八下期中真题百题大通关（压轴版）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（人教版）

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一、单选题
1．（22-23八年级下·重庆北碚·期中）已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（ ）
①；②的小数部分为；③；④；⑤．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【知识点】无理数整数部分的有关计算、数字类规律探索、二次根式的混合运算、分母有理化
【分析】根据定义找到的规律，再逐个判断即可．
【详解】解：由题意得，，它的整数部分为2，小数部分为；
，它的整数部分为4，小数部分为；
，它的整数部分为5，小数部分为；
，它的整数部分为7，小数部分为；
，它的整数部分为8，小数部分为；
，它的整数部分为10，小数部分为；
∴n为奇数时，，它的整数部分为，小数部分为；
n为偶数时，，它的整数部分为，小数部分为；
∴①，正确；
②的小数部分为，错误；
③，正确；
④
，错误；
⑤
，正确；
综上所述，正确的是①③⑤,共3个；
故选：B．
【点睛】本题考查的是数字类规律探究、估算无理数的大小，二次根式的混合运算，通过计算找到规律是解题的关键．
2．（21-22八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（ ）
①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE+AD＝2AC
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，则可根据“SAS”证明△ACE≌△BCD，于是可对①进行判断；利用三角形外角性质得到∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，加上∠CAB＝∠E＝45°，则可得对②进行判断；由全等三角形得性质和等边三角形得性质得出③不正确；证出△ADB是直角三角形，由勾股定理得出④正确．
【详解】解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，
∵∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠BCD，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，所以①正确；
∵∠DAC＝∠E+∠ACE，即∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，
而∠CAB＝∠E＝45°，
∴∠DAB＝∠ACE，所以②正确；
在AD上截取DF=AE，连接CF，如图所示，
在△ACE和△FCD中，
∴△ACE△FCD(SAS)，
∴AC=FC，
当，△ACF是等边三角形，
则AC=AF，此时AE+AC=DF+AF=AD，
但无法求证，
故③不正确；
由①得，△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，CEA=CDB=45°，
∴ADB=CDB+EDC=90°，
∴△ADB是直角三角形，
∴，
∴，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴，
∴，故④正确；
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形得判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理和直角三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．
3．（21-22八年级下·江西景德镇·期中）如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③PD＝PE；④BD＋CE＝BC；⑤，其中正确的个数是（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形
【分析】①利用角平分线的性质与三角形内角和等于进行求解；
②利用三角形三条角平分线交于一点进行判断；
③过点作于，于，利用证明，则；
④过点作于，易证，，结合可证；
⑤利用“直角三角形中所对的边是斜边的一半”可得，再由勾股定理得，同理，，故，结合可得．
【详解】解：①，
．
平分，平分，
，，
，
，①正确；
②三角形的三条角平分线交于一点，
平分，②正确；
③过点作于，于，
，，
，
又，
，
，
即．
平分，，，
．
在与中，
，
，
，③正确；
④过点作于，
平分，
，
在与中，
，
，
同理，，
，，
，
即．
，
，
，④正确；
⑤平分，
，
在中，，
，
同理，，
，
又，
，⑤正确．
综上，正确的结论有个．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理的应用，含角的直角三角形的三边关系，解决本题的关键是熟练掌握相关性质定理，并作出正确的辅助线．
4．（22-23八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②；③点C到直线的距离为；④，其中正确结论的序号为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【知识点】根据正方形的性质求面积、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件用可证明两三角形全等；②利用①中的全等，可得，再结合三角形外角性质可证；③过点作的延长线于点，利用勾股定理可求，利用为等腰直角三角形，可证为等腰直角三角形，再利用勾股定理可求，；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积．
【详解】解：①，
．
，
在正方形中，，，
．
在和中，
，
，故①正确；
②，
，
又，，
．
即，故②正确；
③过点作的延长线于点，如图，
，，
．
又，
．
，
．
，
，
即点到直线的距离为，故③错误；
④，，
在中，，
，故④正确．
综上所述，正确结论的序号为①②④，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，综合性比较强，得出，进而结合全等三角形的性质分析是解题关键．
5．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：
①；
②四边形是平行四边形；
③；
④．错误的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的性质、利用勾股定理的逆定理求解、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理证得，得，则四边形是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得，则③正确；最后求出，故④错误；即可得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，故①正确；
∵都是等边三角形，
∴，
∴，
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∴四边形是平行四边形，故②正确；
∴，故③正确；
过A作于G，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴，故④错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键．
6．（23-24八年级下·重庆南岸·期中）如图，在中，，，平分交于点，交延长线于点，交的延长线于点，连接．则下列结论：①；②；③；④；⑤其中不正确的结论有（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】D
【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】作，，，垂足为、，证明，由全等三角形的性质得出，，证明为等腰直角三角形，可判断①正确；求出，可得为的中线，进而可判断②；证明，，进而可判断③；证明，得出，，求出，证明，可判断④⑤．
【详解】解：作，，，垂足为、，
根据等腰直角三角形的性质有：，
∵，
∴，即，
∵平分，
∴，
，，
，
又，，
，
，，
又，
为等腰直角三角形，
，①正确；
，，
，
，
为的中线，
，②正确；
平分，，，
，，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
，
，
，③正确；
，，，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，，⑤正确；
，④正确；
即不正确的为0个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
7．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在正方形中，E，F分别在，边上，四边形与关于直线对称，且点在边上，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④．

其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】结合正方形的性质和轴对称的性质，过点作交于，交于，则为矩形，可证明，，，可判断①正确；利用直角三角形两锐角互余可判断②正确；延长交于，与交于点，连接，，证明，，在同一直线上，过点作交与，可知，，，证明，进而可证，则为等腰直角三角形，得，可知，再利用平行线的性质结合，可得，可判断③正确；延长使得，可证，结合，可证，得，而，进而可得，可判断④正确；即可求解．
【详解】解：在正方形中，，，
过点作交于，交于，则为矩形，

∴，，
由轴对称可知，，则，
∴，
∴，
∴，，故①正确；
由轴对称可知，，，
则，
∴，
又∵，
∴，故②正确；
延长交于，与交于点，连接，，
由轴对称可知，，，，
又∵，
∴，
∴，，则，
又∵，
∴，
∴，，则
由轴对称可知，点与点关于对称，则，，

∴
又∵，
∴，即，，在同一直线上，
则，
过点作交与，可知，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，则，
∴，
又∵，
∴，
由上可知，，
∴，故③正确；
延长使得，

又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由上可知，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
而，
∴，故④正确；
综上，正确的有①②③④，共4个，
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质等，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
8．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，，以，为边向外作正方形与正方形，作，的反向延长线与交于点，连接，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、根据正方形的性质证明、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题
【分析】作点N关于的对称点，连接交于点Q，连接，则，连接，当三点共线时，有最大值，即有最大值，先证明，得到，再证明点N是的中点，得到，再证明，得到，进而得到，易证，得到，由即可求解．
【详解】解：如图，作点N关于的对称点，连接交于点Q，连接，则，连接，
，，
当三点共线时，有最大值，即有最大值，如图
四边形与四边形都是正方形，
，
，
，
点N与点P关于对称，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点N是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，三角形三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，作出辅助线构造三角形全等是解题的关键．
9．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接，则的面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、根据等边对等角证明、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，与相交于点，由折叠的性质得，根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式求出，得到，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，根据勾股定理求出的长度，最后根据计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，与相交于点，

