. 若函数，则下列判断正确的是（ ）
A. 是减函数
B. 在上的最小值为
C. 若均为正整数，则为有理数
D. 若在上有零点，则的取值范围为
11. 已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的图象关于直线对称
C. 的值域为
D. 在上单调递减
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________.
13. 在中，，则__________.
14. 已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则当时，__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量满足.
（1）若向量的夹角为，求的值；
（2）若，求向量的坐标.
16. 如图，在梯形中，，.
（1）若，求；
（2）若，求外接圆的半径；
（3）若，且，证明：只有一解.
17. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.
①若，求值；
②若对任意的恒成立，求的取值范围.
18. 在平行四边形中，与交于点.
（1）若，求；
（2）已知.
①若为的重心，求；
②若为线段上一动点，求的最小值.
19. 在锐角三角形中，角的对边分别为，已知.
（1）比较与的大小；
（2）求的取值范围；
（3）若，且，求的内切圆半径.
湖南高一年级3月考试
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自已的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册（30%），第二册第六章（70%）.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量的加法运算及数乘运算可得结果.
【详解】由题意得，.
故选：B.
2. 已知集合，则集合中的元素个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的性质，结合交集的概念可得结果.
【详解】由题意得，，
∵对数函数在上为增函数，
∴，即，
∴，
∴集合中的元素个数是4.
故选：C.
3. 已知平面向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量垂直时数量积为0，结合对数的运算性质可得结果.
【详解】∵，∴，
∴，
∴.
故选：B.
4. 已知向量，且的夹角为锐角，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据夹角公式判断出，同时需排除两向量同向共线的情况.
【详解】由夹角公式，的夹角为锐角，即，
即，解得；
当共线时，，解得，
此时满足，此时两向量夹角为，
于是的夹角为锐角时，.
故选：A
5. 已知某观赏渔场有三个观赏亭，观赏亭位于观赏亭的东北方向且它们之间的距离为，观赏亭位于观赏亭的北偏西方向且它们之间的距离为，则观赏亭与观赏亭之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据方位角可得，利用余弦定理计算可得结果.
【详解】
由题意得，，.
由余弦定理得，，
∴.
故选：C.
6. 某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长.若第年投入的研发经费首次超过20万元，则（ ）（参考数据：）
A. 4B. 5C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得第年投入研发经费为万元，令，根据指数函数的性质及对数的运算性质求出的取值范围，即可得解.
【详解】依题意可得第年投入的研发经费为万元，
令，即，
所以
，
所以，又，所以的最小值为，即第年投入的研发经费首次超过20万元.
故选：B
7. 若向量满足，且向量与向量的夹角为，则的最大值是（ ）
A. B. 40C. 64D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，设，结合向量的坐标运算，再由三角函数的性质即可得到最值.
【详解】因为，且向量与向量的夹角为，
设，其中，
则
，其中，
因为，当时，
有最大值.
故选：D
8. 已知，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】将原式化为，再利用基本不等式求解即可.
【详解】解：因为
，
当且仅当，即时，等号成立，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
综上，的最小值为4，
此时.
故选：D.
【点睛】关键点睛：解答的本题的关键是将原式化为.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量和均不共线，且，则向量可以是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据条件可得不共线，结合共线向量的坐标表示可得结果.
【详解】由题意得，不共线.
A.∵，∴不共线，A正确.
B.∵，∴，故共线向量，B错误.
C. ∵，∴不共线，C正确.
D.∵，∴，故为共线向量，D错误.
故选：AC.
10. 若函数，则下列判断正确的是（ ）
A. 是减函数
B. 在上的最小值为
C. 若均为正整数，则为有理数
D. 若在上有零点，则的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由函数单调性的性质即可判断AB，代入计算即可判断C，由在上有零点可得，即可判断D.
【详解】对于A，因为在单调递增，在单调递增，
所以在单调递增，故A错误；
对于B，由A可知在单调递增，则，故B正确；
对于C，因为，
且均为正整数，则为有理数，故C正确；
对于D，由A可知，在单调递增，由在上有零点，
可得，即，解得，
所以的取值范围为，故D正确；
故选：BCD
11. 已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的图象关于直线对称
C. 的值域为
D. 在上单调递减
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先得到，即可求出函数的最小正周期，求出，即可判断A，再由判断B，求出函数在上的值域，即可判断C，结合函数解析式及正弦函数的性质判断D.
