湖南省耒阳市第一中学等多校联考2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖南省耒阳市第一中学等多校联考2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版），文件包含湖南省耒阳市第一中学等多校联考2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题原卷版docx、湖南省耒阳市第一中学等多校联考2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章8.4．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数z满足，则z的虚部为（ ）
A. 14B. ―8C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的加减运算得，由复数的概念可得结果.
【详解】由题意得，则z的虚部为5．
故选：D.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的加法减法运算即可求解.
【详解】原式．
故选：A.
3. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 两个四棱锥可以拼成一个四棱柱B. 正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形
C. 经过不共线的三个点的球有且只有一个D. 直棱柱的侧面是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间几何体的结构，依次分析选项即可得到答案.
【详解】对于A，两个四棱锥不一定可以拼成一个四棱柱，A错误．
对于B，正三棱锥的底面是等边三角形，侧面是等腰三角形，不一定是等边三角形，B错误．
对于C，经过不共线的三个点只能确定一个平面，经过不共线的三个点的球有无数个，C错误．
对于D，直棱柱的侧面是矩形，D正确．
故选：D
4. 下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由平面向量基底的条件：不共线的非零向量，然后结合向量平行的坐标表示检验各选项.
【详解】因为零向量不能作为基底，所以A错误．
因为，所以与共线，B错误．
因为，所以与不共线，可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底，C正确．
因为，所以与共线，D错误．
故选：C
5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】先求角，再利用余弦定理可得答案.
【详解】根据题意可得，
则，．
故选：B
6. 已知向量，满足，，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用给定的投影向量求出，再利用夹角公式计算即得.
【详解】由在上的投影向量为，得，即，则，
由，得，因此，而，
所以．
故选：B
7. 用斜二测画法画梯形的直观图，如图所示．已知，，则梯形绕轴旋转一周形成的空间几何体的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，在直观图中，由梯形的性质可得的长，将直观图还原为原图，利用圆台的侧面积公式计算即可得答案.
【详解】画出梯形的原图，如图所示．
在直观图中，，，得，
则在原图中，，，四边形是直角梯形，
则四边形OABC绕轴旋转一周所形成的空间几何体是一个圆台，
该圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，高为，
故该圆台的母线长为，侧面积为．
故选：A
8. 莫利定理，也称为莫雷角三分线定理，是由英国数学家法兰克·莫利于1899年左右发现的一个几何定理．该定理的内容如下：将任意三角形的三个内角三等分，则靠近某边的两条三分角线相交得到3个交点，这样的三个交点可以构成一个等边三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．如图，在等腰直角中，，，是的莫利正三角形，则的边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正弦定理的运用，首先在中，由正弦定理得，再求出，最后解出即可.
【详解】由题意可得，
在中，，，，
由正弦定理得，
同理可得，，，
所以.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．若，则A的大小可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用余弦定理和倍角公式得出或，结合角的范围及函数值可得答案.
【详解】依题可得，即，则或，
因，所以或或．
故选：ACD
10. 若复数，则下列命题是真命题的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若z是关于x的方程（m，）的根，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据共轭复数的定义及复数乘法运算可判定A，根据复数乘法和除法运算可判定B，根据复数的模可判定C，根据方程的根及复数相等的条件可判定D.
【详解】选项A：，，故A正确．
选项B：因为，所以，故B错误．
选项C：因为，，所以，故C正确．
选项D：若z是关于x的方程（m，）的根，则，
即，则，所以，故D正确．
故选：ACD.
11. 正方体的棱长为4，P，Q分别为棱，的中点，F为棱上的动点．设过点P，Q，F的平面截该正方体所得的截面为，则下列命题是真命题的是（ ）
A. 当时，为四边形B. 当F与D重合时，为五边形
C. 当时，的面积为D. 当时，为六边形
【答案】AB
【解析】
【分析】通过作图，找出截面，根据截面形状可判定选项.
【详解】当时，F与重合，如图①所示，延长交的延长线于M，
连接PM交于N，连接QN，则为四边形，A正确．
当F与D重合时，如图②所示，延长DP交的延长线于G，连接GQ交于H，
延长GQ交延长线于T，连接DT交于I，连接QI，PH，则为五边形PHQID，B正确．
当时，F为的中点，如图③所示，连接，，
易得为矩形，，则的面积为，C错误．
当时，如图④所示，延长PF交的延长线于R，连接RQ交于V，
延长RQ交的延长线于S，连接PS交于K，连接QK，FV，则为五边形PFVQK，D错误．
故选：AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上．
12. 若（）在复平面内所对应的点在第一象限，则整数______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据对应的点所在象限列出限制条件得出答案.
【详解】由题意可得解得．因为，所以．
故答案为: 1
13. 如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为______．
【答案】2
【解析】
【分析】画出正四棱锥的侧面展开图，得到A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最长最短距离.
【详解】画出正四棱锥的侧面展开图，如图所示．
当A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最短为的长．
因为，，所以，
则是边长为2的等边三角形，则，即小虫走过的最短路线的长为2．
故答案为：2.
14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．点M是的内心．若，则的最小值为______，的最小值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先由平面向量的数量积得，再结合余弦定理即可求出，于是由结合半角公式和诱导公式即可推出.
【详解】由题可得，
则由余弦定理得，
整理得，
所以由余弦定理，当且仅当时，等号成立，
又，，，
因为点M是的内心，故BM，CM分别为，的角平分线，
所以，
则，
因为，所以，即的最小值为.
故答案为：，.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，满足，，且与的夹角为．
（1）求及的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由数量积的定义和模长的计算求出结果即可；
（2）由向量垂直时数量积为零和数量积的运算律求出结果即可.
【小问1详解】
因为，，与的夹角为，
所以，
则
．
【小问2详解】
由，得，
即，
得，
解得．
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，．
（1）求a，c；
（2）若，求AD的长．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由同角的三角函数关系，正弦定理，余弦定理解出即可；
（2）方法一直接用余弦定理解出即可；方法二先由向量的线性运算得到，然后利用模长的计算结合数量积的定义式求出AD的长.
【小问1详解】
在中，，
则．
由正弦定理得，解得．
由，解得或（舍去）．
【小问2详解】