由折叠可知，垂直平分，，
∴，，
∵，点为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
故选：．
10．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，正方形的边长为2，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接．给出四个结论：①；②若，则；③若G为的中点，则四边形是正方形；④若，则．则其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①②③④D．②③④
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定求线段长
【分析】连接交于O，连接，先证，可得，再证，得到四边形是矩形，可得到，即可判断①；由可得，从而得出，即可判断②；先证明，可得是等腰直角三角形，得出，从而可得四边形是正方形，即可判断③；连接，在中，，求得，得到，从而得出，解得，即可求解④．
【详解】解：连接交于O，连接，
∵正方形，
∴，
在和中
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵点G为的中点，，正方形，
∴，，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形，故③正确；
连接，
∵正方形，
∴，
在中，，
解之得：，
∴；
∵
∴，
解之得：，
∴，故④正确；
∴正确结论的序号为．
故选C
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的性质及判定，二次根式的乘除混合运算，解决本题的关键是熟练掌握四边形的有关性质．
11．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E，P，连接，，，则下列结论：
①；②；③；④；⑤，正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、化为最简二次根式
【分析】①先根据角平分线和平行线的性质得：，则，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得：，，根据勾股定理计算，的长，即可求的长；③因为，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据平行四边形的性质和三角形中位线定理可作判断；⑤由求解，再进一步可得答案．
【详解】解：①∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正确；
②∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③由②知：，
∴，故③正确；
④由②知：是的中位线，
∴，
∵，
∴，故④正确；
⑤∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，故⑤错误；
本题正确的有：①②③④，共4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质、含的直角三角形性质、三角形的中位线性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．
12．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，，，，为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为的中点，连接、，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．10
【答案】A
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形
【分析】取的中点，连接，推出三点共线，进而得到点在直线上运动，作点关于的对称点，连接，得到，进而得到三点共线时，的值最小，作，利用含30度的直角三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
取的中点，连接，
∵，为的中点，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴三点共线，
∴点在直线上运动，
作点关于的对称点，连接交于点，连接，作，
∴，垂直平分，
∴当三点共线时，的值最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
∴的最小值是；
故选：A．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，三角形的中位线，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题, 解题的关键是确定点的运动轨迹．
13．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图，在矩形中，，点P，Q分别在上，，线段在上，且，连接，则的最小长度为（ ）
A．8B．10C．12D．16
【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识；在边上取，连接，则得四边形是平行四边形，有，问题转化为求的最小长度，当点E在上时，取得最小值；由勾股定理即可求解．取，求的最小值转化为求的最小值是解题的关键．
【详解】解：如图，在边上取，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
即当取最小值时，取得最小值；
当点E在上时，取得最小值，最小值为线段的长；
∵，，
∴，
由勾股定理得，
即的最小长度为10；
故选：B．
14．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点，是的中点．连接，则下列结论 ①；②；③；④的面积最大值；其中正确的是（ ）
A．①②③④B．②③④C．②③D．②④
【答案】B
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明
【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、轴对称的性质，由对称得：，，由等边对等角得出，由正方形的性质结合等边对等角得出即可判断②；求出即可判断①；作交的延长线于，证明得出，结合等腰直角三角形的性质即可判断③；过作于，则，由勾股定理得出为定值，当最大时，的面积最大，连接交于，当在上时，最大，此时于重合，求出的最大值，即可得出面积的最大值，从而判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由对称得：，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，故②正确；
是的中点，
，，
，故①错误；
如图，作交的延长线于，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
过作于，则，
，
由勾股定理得：，即为定值，
当最大时，的面积最大，
连接交于，当在上时，最大，此时于重合，
，，
，
，即的面积的最大值为，故④正确；
综上所述，正确的有：②③④，
故选：B．
15．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在边长为4的菱形中，，点、分别为、边上的动点，连接、、．若，则以下结论正确的是（ ）
①；②是等边三角形；③四边形的面积是；④面积有最大值为．
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】B
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长
【分析】①连接，根据菱形的性质及，可以得到为等边三角形，结合，可得，可利用判定，从而得到；②根据，，即可得到为等边三角形；③根据及，可以得到，再求等边三角形面积即可；④当时，最短， 等边的面积最小，由，可以得到的面积最大值为；
【详解】解：①连接，

∵四边形为菱形， ，
∴，，
∴、均为等边三角形，，
又∵，
即：，
∴，
在和中，

∴
∴，故①正确；
②∵，，
∴为等边三角形，故②正确；
③如图，过作于，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵


，故③正确；
④∵为等边三角形，
当时，最短，的面积最小，
此时，
∴，
同理可得：此时，
∵，
∴ ，
当的面积最小，的面积最大，最大值为，故④错误；
∴正确的结论为：①②③．
故选B
【点睛】本题考查菱形性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，面积最值问题，作出正确的辅助线及熟练掌握图形判定性质是解决本题的关键．
16．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在菱形中，，，是边上的一个动点，连接，以为对角线作菱形，使点落在边上，当菱形的周长最小时，菱形的面积为（ ）
A．16B．12C．D．
【答案】D
【知识点】利用菱形的性质求面积、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形
【分析】过作，如图所示，分析出菱形的周长最小时的位置，再由含的直角三角形性质，可判断，过作，如图所示，在中，根据勾股定理得到，最后由菱形的面积公式计算即可得到答案．
【详解】解：过作，如图所示：
在菱形中，，，
设，则，
，
，
，
，
，即菱形边长最小是4，
当时，则，即菱形边长最小时，在中，，，
，
过作，如图所示：
在中，，，则，
，由勾股定理可得，
菱形的周长最小时，菱形的面积为，
故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质、动点最值问题、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，分析出菱形周长最小时的位置，正确记忆相关知识点是解题的关键．
17．（23-24八年级下·河南周口·期中）如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，P是对角线上的动点，且．若，，则的最小值是（ ）

A．2B．3C．4D．
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质和平行线的性质可得，过作于，则，，当、、三点共线且与垂直时最小，最小值为菱形的高，求解即可．
【详解】过作于，过作于，

∵菱形，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴当、、三点共线且与垂直时最小，最小值为菱形的高，
∵，，
∴,
∵，，
∴
∴，
即的最小值是，
故选：D．
18．（22-23八年级下·福建福州·期中）如图，在，过点A分别作于点E，于点F，分别作点C关于的对称点G，H，连接．如果，，的面积为，那么下列说法不正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质证明、根据矩形的性质与判定求面积、面积问题(轴对称综合题)
【分析】由平行四边形的面积公式可求，由直角三角形的性质可求出的长，可判断D；由轴对称的性质和周角为可求出，可判断B；可证为等边三角形，再由三角形三边关系可得：，可判断C；由计算出可判断A．
【详解】解：∵，，
∴，．
∵的面积为，
∴，即，
解得：．
∵四边形使平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，，，，
∴，故D不符合题意；
如图，连接，

∵点C关于，的对称点分别是点G，H，
∴，，，
∴，故B不符合题意；
∵，
∴为等边三角形，
∴，
在中，，
∴，故C不符合题意；
∵点C关于的对称点为G，H，
∴垂直平分，垂直平分．
如图，

∵，，
∴四边形为矩形，四边形为矩形，
∴，．
∵，，
∴．
∵，
又∵， ，，
∴，故A符合题意．
故选A．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
19．（22-23八年级下·山东德州·期中）如图，点为正方形的中心，，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接则以下四个结论中：①；②；③连接，则；④；正确的结论为（ ）