【详解】对于A：因为
因为函数的最小正周期为；
则函数的最小正周期为，
所以的最小正周期为，所以，则，
此时，则
，符合题意，故A正确；
对于B：因为，
则，
所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于C：因为的最小正周期为，所以只需研究函数在上的值域即可，
当，则，此时，
则，所以，所以；
即的值域为，故C错误；
对于D：当时，则，
因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确.
故选：ABD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的概念求解即可.
【详解】∵向量，，则，，
所以在向量方向上的投影向量为.
故答案为：.
13. 在中，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由向量的线性运算可得，再由向量的数量积运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，所以，
则
，
所以，即
故答案为：
14. 已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则当时，__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据函数的奇偶性可得，结合可知函数是周期为4的周期函数.再根据当时的函数解析式，利用周期性和奇偶性即可求解.
【详解】∵函数是定义在上的偶函数，.
又，.
以代替可得，
∴函数是周期为4的周期函数.
当时，.
∵当时，，∴.
由周期性可得，
.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量满足.
（1）若向量的夹角为，求的值；
（2）若，求向量的坐标.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据题意，由向量的模长公式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，设，然后列出方程，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
因为，且向量的夹角为，
则，
则.
【小问2详解】
设，因为，且，
则，解得或，
所以或.
16. 如图，在梯形中，，.
（1）若，求；
（2）若，求外接圆的半径；
（3）若，且，证明：只有一解.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）在中利用正弦定理计算可得；
（2）首先求出，再由正弦定理计算可得；
（3）首先利用余弦定理求出，再由余弦定理求出，最后利用余弦定理求出.
【小问1详解】
在中由正弦定理，即，
所以；
【小问2详解】
因，所以，
又，设外接圆的半径为，则，
所以，即外接圆的半径为；
【小问3详解】
因为，，且，
在中由余弦定理，
即，解得或（舍去），
所以，
在中由余弦定理
，
所以，
所以只有一解.
17. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.
①若，求的值；
②若对任意的恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据得，利用结合函数的周期得，由此可得函数解析式.
（2）①求出函数的解析式，利用二倍角公式及同角三角函数的关系可得，的值，根据两角和的余弦公式可得结果.
②求出的值域，条件转化为，由此可得结果.
【小问1详解】
由得，，
∵，∴，.
由得，，
∴，故，
设函数的最小正周期为，
由图象得，，∴，故，
∴.
【小问2详解】
①由题意得，.
∵，∴，，
∴.
②∵，∴，
∴，故.
∵对任意的恒成立，
∴恒成立，即，
∴，即，
∴的取值范围是.
18. 在平行四边形中，与交于点.
（1）若，求；
（2）已知.
①若为的重心，求；
②若为线段上一动点，求的最小值.
【答案】（1），
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得；
（2）①以、为基底，表示出、，再根据数量积的运算律计算可得；②设，以、为基底，表示出、，再根据数量积的运算律及二次函数的性质计算可得.
【小问1详解】
依题意，
设，因为，
所以，
因为、、三点共线，
设，
因为、不共线，所以，解得，
所以，又，所以；
【小问2详解】
①因，所以，
因为为的重心，所以
，
所以
.
②因为，
又为线段上一动点，
设，
所以，
，
所以
，所以当时取得最小值.
19. 在锐角三角形中，角的对边分别为，已知.
（1）比较与的大小；
（2）求的取值范围；
（3）若，且，求的内切圆半径.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用反证法来进行推理即可得到结论；
（2）利用等腰三角形三线合一，转化为直角三角形中余弦函数的边角关系，即可求解；
（3）利用等腰三角形中角的关系去求解关于的三次方程，再用等面积法求内切圆半径即可.
【小问1详解】
由，可得：,
,
假设，在锐角三角形中，结合余弦函数在上单调递减，
可知，则，
此时可得，这与假设相矛盾，即假设不成立；
又假设，在锐角三角形中，结合余弦函数在上单调递减，
可知，则，
此时可得，这与假设相矛盾，即假设也不成立；
综上可得：
【小问2详解】
由（1）得，，即在等腰三角形中，取底边的中点为，
则，则，
因为在锐角三角形中，，所以，则；
【小问3详解】
在等腰三角形中，因为，
所以，
再由
，
则
可解得：，，
因为，，所以，则，
又由，，可得，
所以高，根据等面积法可知：
.