方法一．
因为，所以．
由余弦定理可得，
故，即AD的长为．
方法二．
因为，
所以，
所以
，
故，即AD的长为．
17. 如图，在正四棱台中，M，N，P，Q分别为棱AB，BC，，上的点．已知，，，，正四棱台的高为6．

（1）证明：直线MQ，，NP相交于同一点．
（2）求正四棱台挖去三棱台后所得几何体的体积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）105.
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，设MQ的延长线与的延长线交于点E，NP的延长线与的延长线交于点F．根据棱台性质得到，点E，F重合，从而证明出结论；
（2）求出正四棱台的体积和三棱台的体积，相减后得到答案.
【小问1详解】
证明：在正四棱台中，因为，，，，
所以四边形，均为梯形，则直线MQ与必相交，NP与必相交．
延长MQ，，NP，设MQ的延长线与的延长线交于点E，NP的延长线与的延长线交于点F．
在正四棱台中，，，

则，，
得，所以点E，F重合，
即直线MQ，，NP相交于同一点．
【小问2详解】
正四棱台的体积为．
由题意可得三棱台的高为6，
则三棱台的体积为．
故所求几何体的体积为．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，，，AD与BC交于点M．
（1）设，试用，表示，；
（2）E为线段BD上的一个动点，若的面积等于四边形ABDC面积的一半，求此时的坐标．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据平面向量的基底运算及三点共线可求答案；
（2）先求四边形的面积得出三角形的面积，得出，进而得到坐标.
【小问1详解】
由题意可得，，
因为，，所以，
因为，，
所以，，，
所以．
．
设，，其中，．
因为，所以，
所以解得
故．
【小问2详解】
因为四边形ABDC的面积为，
所以的面积为3．
设，则，解得，
则．
19. 折纸是一项玩法多样的活动．通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等．折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识．在纸片中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，．
（1）证明：．
（2）若，求的值．
（3）在（2）的条件下，若，D是AB的中点，现需要对纸片做一次折叠，使C点与D点重合，求折叠后纸片重叠部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理和三角形面积公式可证结论；
（2）代入，利用和差角公式可得答案；
（3）先由余弦定理求出，再利用余弦定理求出，结合三角形面积公式可得答案.
【小问1详解】
证明：由正弦定理可得，则．
【小问2详解】
将代入，
得，
即，
所以，即．
【小问3详解】
由余弦定理得，即，解得，
则．
设折痕为线段EF，其中E在BC上，F在AC上，设，，
则，，，．
在中，由余弦定理得，
解得．
在中，由余弦定理得，
解得．
重叠部分面积为的面积，．
因为，所以．
所以．