A．①②③B．①③④C．①②④D．②③
【答案】C
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一、与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质证明
【分析】①过点作于点，求出，证明，然后可得，再根据等腰三角形三线合一与中位线定理可得出结论；②由三角形中位线定理知，，，然后可得结论；③先证，由点是的中点，得，，从而得，进而即可判断③错误；④根据四边形是正方形，是的平分线可求出，进而得到，再由是中点，可得，求出即可得出结论．
【详解】解：①过点作于点，则，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴（），
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，故①正确；
②∵点为正方形的中心，，，
∴，
∵是的中位线，,
∴,,
∴,
∴，
∴，
故②正确；
③如图，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，,
∴，
∵，
∴，故③错误；
④∵四边形是正方形，是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识，利用正方形的性质结合角平分线的性质逐步解答是解题关键．
20．（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形的边长为1，点E是边AD上一点，且，点F是边上一个动点，连接EF，以为边作菱形，且，连接，点P为的中点，在点F从点A运动到点B的过程中，点运动所走的路径长为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质证明
【分析】当与重合时为，当与重合时为，当点从运动到时，的运动轨迹为线段，连接，，，，可证，从而可证，由、分别是、的中点，即可求解．
【详解】
解：如图，当与重合时为，当与重合时为，
当点从运动到时，的运动轨迹为线段，
连接，，，，
四边形和四边形是菱形，
，
，，均是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中
，
，
，，
，
同理可证：，
，
在和中
，
，
，
，
、分别是、的中点，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，菱形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形中位线定理，掌握相关的判定方法及性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．
二、填空题
21．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，是边上的中线，是中边上的中线，若，，，则 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三角形中线求长度
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的中线性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线．延长交于点，延长，使，连接，根据题意可得，，进而可求出，根据勾股定理求出，证明，得到，推出，得到，根据勾股定理求出，在中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点，延长，使，连接，
，
，
，
，
，是中边上的中线，
，
，
在中，由勾股定理得：，
是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
22．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在边长为4的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】利用平移的性质求解、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、化为最简二次根式
【分析】连接，延长到点，使得，连接，证明当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为，是等边三角形，，边长为4，则，，则，，由勾股定理得到，即可得到的最小值．
【详解】解：如图，连接，延长到点，使得，连接，

∵沿射线平移，得到，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵是等边三角形，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为，
∵是等边三角形，，边长为4，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质、平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
23．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，为等边三角形，点为外的一点，，，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形
【分析】如图，以为边作等边，连接，过点作于，证明，可得，证明，得到，再求出的面积即可．
【详解】解：如图，以为边作等边，连接，过点作于，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在等边中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，等积变换等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与x轴的夹角为30°，点在x轴上，且，过点作交于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交x轴、干点、，以为边在的右侧作等边三角形，过点作的垂线分别交x轴、于点、，以，为边在的右侧作等边三角形，…，按此规律进行下去，则点的纵坐标为 ，点的纵坐标为 ．

【答案】
【知识点】点坐标规律探索、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】根据特殊直角三角形的性质，求出，，，…，可得点，，的纵坐标，从而得的纵坐标，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴的边长，，
∴点的纵坐标为，
∵等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴轴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴点的纵坐标为，
同理得：，
∴，
∴点的纵坐标为，
…，
∴点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为，
故答案为：，．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
25．（21-22八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，点为的中点，点分别为上的点，连接，若，则的长度为 ．
【答案】
【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】延长DE至G，使GE=ED，连接FG、AG，过F作于H，易证，由全等的性质得AG=BD=4，易证EF为GD的垂直平分线，所以GF=FD=，易证为等腰直角三角形，设FH=AH=x，在中，用勾股定理求得x=1，进而求得AF=
【详解】解：延长DE至G，使GE=ED，连接FG、AG，过F作于H，
在和中，
∴ AG=BD=4，
为等腰直角三角形
设，则
为GD的垂直平分线
在中，
整理得：
配方得：
开平方根得：或（舍去）
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，垂直平分线的性质，等腰直角三角的性质及判定，勾股定理，解题的关键是作出辅助线．本题添加辅助线的一个技巧是因为BD,DF,AF三边位置太分散了，所以通过三角形的全等改变位置，使它们集中，刚好可以构成，从而解决问题．
26．（21-22八年级下·福建福州·期中）如图，已知中，，D是的中点，于点E；连接，则下列结论正确的是 ．(写出所有正确结论的序号)
①； ②当E为中点时，﹔
③若，则； ④若，则面积的最大值为2．
【答案】①②③④
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，三角形的外角的性质以及等角的余角相等即可判断①正确；证得△ACD是等边三角形，得出∠BAC=60°，解得BC=AC，即可判断②正确；证得△ADE≌△BDM即可求得DE=DM，解直角三角形即可得到BE=2EM=4DE，即可判断③正确；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的可得，则，则面积的最大值为2，即可判断④正确．
【详解】解：△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD=BD=AD，
∴∠DCB=∠DBC，
∴∠ADC=2∠DCB，
∵AE⊥CD于点E，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∵∠ACE+∠DCB=90°，
∴∠CAE=∠DCB，
∴∠ADC=2∠CAE，故①正确；
当E为CD中点时，∵AE⊥CD，
∴AC=AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴BC=AC，故②正确；
作BM⊥CD，交CD的延长线于点M，则AE∥BM，
∴∠DAE=∠DBM，
∵∠ADE=∠BDM，AD=BD，
∴△ADE≌△BDM（AAS），
∴DE=DM，
若∠BED=60°，则BE=2EM=4DE，故③正确；
∵△ADE≌△BDM，
∴AE=BM，DE=DM，
∴S△ABE=S△BEM=•BM•EM=•AE•2DE=AE•DE，
若AB=4，则AD=2，
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，
即的最大值值为1，
∴△ABE面积的最大值为2，故④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边的性质，等边三角形的判断和性质，解直角三角形，三角形的全等的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积，综合运用以上知识是解题的关键．
27．（21-22八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，点D、E是线段AC上两动点，且，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．当时， ．
【答案】
【知识点】与余角、补角有关的计算、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形
【分析】过点C作CP⊥AC，交AM的延长线于点P，根据全等三角形的判定和性质得出∆BAD≅∆ACP，AD=CP，∠CEN=∠P，继续证明∆CPN≅∆CEN，得出∠DEF=∠EDF=60°，然后结合图形利用勾股定理解直角三角形，最后求比值即可．
【详解】解：如图所示，过点C作CP⊥AC，交AM的延长线于点P，
∵Rt∆ABC中，AB=AC，
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴∠PCN=∠ACB=∠ECN，
∵AM⊥BD，
∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°，
∴∠ABD=∠CAP，
在∆BAD与∆ACP中，
，
∴∆BAD≅∆ACP，
∴AD=CP，∠CEN=∠P，
∴AD=EC，
∴CE=CP，
∵CN=CN，
∴∆CPN≅∆CEN，
∴∠P=∠NEC，
∴∠EDF=∠DEF，
∵∠ABD=30°，
∴∠ADB=60°，
∵∠DEF=∠EDF=60°，
∴EF=DE，∠P=60°，
∴CP=CE=，
∴AE=AC-CE=
∵AD=，
∴CD=AC-CD=
∴EF=AC-AE-CD=，
∵BC=，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形等，作出辅助线构造出全等三角形是解题关键．
28．（21-22八年级下·安徽安庆·期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，O是BC的中点，D是腰AB上一点，把△DOB沿OD折叠得到△DOB′，
（1）当DB′∥BC时，∠BDO＝ ；
（2）当∠ADB′＝45°时，BD的长度为 ．
【答案】 或
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、折叠问题
【分析】（1）根据平行线的性质求出，再由折叠的性质得到，由此求解即可；
（2）分点在AB右侧时，如图1所示，点在AB左侧时，如图2所示，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵，
∴，
由折叠的性质可知，
∴，
故答案为：；
（2）若点在AB右侧时，如图1所示，
，，
，，
是的中点，
，
把沿折叠得到，
，，，
，
，
，
，
．
若点在AB左侧时，如图2所示，
∵，沿折叠得到，
∴，
∴，
过点O作OH⊥AB于H，作∠HDF=45°交OH于F，
∴∠HDF=∠HFD=45°，，
∴，
∴DH=HF，，
∵，∠ABC=45°，BH⊥OH，
∴△BHO是等腰直角三角形，
∴OH=BH=2，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或；
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了折叠，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质等等，熟知相关知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
29．（21-22八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AD是∠CAB的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则AC＝ ，PC+PQ的最小值是 ．
【答案】 5
【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、线段问题(轴对称综合题)
【分析】（1）根据勾股定理即可求出AC的长度；
（2）过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AC，再运用S△ABC=AB•CM=AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴；
如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC=5，BC=12，∠ACB=90°，
∵ ,
∴．
故答案为：5；．
【点睛】本题考查勾股定理、轴对称中的最短路线问题，找出点P、Q的位置是解题关键．
30．（23-24八年级下·四川成都·期中）在中，，，，点和点分别是射线和射线上的动点，且满足，则的最小值为 ．
【答案】/
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形
【分析】如图，在的上方作等边，过点作于点，由三角形的内角和定理及直角三角形的性质得，，进而利用勾股定理得，然后再根据等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质得，，进而证明是等边三角形，得，从而，，当、、三点共线时，取最小值，即可得解．
【详解】解：如图，在的上方作等边，过点作于点，

∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，当、、三点共线时，取最小值，
∴的最小值为
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，两点之间线段最短，熟练掌握直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质以及两点之间线段最短是解题的关键．
31．（23-24八年级下·四川德阳·期中）如图，在矩形中，O为的中点，过O点且分别交于F，交于E，点G是的中点，且，则下列结论：①；②；③四边形为菱形；④．其中正确的是 ．（填序号）

【答案】①③④
【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质求线段长
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：，再根据等边对等角可得，根据直角三角形两锐角互余求出，从而判断出是等边三角形，判断出③正确；设，根据等边三角形的性质表示出，利用勾股定理列式求出，从而得到，再求出，然后利用勾股定理列式求出，从而判断出③正确，②错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出④正确．
【详解】解：∵，点G是中点，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，故③正确；
设，则，
由勾股定理得， ，
∵O为中点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，故②错误；
∵， ，
∴，故④正确；
综上所述，结论正确的是①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，设出AE、OG，然后用a表示出相关的边是解题的关键．
32．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，中，，点E为线段上一动点，过点E作于点F，连接，点G为中点，连接．当最小时，线段的值为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】如图，延长到点H，使，连接，可求，进一步证是等边三角形，，为定角，由中位线定理，；当时，最小，此时，，勾股定理求得，中，．
【详解】解：如图，延长到点H，使，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，

当时，最小，此时，，
，解得，
中， ，，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的中位线，垂线段最短，三角形内角和定理，等腰三角形性质，等边三角形判定和性质，等腰直角三角形，勾股定理，添加辅助线构造中位线，寻求线段间的数量关系是解题的关键．
33．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在正方形中，，，，分别为，，上的点，连接，，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，作，，证明，，得到，在中，应用勾股定理，即可求解
【详解】解：延长到点，使，延长到点，使，延长到点，使，连接，，
∵正方形，
∴，，
∵，，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，即：，
∵，
∴的最小值为的长度，
在中，，，
故答案为：．
34．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在正方形中，，点E是线段BC上的动点，点F在线段上方，，且，连接FA，FD，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】线段问题(轴对称综合题)、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，勾股定理等知识，综合性强，难度较大．作，交的延长线于点G．证明，进而证明点F总在的角平分线上．在延长线上截取，则点D和点H关于直线对称，连接，当点A、F、H在同一直线上时，的值最小，为长度，根据勾股定理即可求出的最小值为．
【详解】解：如图1，作，交的延长线于点G．
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴点F总在的角平分线上．
如图2，在延长线上截取，
则点D和点H关于直线对称，
连接，当点A、F、H在同一直线上时，的值最小，为长度．
在中，，
即的最小值为．
故答案为：
35．（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，在四边形中，，点是的中点，，点在边上，四边形的面积为9，则的值为 ．
【答案】/
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】过作，过作交延长线于，如图所示，由平行四边形的判定证得四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，再由勾股定理、三角形全等的判定与性质及平行四边形性质得到相关线段长度，借助梯形的面积，列方程求解即可得到答案．
【详解】解：过作，过作交延长线于，如图所示：
，
，
，
四边形是平行四边形，则，
，，
，
四边形是平行四边形，则，
在中，，则由勾股定理可得，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，则，
，则，
四边形的面积为9，，
，
解得，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质、梯形面积等知识，根据题意，准确构造辅助线，数形结合，利用平行四边形的判定与性质、三角形全等判定与性质得到相关线段长度是解决问题的关键．
36．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，正方形中，对角线、交于点O，的平分线交于E，交于F，于H，交于G，交于P，连接，以下结论：①；②四边形是菱形；③；④；⑤，其中正确的是 ．
【答案】①②③④
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、根据正方形的性质证明
【分析】由是的平分线，可得，由，可得是等腰三角形，，，由，则是线段的垂直平分线，，求，则则，由，可证四边形是菱形，进而可判断②的正误；由，，，可证，进而可判断①的正误；由，，可得，进而可判断③的正误；根据，可得，设，则，，证明，则，根据，可判断⑤的正误；由勾股定理得，，同理，，，，则，由，，可求，根据，可判断④的正误．
【详解】解：∵正方形，
∴，，，，，
∵是的平分线，
∴，
又∵，
∴是等腰三角形，，，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，②正确，故符合要求；
∴，，
∵，，，
∴，①正确，故符合要求；
∴，
∴，即，③正确，故符合要求；
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，⑤错误，故不符合要求；
由勾股定理得，，
同理，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，④正确，故符合要求；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线，垂直平分线的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，角平分线，垂直平分线的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
37．（23-24八年级下·浙江·期中）在中，当，点E是边上的中点，点F为上一点，连接，作交的边于点G．
（1）如图1，若G点在边上，，则的面积是 ．
（2）如图2，若G点在边上，，则的面积是 ．
【答案】 10
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】题目主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理解三角形及相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据平行四边形的性质得出，过点F作于K，利用等腰三角形的判定和性质及勾股定理得出为等腰直角三角形，，过点A作于点M，则，继续利用勾股定理得出，即可求解；
（2）过点F作于K，延长交的延长线于点，过点作，延长交的延长线于点，过点作，结合（1）中方法得出，，，，设，通过计算可得，再由勾股定理列方程可求得x，即可求解．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
过点F作于K，
∴，
∵，
∴，
∵，点E是边上的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
过点G作，
∴为等腰直角三角形，
∴，
过点A作于点M，则，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为：；
故答案为：；
（2）过点F作于K，延长交的延长线于点，过点作，延长交的延长线于点，过点作，
由（1）得，，，
∴，
∴，
，,
，
，
四边形为矩形，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
可得方程，
解得，
，
，
∴的面积为：．
38．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，在菱形中，分别为线段上的动点，且始终满足，将绕点逆时针旋转至，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长
【分析】作射线，然后证明，确定点G的运动轨迹，然后作作点C关于的对称点H，连接，，则即为和的最小值，可知点H在的延长线上，且，再过点B作交的延长线于点P，利用勾股定理计算即可解题．
【详解】解：作射线，
∵是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点在射线上移动，
作点C关于的对称点H，连接，，则即为和的最小值，
∵，
∴点H在的延长线上，且，
过点B作交的延长线于点P，
则，
∴，，
∴，
∴，
故和的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径问题，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．
39．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形和正方形中，在同一条直线上，，为的中点，延长交于点，连接，连接分别交于点，下列说法：①；②；③；④；⑤平分，其中正确的结论有 ．
【答案】①②④
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明
【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等、平行线的性质等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
① 由正方形的性质和两个正方形边长关系，可证，结论①得证；
② 由正方形的性质和两个正方形边长关系，可得到为、的中点，，都是等腰直角三角形，且，可得，，可证，再结合，即可证．
③ 通过，，可证为的中点，过点作于，得到，设正方形的边长为，利用，，即可得到两者面积之比．
④ 通过，，可证为的中点，，从而可证明．
⑤ 利用前面的证明结果，通过证明，即可证明不平分．
【详解】解：① 四边形和都是正方形，，为的中点，
，，，
，
，
（）
故结论①符合题意．
② 四边形和都是正方形，，
正方形的边长为正方形边长的，
为、的中点，
又 为的中点，
，
，都是等腰直角三角形，且，
，，
，
又 ，
，
，
，
，
，
故结论②符合题意．
④ （结论②的证明中已证），
，
，，
，
，
，即为的中点，
又 (结论①的证明中已证)
，
，
故结论④符合题意．
③ 为的中点（结论④的证明过程中已证），过点作于，如图所示，
设正方形的边长为，则正方形边长为，
则，
，
，
，
故结论③ 不符合题意．
⑤ ，，
，
，
又 ，
，
，
不平分，
故结论⑤不符合题意；
综上所述，结论①②④符合题意．
故答案为：①②④．
40．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，在中，，于点D，E为边上的中点，连接交于F，将沿着翻折到，恰好有，则下列结论：①四边形为菱形；②；③；④连接交于H，则．上述结论中正确的有 ．（填正确的序号）．
【答案】①③④
【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形
【分析】利用翻折的性质，平行线的性质可得出，利用等边对等角得出，结合翻折的性质可得出，即可判定①；举反例说明即可判定②；利用三角形中线的性质得出，，即可判断③；利用余角的性质证明，得出，结合四边形是菱形可得出，然后证明，即可判定④．
【详解】解：∵，
∴，
∵翻折，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
故①正确；
当时，，，
设，
∴，
∴，
∴，，
∵E是中点，
∴，
∴，
又，
∴，
故②不正确；
∵，
∴，，
∴，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故④正确，
∴正确的有①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
41．（23-24八年级下·北京·期中）矩形中，点是上一点，，，，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则的最小值为 ，面积的最小值为 ．

