湖南省耒阳市第一中学等多校2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1.答题前，考生务必将自已的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教 A 版必修第一册（30%），第二册第六章（70%）.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量的加法运算及数乘运算可得结果.
【详解】由题意得， .
故选：B.
2. 已知集合 ，则集合 中的元素个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的性质，结合交集的概念可得结果.
【详解】由题意得， ，
∵对数函数 在 上为增函数，
∴ ，即 ，
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∴ ，
∴集合 中的元素个数是 4.
故选：C.
3. 已知平面向量 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量垂直时数量积为 0，结合对数的运算性质可得结果.
【详解】∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ .
故选：B.
4. 已知向量 ，且 的夹角为锐角，则 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据夹角公式判断出 ，同时需排除两向量同向共线的情况.
【详解】由夹角公式， 的夹角为锐角，即 ，
即 ，解得 ；
当 共线时， ，解得 ，
此时 满足 ，此时两向量夹角为 ，
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于是 的夹角为锐角时， .
故选：A
5. 已知某观赏渔场有三个观赏亭，观赏亭 位于观赏亭 的东北方向且它们之间的距离为 ，观赏亭
位于观赏亭 的北偏西 方向且它们之间的距离为 ，则观赏亭 与观赏亭 之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据方位角可得 ，利用余弦定理计算可得结果.
【详解】
由题意得， ， .
由余弦定理得， ，
∴ .
故选：C.
6. 某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费 10 万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长
.若第 年投入的研发经费首次超过 20 万元，则 （ ）（参考数据：
）
A. 4 B. 5 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得第 年投入 研发经费为 万元，令 ，根
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据指数函数的性质及对数的运算性质求出 的取值范围，即可得解.
【详解】依题意可得第 年投入的研发经费为 万元，
令 ，即 ，
所以
，
所以 ，又 ，所以 的最小值为 ，即第 年投入的研发经费首次超过 20 万元.
故选：B
7. 若向量 满足 ，且向量 与向量 的夹角为 ，则 的最大值
是（ ）
A. B. 40 C. 64 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，设 ，结合向量的坐标运算，再由三角函数的
性质即可得到最值.
【详解】因为 ，且向量 与向量 的夹角为 ，
设 ，其中 ，
则
，其中 ，
因为 ，当 时，
有最大值 .
故选：D
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8. 已知 ，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】将原式化为 ，再利用基本不等式求解即可.
【详解】解：因为
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
又因为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
综上， 的最小值为 4，
此时 .
故选：D.
【点睛】关键点睛：解答的本题的关键是将原式化为 .
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知向量 和 均不共线，且 ，则向量 可以是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据条件可得 不共线，结合共线向量的坐标表示可得结果.
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【详解】由题意得， 不共线.
A.∵ ，∴ 不共线，A 正确.
B.∵ ，∴ ，故 共线向量，B 错误.
C. ∵ ，∴ 不共线，C 正确.
D.∵ ，∴ ，故 为共线向量，D 错误.
故选：AC.
10. 若函数 ，则下列判断正确的是（ ）
A. 是减函数
B. 在 上的最小值为
C. 若 均为正整数，则 为有理数
D. 若 在 上有零点，则 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由函数单调性的性质即可判断 AB，代入计算即可判断 C，由 在 上有零点可得
，即可判断 D.
【详解】对于 A，因为 在 单调递增， 在 单调递增，
所以 在 单调递增，故 A 错误；
对于 B，由 A 可知 在 单调递增，则 ，故 B 正确；
对于 C，因为 ，
且 均为正整数，则 为有理数，故 C 正确；
对于 D，由 A 可知， 在 单调递增，由 在 上有零点，
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可得 ，即 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ，故 D 正确；
故选：BCD
11. 已知函数 的最小正周期为 ，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的图象关于直线 对称
C. 的值域为
D. 在 上单调递减
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先得到 ，即可求出函数的最小正周期，求出 ，即可判断 A，再由
判断 B，求出函数在 上的值域，即可判断 C，结合函数解析式及正弦函数的性质判
断 D.
【详解】对于 A：因为
因为函数 的最小正周期为 ；
则函数 的最小正周期为 ，
所以 的最小正周期为 ，所以 ，则 ，
此时 ，则
，符合题意，故 A 正确；
对于 B：因为 ，
则 ，
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所以 的图象关于直线 对称，故 B 正确；
对于 C：因为 的最小正周期为 ，所以只需研究函数在 上的值域即可，
当 ，则 ，此时 ，
则 ，所以 ，所以 ；
即 的值域为 ，故 C 错误；
对于 D：当 时 ，则 ，
因为 在 上单调递减，所以 在 上单调递减，故 D 正确.
故选：ABD
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的概念求解即可.
【详解】∵向量 ， ，则 ， ，
所以 在向量 方向上的投影向量为 .
故答案为： .
13. 在 中， ，则 __________.