【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，由四边形为菱形可得，可知当时，取最小值，
即点重合，的值最小，即可求出的最小值；延长相交于点，过点作的延长线于点，可得，进而证明，得到，由此可知当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值，即当取最大时，点重合，求出，得到，进而得到，再根据三角形面积公式即可求解；正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，
当时，取最小值，
∵四边形为矩形，
∴，
∴点重合，的值最小，即为的长，
∴的最小值为为，
∴的最小值为；
延长相交于点，过点作的延长线于点，则，

∵四边形为矩形，四边形为菱形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值，
当取最大时，点重合，此时，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：，．
42．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在菱形中，为边的中点，为边上一动点（不与点重合），点是菱形内的一点，且点点与关于直线对称，连接，当为直角三角形时，的长为 ．

【答案】3或
【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长
【分析】分为三种情况讨论，① 当时， 设的中点为点R，连接，由直角三角形的性质可得，证明四边形是平行四边形，根据，可得点P、E、R三点共线，可证得，由轴对称的性质可得，，证得是等边三角形，可得；②当，连接，证明P、C、E三点共线，过点E作于点F，设，由含30度角直角三角形的性质和勾股定理，由三线合一得，构造方程求解；③当时，点E在菱形外部，不合题意．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，与均为等边三角形，
当时，如图所示，

设的中点为点R，连接，
∵，R为的中点
∴，
∵点P为边的中点，
∴，
由点点与关于直线对称可得，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴点P、E、R三点共线，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由点点与关于直线对称可得，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
当，如图所示，连接，

∵，
∴，
∵为等边三角形，点P为边的中点，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴P、C、E三点共线，
过点E作于点F，设，
由点点与关于直线对称可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理可得：，
∴，
∵
∴
解得：，即，
当时，点E在菱形外部，不合题意，
综上，的长为3或，
故答案为：3或．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、菱形的性质、三点共线、平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质；本题综合性强，注意分类讨论．
43．（23-24八年级下·安徽黄山·期中）如图，正方形中，M，N分别为边，上一点，． ，相交于点，连接．若，，则阴影部分的面积之和为 ．
【答案】
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明
【分析】连接，先证明，进而可得，得，再证明，可得．
【详解】解：连接，
∵正方形，
∴，，
又∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为．
44．（22-23八年级下·浙江温州·期中）在一节数学拓展中，老师给出：“如图，在中，，为斜边的中点，”，要求结合本学期所学的一元二次方程和三角形的中位线定理，把题目补充完整．小明补充如下：“于点，为中点，连接．当，时，的值是 ；当时，的 ．”请填写上面空格．
【答案】 1
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】设，，则，证为的中位线得，在中由勾股定理得①，在中由勾股定理得②，由①②解方程组得，，由此可得的值；设，，，，则，，，在中由勾股定理得，在中由勾股定理得，由此可得③，过点作于，过点作于，证和全等得，再证，在中由勾股定理得：，再由三角形的面积公式得，则，即④，由③④得：，据此可得，将代入③得，则，从而得，则，进而可求出的值．
【详解】解：设，，
，
，
点是斜边上的中点，
，
点为的中点，
为的中位线，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
①，
在中，由勾股定理得：，
，整理得：②，
将②代入①得：，整理得：，
，
，
，
（舍去负值），
，
；
设，，，，
为斜边的中点，
，
为的中位线，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
③，
过点作于，过点作于，如图所示：
于点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
又点为的中点，
为的中位线，
，
在中，由勾股定理得：，
由三角形的面积公式得：，
，即，
，即④，
由③，④得，
（舍去负值），
，
将代入③得，
，
（舍去负值），即，
；
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，直角三角形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形的中位线定理，直角三角形的性质，全等三角形的性质，灵活运用勾股定理构造方程（组进行计算是解决问题的关键．
45．（23-24八年级下·山东日照·期中）在正方形中，对角线、交于点，的平分线交于点，交于点．过点作于点，交于点．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④若，则．其中正确的个数有 （填序号）．
【答案】①②③④
【知识点】根据正方形的性质求线段长、利用菱形的性质求线段长、角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题主要考查了正方形的性质、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键．
设，则，可算出，故①正确；先证明，再由得，即，四边形是菱形，故②正确；由，得，可求出，故③正确；由四边形是菱形证明可得故④正确．
【详解】解：∵平分，，，
，
∵四边形是正方形，
，
，
设，则，
，故①正确；
∵四边形是正方形，
∴，
∵
∴在和中，，
，
∴，，
∵，，
∴
，
∵四边形是正方形，
∴，
又
，
，
，
，
，
∴四边形是菱形，故②正确；
由①②知，，，
∴，
∴，故③正确；
，，
，
∵四边形是菱形，
，
，
，
∴，
，
，故④正确．
故答案为①②③④．
46．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为边上的动点，以为一边在的右上方作等边三角形，连接，则的最小值为 ．
【答案】/1.5
【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】以为一边在正方形内作等边，连接，过点作于点，过点作于点，先证四边形为矩形，再证和全等得，再由得，由此可得出当点与点重合时，为最小，即为最小，最小值为．
【详解】解：以为一边在正方形内作等边，连接，
过点作于点，过点作于点，
四边形为正方形，且边长为，
，，
点为的中点，
，
和均为等边三角形，，
，，，，
，，，
四边形为矩形，
，，
，
，
即：，
在和中，
，
，
，
，
，
当点与点重合时，为最小，
即为最小，最小值为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，根据垂线段最短求解是解题的关键．
47．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，将和分别沿着折叠得到和，点G，H恰好落在对角线上，且，连接，若，则 ．
【答案】
【知识点】折叠问题、利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】如图，连接，交于，过作于，连接，证明，四边形为平行四边形，四边形是平行四边形，且，设，则，设，，，，利用等面积法可得，，由勾股定理可得：，可得，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，连接，交于，过作于，连接，
∵，
∴，，，，，
∴，
由对折可得：，，
∴，
∴，
结合对折可得：，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
同理可得：四边形是平行四边形，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，设，，
∴， ，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理可得：，
∴，
∴，
同理可得：
，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
48．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，矩形中，，，点、分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】化为最简二次根式、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据矩形的性质求线段长、求最短路径(勾股定理的应用)
【分析】过点作，使，过点作，交的延长线于点，连接、、，交于点，根据矩形的性质及勾股定理得，，继而得到是等边三角形，证明，得到，继而得到，
当、、三点共线时，取“”号，此时有最小值，最小值是线段的长，然后在中，根据角的直角三角形的性质及勾股定理得到，，最后再根据勾股定理计算即可．
【详解】解：过点作，使，过点作，交的延长线于点，连接、、，交于点，
∴，
∵矩形中，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵点、分别是对角线和边上的动点，
∴，
当、、三点共线时，取“”号，此时有最小值，最小值是线段的长，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角的直角三角形，三角形三边关系，两点之间线段最短等知识点，通过作辅助线构造全等三角形的是解题的关键．
49．（22-23八年级下·湖南娄底·期中）如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．

【答案】①②③④
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明
【分析】过作于点，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明后即可证明①；③；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在中，，在中，，在中，，从而即可得出结论．
【详解】解：过作于点，延长到上于一点，

∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴四边是矩形，四边形是矩形，
∴，
∴
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，故①正确，，
∴，故③正确，
∴，
∵，
∴，即，故②正确，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵在中，，
在中，，
在中，，
∴，故④正确，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
50．（22-23八年级下·四川绵阳·期中）如图，在平行四边形中，，，连接，且，平分交与于点．点在边上，，若线段（点在点的左侧）在线段上运动，，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、四边形中的线段最值问题
【分析】在上截取，连接，过点作，使，连接交于点，连接，过点作于点，过点作于点，连接，由平行四边形的性质和含直角三角形三边关系可得：，利用勾股定理可得，再利用含直角三角形三边关系可得：，，进而可得，求得：，再证四边形是平行四边形，得出，再证明，得出，根据，可得出：当点在线段上时，的最小值为，即的最小值为，即可求得的最小值．
【详解】解：在上截取，连接，过点作，使，连接交于点，连接，过点作于点，过点作于点，连接，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵线段（点在点的左侧）在线段上运动，
∴，
∴当点在线段上时，的最小值为，
∴的最小值为，
∵，，
∴最小值为：，
即最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造平行四边形和全等三角形是解题的关键．
三、解答题
51．（23-24八年级下·江西赣州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
(1)已知：，求的值；
(2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
(3)计算：．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件
【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案；
（2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案；
（3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案．
此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
且，
∴；
（2）解：∵
∴，
化简后两边同时平方得：，
∴，
经检验：是原方程的解；
（3）解：
．
52．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）阅读下面材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较 和 的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求 的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母 有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
(1)由材料可知，__________；
(2)比较和 的大小；
(3)式子 的最小值是__________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算
【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化：
（1）根据分子有理化的方法进行求解即可；
（2）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小；
（3）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值．
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2），
，
而，，
，
；
（3）由，，得，
，
当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为．
53．（21-22八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
＝＝＝＝．
再如：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，且a，m，n为正整数，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)14或46
【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简
【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．
【详解】（1）
（2）
（3）∵，
∴，，
∴
又∵、n为正整数，
∴，或者，
∴当时，；
当时，．
∴a的值为：或．
【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．
54．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图1， 在等边三角形中，于D，于E，与相交于点O．
(1)求证：；
(2)如图2，若点 G 是线段上一点，平分，延长到 F，使得，连接， 求的度数．
(3)如图3， 若平分，平分，延长线交于点N， 与交于点M， 若 （k为常数），求k的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形
【分析】（1）由等边三角形的可求得，利用含角的直角三角形的性质可得，进而可证明结论；
（2）求出，则，证明，则，即可得到；
（3）过点H作于点P，过点M作于点Q，连接，证明，是等腰直角三角形，则，证明是等腰直角三角形，则，进一证明，，，根据含角的直角三角形的性质得到，设，则由勾股定理得到，即可得到，可以求得，即可求出k的值．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴平分，平分，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，，于E，
∴，垂直平分，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
（3）解；过点H作于点P，过点M作于点Q，连接，
∵在等边三角形中，，，
∴平分，平分，垂直平分，
∴，，
∵平分，平分，
∴
∴，
∴，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵垂直平分，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
设，则
∵，，
∴，
∴
∴，
∴
∴
【点睛】此题考查了等边三角形性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、角平分线性质定理等知识，综合性较强，知识点较多，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．
55．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，过边长为6的等边的顶点A作直线，点D在直线l上(不与点A重合)，作射线BD，将射线BD绕点B顺时针旋转60°后交直线AC于点E．
(1)如图1，点D在点A的左侧，点E在边上，求证：．
(2)如图2，点D在点A的右侧，点E在边的延长线上，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明：若不成立，写出你的结论，再证明．
(3)如图3，点E在边的反向延长线上，若，请直接写出线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)不成立，，证明见解析
(3)
【知识点】根据旋转的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）根据等边三角形的性质及平行线的性质，可证明，所以，即可证明；
（2）根据（1）的证明方法，证明，所以，可推得；
（3）过点B作于点F，同样可证，得到，根据等腰三角形三线合一性质，可得，，所以，由此可证明为等腰直角三角形，所以，即得答案．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
∴， ，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）不成立，；理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）如图所示，过点B作于点F，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，，
，，
为等腰直角三角形，
，
.．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，熟练运用以上性质是解题的关键．
56．（23-24八年级下·广东梅州·期中）（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，点在的延长线上，连接，求证：．
（2）类比探究：如图2，在中，，分别以为边向外作正方形和正方形，连接．猜想线段与线段的数量关系和位置关系，并说明理由；（提示：正方形的各边都相等，各角均为）
（3）运用上述解答中所积累的经验解答问题：如图3，在四边形中， ，，，则的长为 ．
【答案】（1）见解析
（2），，理由见解析
（3）
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查等边三角形，正方形，旋转的性质，掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理求线段长是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质可得，由此可得，运用“边角边”的方法即可判定三角形全等；
（2）根据正方形的性质，可证，根据全等的性质可得，由此即可求解；
（3）如图所示，将线段绕点顺时针旋转的线段，可证，可得，是直角三角形，在中，根据勾股定理可求出的长，在中，可求出的长，由此即可求解．
【详解】解：（1）证明：∵和均为等边三角形，
∴，，
∴，即，
∴；
（2），，理由如下，
已知在中，，分别以为边向外作正方形和正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
如图，设交于点，交于点，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，，；
（3）如图所示，将线段绕点顺时针旋转的线段，连接，
∵，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，且，
∴，即是直角三角形，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
57．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得、、三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是_________．
（2）类比迁移：根据上述方法画出示意图，解决以下问题
已知，均为正数，且，求的最小值．
【答案】（1）；（2）5
【知识点】二次根式有意义的条件、两点之间线段最短、用勾股定理解三角形
【分析】（1）先根据题意利用勾股定理求出，，要使的值最小，则的值最小，当，，三点共线时，的值最小，最小值为，过点作，交延长线于点，得矩形，根据两点间线段最短，得到线段就是所求代数式的最小值；
（2）作线段，在的两侧作两个和，使得，，用类似（1）的方法求解即可．
【详解】解：（1）如图，，，，，
在中，，
在中，，
，
要使的值最小，则的值最小，
当，，三点共线时，的值最小，最小值为，
过点作，交延长线于点，
得矩形，
，，
，
，
代数式的最小值为13；
故答案为：13；
（2）模仿（1）可知，当，，，，
在中，，
在中，，
，
要使的值最小，则的值最小，
当，，三点共线时，的值最小，最小值为，
过点作，交延长线于点，
得矩形，
，，
，
，
代数式的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题属于综合题，考查了轴对称最短路线问题，列代数式，勾股定理，三角形的面积，矩形的性质与判断，解决本题的关键是准确读懂题意，利用勾股定理．
58．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）【问题背景】（1）如图1，点是线段，的中点，求证：；
【变式迁移】（2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断三边数量关系并说明理由．
【拓展应用】（3）如图3，在中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），过点作，连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明见解答过程；（2），理由见解答过程；（3）
【知识点】内错角相等两直线平行、全等三角形综合问题、根据三线合一证明、用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据证明与全等即可；
（2）连接，利用证明与全等，可得，从而，又，故，即得；
（3）延长到，使得，连接，延长交于点，证明是等腰直角三角形，即可求出的长．
【详解】（1）证明：∵点是线段的中点，
，
在与中，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
连接，如图：
∵是等腰三角形，是底边上的高线，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：延长到，使得，连接，延长交于点，如图：
∵为的中点，
∴，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查三角形综合应用，解题的关键是灵活应用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，学会添加常用的辅助线，构建全等三角形．
59．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“半等边四边形”．
(1)如图1，在四边形中，，，，求证：四边形是“半等边四边形”；
(2)如图2，中，，
①求、的长；
②设是所在平面内一点，当四边形是“半等边四边形”时，请直接写出四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①，；；②或或
【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、二次根式的混合运算
【分析】（1）由四边形内角和定理求出，由，即可得出结论；
（2）①如图1，过点作，交延长线于，设，求出，由直角三角形的性质得出，，构建方程求出，进而得出和的长；
②根据“半等边四边形”的定义分三种情况进行讨论，利用面积和可计算四边形的面积．
【详解】（1）（1）证明：在四边形中，，
，，
，
，
四边形是“半等边四边形”；
（2）解：①如图1，过点作，交延长线于，则，
，，
是等腰直角三角形，，
，，
，
设，则，，
，
，
，
，；
②分三种情况：
如图2，，，
是等边三角形，
过点作于，过点作于，
，，
，
四边形的面积
；
如图3，，，
过点作于，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形的面积
；
如图4，，，
连接，过点作于，过点作于，则是等边三角形，
，，，
，
，
中，，，
，，
四边形的面积
；
综上所述，四边形的面积是或或．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了“半等边四边形”的判定与性质，等边三角形的性质和判定，四边形的内角和定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握半等边四边形的判定与性质和直角三角形的性质是解题的关键．
60．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，已知， 在的平分线上有一点 C(不与点O重合)．将一个 角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线，OB相交于点 D，E．
【初步把握】（1）如图1， 当绕点 C旋转到与垂直时， 求证：
【深入研究】（2）如图2，当∠DCE绕点C旋转到与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；
【拓展延伸】（3）当∠DCE绕点 C旋转到与的反向延长线相交时，线段，与之间又有怎样的数量关系？请画出图形，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）结论成立，证明见解析；（3），理由见解析
【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判断与性质，勾股定理，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据是的角平分线，可得，再根据所对直角边是斜边的一半，得出，利用勾股定理可求出，同理：，即可得出结论；
（2）同（1）的方法得到，再根据证明，得出，则，即可得出结论；
（3）同（2）的方法得到，根据等量代换可得．
【详解】解∶ （1）是的角平分线，