【答案】
【解析】
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【分析】根据题意，由向量的线性运算可得 ，再由向量的数量积运算，代入计算，即
可得到结果.
【详解】因为 ，所以 ，
则
，
所以 ，即
故答案为：
14. 已知函数 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时， ，
则当 时， __________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据函数的奇偶性可得 ，结合 可知函数 是周期为 4 的
周期函数.再根据当 时的函数解析式，利用周期性和奇偶性即可求解.
【详解】∵函数 是定义在 上的偶函数， .
又 ， .
以 代替 可得 ，
∴函数 是周期为 4 的周期函数.
当 时， .
∵当 时， ，∴ .
由周期性可得 ，
.
故答案为： .
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四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量 满足 .
（1）若向量 的夹角为 ，求 的值；
（2）若 ，求向量 的坐标.
【答案】（1）
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）根据题意，由向量的模长公式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，设 ，然后列出方程，代入计算，即可得到结果.
【小问 1 详解】
因为 ，且向量 的夹角为 ，
则 ，
则 .
【小问 2 详解】
设 ，因为 ，且 ，
则 ，解得 或 ，
所以 或 .
16. 如图，在梯形 中， ， .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 外接圆的半径；
（3）若 ，且 ，证明： 只有一解.
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【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）在 中利用正弦定理计算可得；
（2）首先求出 ，再由正弦定理计算可得；
（3）首先利用余弦定理求出 ，再由余弦定理求出 ，最后利用余弦定理求出 .
【小问 1 详解】
在 中由正弦定理 ，即 ，
所以 ；
【小问 2 详解】
因 ，所以 ，
又 ，设 外接圆的半径为 ，则 ，
所以 ，即 外接圆的半径为 ；
【小问 3 详解】
因为 ， ，且 ，
在 中由余弦定理 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以 ，
在 中由余弦定理
，
所以 ，
所以 只有一解.
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17. 已知函数 的部分图象如图所示.
（1）求 的解析式；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象.
①若 ，求 的值；
②若对任意的 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据 得 ，利用 结合函数的周期得 ，由此可得函数解析式.
（2）①求出函数 的解析式，利用二倍角公式及同角三角函数的关系可得 ， 的值，根据
两角和的余弦公式可得结果.
②求出 的值域，条件转化为 ，由此可得结果.
【小问 1 详解】
由 得， ，
∵ ，∴ ， .
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由 得， ，
∴ ，故 ，
设函数 的最小正周期为 ，
由图象得， ，∴ ，故 ，
∴ .
【小问 2 详解】
①由题意得， .
∵ ，∴ ，
，
∴ .
②∵ ，∴ ，
∴ ，故 .
∵对任意的 恒成立，
∴ 恒成立，即 ，
∴ ，即 ，
∴ 的取值范围是 .
18. 在平行四边形 中， 与 交于点 .
（1）若 ，求 ；
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（2）已知 .
①若 为 的重心，求 ；
②若 为线段 上一动点，求 的最小值.
【答案】（1） ，
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得；
（2）①以 、 为基底，表示出 、 ，再根据数量积的运算律计算可得；②设
，以 、 为基底，表示出 、 ，再根据数量积的运算律及二次函数的性质计算可得.
【小问 1 详解】
依题意 ，
设 ，因为 ，
所以 ，
因为 、 、 三点共线，
设 ，
因为 、 不共线，所以 ，解得 ，
所以 ，又 ，所以 ；
【小问 2 详解】
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①因 ，所以 ，
因为 为 的重心，所以
，
所以
.
②因为 ，
又 为线段 上一动点，
设 ，
所以 ，
，
所以
，所以当 时 取得最小值 .
19. 在锐角三角形 中，角 的对边分别为 ，已知 .
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（1）比较 与 的大小；
（2）求 的取值范围；
（3）若 ，且 ，求 的内切圆半径 .
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用反证法来进行推理即可得到结论；
（2）利用等腰三角形三线合一，转化为直角三角形中余弦函数的边角关系，即可求解；
（3）利用等腰三角形中角的关系去求解关于 的三次方程，再用等面积法求内切圆半径即可.
【小问 1 详解】
由 ，可得： ,
,
假设 ，在锐角三角形中，结合余弦函数在 上单调递减，
可知 ，则 ，
此时可得 ，这与假设相矛盾，即假设 不成立；
又假设 ，在锐角三角形中，结合余弦函数在 上单调递减，
可知 ，则 ，
此时可得 ，这与假设相矛盾，即假设 也不成立；
综上可得：
【小问 2 详解】
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由（1）得， ，即在等腰三角形中，取底边 的中点为 ，
则 ，则 ，
因为在锐角三角形中， ，所以 ，则 ；
【小问 3 详解】
在等腰三角形中，因为 ，
所以 ，
再由
，
则
可解得：
， ，
因为 ， ，所以 ，则 ，
又由 ， ，可得 ，
所以高 ，根据等面积法可知：
.
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