，

，
，
在中， 设， 则，
由勾股定理得
同理：

（2）（1）中结论仍然成立，理由∶
如图2， 过点 C作于 F，于 G，
∴，
∵，
∴，
同（1）的方法得，

∵， ， 且点 C是的平分线上一点，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∴， ，
∴，

(3)结论为∶
理由∶ 如图3， 过点C作于 F，于 G，
∴，


同（1）的方法得，

∵， ， 且点 C是的平分线上一点，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∴， ，
∴，

61．（23-24八年级下·河北保定·期中）综合与实践：
【问题情景】
综合与实践课上，王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动．
【实践操作】
王老师让同学们先画出两个等边和，将绕点A旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决．
（1）如图①，“慎思组”的同学们连接、，与的数量关系是 ；与的数量关系是 ；的度数是 度．
（2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接，他们认为，如果，且，就可以求出的长，请写出求解过程．
【类比探究】
（3）如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角和，其中，，；且点恰好落在上，那么、和之间一定存在某种数量关系，请你探究后直接写出它们之间的数量关系．
【答案】（1），，；（2）；（3）
【知识点】全等三角形综合问题、根据等边对等角证明、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．
（1）证明，可以得到，，根据，即可得到；
（2）由（1），，根据等边三角形性质求出，，进而求出，根据勾股定理即可求出；
（3））连接， 证明得到，，进而得到，根据勾股定理得到，即可得到．
【详解】解：（1）如图1，
与均为等边三角形
，，
又，
，
在与中，
，
，
，，
又∵，
∴．
故答案为：，，；
（2）由（1）可知，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
在中，由勾股定理可得；
（3）．理由如下：
如图③，连接，
，，；
，，
在与中，
，
，
，，
，
，
．
62．（23-24八年级下·山东青岛·期中） 在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在第一象限，作射线．给出如下定义：如果点在的内部，过点作于点，于点，那么称与的长度之和为点关于的“内距离”，记作，即．
(1)如图1，若点在的平分线上，则___________，___________，___________；
(2)如图2，若，点（其中）满足，求的值；
(3)若，点在的内部，用含，的式子表示 （直接写出结果）．
【答案】(1)2；2；4
(2)
(3)
【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理、坐标与图形
【分析】（1）由角平分线的性质得，即可得到；
（2）过点C作轴于点M，过点C作于点N，得到，，是等腰直角三角形，由得到，由勾股定理得到，则，可得到，解方程即可得到a的值；
（3）过点Q作轴于点C，交于点D，则四边形是矩形，证得，即可得到，由勾股定理得到，则，同理可得，则,得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点在的平分线上，
∴，
，
故答案是：2；2；4．
（2）解：过点C作轴于点M，过点C作于点N，

∵点（其中），
∴，，是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：过点Q作轴于点C，交于点D，则四边形是矩形，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴,
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，坐标与图形，添加合适的辅助线构造直角三角形，是解题的关键．
63．（23-24八年级下·广西玉林·期中）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为．
【解决问题】：已知如图1在中，，，．
(1)请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积．
(2)除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法；
(3)求中边上的高与边上的高的积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【知识点】利用二次根式的性质化简、与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形
【分析】（1）代入“海伦秦九韶公式”计算即可；
（2）过作于，设，则，利用勾股定理构建方程求出，即可；
（3）由三角形的面积公式求出边的高，再由（2）可得，再求出乘积即可．
【详解】（1）解：∵三角形三边长分别为4、5、7，
．
（2）解：过作于，设，则，
在中，，
在中，，
，
解得：．
在中，，
；
（3）解：设三角形中边上的高为
由（2）可知三角形中边上的高
所以三角形中与边上的高的积为．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，勾股定理等知识，等积法，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
64．（23-24八年级下·河北保定·期中）（1）如图1，分别以的边，为腰往外部作等腰三角形，使，，且，连接，，找出图中的全等三角形，并说明理由；
（2）如图2，中，，，，分别以的边，为腰往外部作等腰直角三角形，使，，且，连接，，直接写出的度数和的长；
（3）如图3，，是的垂直平分线上一点，，，，，直接写出的长．
【答案】（1），理由见解析；（2），；（3）
【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】（1）通过证明，即可解决问题；
（2）根据等腰直角三角形的性质推出，，，利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据题意推出，根据勾股定理求解即可；
（3）作，且使，过点D作，证明，再求出，再根据角的和差求出，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：（1），理由如下：
，
，
，
在和中，
；
（2）和是等腰直角三角形，，
，，，
，
即，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）如图，作，且使，连接，过点D作，
，
，
即，
，，，
，
，
， ，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
；
【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
65．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）实验学校数学兴趣小组对特殊三角形外一点与该三角形三个顶点所形成的线段数量关系展开探究：
(1)如图①，已知等边三角形边的延长线上一点P，且满足，求线段、、的数量关系，马超同学一眼看出结果为，，你是否同意，请聪明的你说明理由；
(2)在探究过程中，小组同学们发现，当点P不在任意边的延长线上时，所形成的图形形似“鸡爪”，于是兴趣小组同学们对“鸡爪”图形的特点展开深入探究：如图②，为等边三角形，，（1）中的结论是否仍成立？小孙同学是这样做的：首先将线段朝外作等边三角形，连接，……，请沿着小孙同学的思路尝试着走下去看看结论是否符合（1）中的结论；
(3)如图③，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，请简述线段、、的数量关系；
(4)如图④，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，若，，请直接写出的长．
【答案】(1)同意，证明见解析；
(2)成立，证明见解析；
(3)
(4)
【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形
【分析】（1）证明，，由勾股定理即可得出结论；
（2）线段朝外作等边，连接，证明得出，再证明，由勾股定理即可得出结论；
（3）线段朝外作等腰直角，同（2）的方法证明，在由即可得出结论；
（4）过点A作，交延长线于点D，得是等腰直角三角形，再证明得出，得出，进而求出.
【详解】（1）同意，
理由如下：∵在等边三角形中，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
（2）（1）的结论成立，
证明：如图，线段朝外作等边三角形，连接，
在等边，等边中，，，，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
（3）如图，线段朝外作等腰直角三角形，连接，，，
在等腰直角，等腰直角中，，，，
∴，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即.
（4）过点A作，交延长线于点D，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质和勾股定理，利用旋转构造全等三角形，将三条线段转化到同一个三角形中求解是解题关键．
66．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，连接．
(1)如图1，平分交y轴与点B，交于点D，直接写出点B，C，D的坐标：
B（____，____）C（____，____）D（____，____）；
(2)如图1，在（1）的条件下，F为的中点，求的值，并直接写出的值；
(3)如图2，点M从O点出发沿射线运动，点N从A点出发沿运动，、分别为、的中点，若、两点以相同的速度同时出发运动，当，时，直接写出当有最小值时的长度．
【答案】(1)，，
(2)，
(3)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、已知两点坐标求两点距离
【分析】（1）由于四边形为矩形，平分，可得，为等腰直角三角形，于是，，B，C，D对应的横纵坐标的长度都可求，由此得解．
（2）连接，过F作轴于H，并在延长线上截取，过M在的左侧作，且，连接；则可得，从而有，；再求出F点的坐标，从而得M、G的坐标，则可求出，得点O在线段上，则，从而得的值；
（3）以为边长作正方形，先证明，得到，即可将转化为，由此确定此时、的位置，过D作于H，连接，利用面积相等分别求出，利用两点的中点坐标表示出、坐标，然后利用两点间的距离公式即可求得答案．
【详解】（1）解：如图所示，
四边形为矩形，，，
，，，
坐标为，
平分，
，
，，
，为等腰直角三角形，
，，
点坐标为，
过作于，
，，
点坐标为；
故答案为：；
（2）解：如图所示，连接，过F作轴于H，并在延长线上截取，过M在的左侧作，且，连接；
∵，
∴，
∴，；
∵F为的中点，
∴由（1）知，F的坐标为，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
即；
∵，
∴，
∴，；
∵，
，
∴，
∴点O在线段上，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，以为边长，在轴下方作正方形，连接交于,
、两点以相同的速度同时出发运动，
，
，
，
，
，
、、三点共线时，即N点与点重合时，有最小值，即的长，
过D作于H，连接，
由勾股定理得：，
∵，
∴；
设，
∵，
∴，即；
∵，
∴，
解得：，
即；
坐标为，坐标为，
又，，、分别为、中点，
坐标为，坐标为，
．
【点睛】本题考查了点的坐标表示，两点的中点坐标公式，两点间距离公式的坐标表示，全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质，对于求线段之和最小值问题，将其转化成利用“两点之间线段最短”来解决，作出合适的辅助线、等积思想的运用是解决问题的关键．
67．（22-23八年级下·福建漳州·期中）如图1，中，，，，平分，于点B．动点P从点C出发沿折线以每秒3个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点D出发沿折线以每秒4个单位的速度运动，运动时间为t秒，当点P到达点B时P、Q同时停止运动．

(1)求证：；
(2)若点P在上，点Q在上，且是以为斜边为直角三角形，求t的值；
(3)如图2，点P在上，点Q在上运动，交于点F，若，且为等腰三角形，求a的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】（1）过点D作于点H，根据角平分线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，等量代换可得；
（2）先根据勾股定理、含30度角的直角三角形的性质求出和，再证，推出，再用含t的代数式表示出和，列出等式，即可求解；
（3）分，，三种情况，利用等腰三角形的性质、含30度的直角三角形的性质等分别求解即可．
【详解】（1）证明：如图，过点D作于点H，

，
，
平分，，，
，
中，，
，
；
（2）解：中，，，，
，
，
，
，
．
是以为斜边为直角三角形，
，
，
，
，
点P在上，点Q在上时：
，，
，
解得；
（3）解：点P在上，点Q在上运动时：
，，
由（2）知，，
，
，
．
为等腰三角形时，分三种情况：
当时，如下图所示：

，
，
．
是含30度角的直角三角形，
，
，
解得，
，
；
当时，如下图所示，作于点G，

，，
，
，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
中，，
，
，，
，
，
解得，
，
；
当时，如下图所示：

，
，
，即，
又，
，
，与题意不符，故这种情况不存在；
综上可知，a的值为或．
【点睛】本题考查三角形上的动点问题和等腰三角形的存在性问题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，第三问注意分情况讨论，避免漏解．
68．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）在等腰中，，，是射线上的动点，过点作（始终在上方），且，连接．
(1)如图1，当点在线段上时，判断与的关系，并说明理由．

(2)如图2，若点为线段上的两个动点，且，连接，，求的长．

(3)若在点的运动过程中，，则___．
(4)如图3，若为中点，连接，在点的运动过程中，当__时，的长最小？最小值是___．

【答案】(1)垂直且相等，理由见解析
(2)5
(3)或
(4)9，3
【知识点】二次根式的乘法、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】（1）证明，由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）证明，由全等三角形的性质及勾股定理即可得出答案；
（3）分两种情况画出图形，由勾股定理进行计算即可得到答案；
（4）当时，线段最短，证出为等腰直角三角形，可求出的长．
【详解】（1）解：当点在线段上时，
，，，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
由（1）可知，，
，
设，
，
，
，
；
（3）解：如图1，当点在线段上，，设为边上的高，为垂足，
，
在等腰中，为的中点，，
，
，，
，
如图2，点在线段的延长线时，同理可得，
，
，
，
故答案为：或；
（4）解：点运动轨迹是过点，且垂直于的射线，根据垂线段最短的性质，当时，线段最短，如图3，
，
，，，
为等腰直角三角形，
，
由（1）知：，
，
此时，
故答案为：9，3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
69．（22-23八年级下·四川成都·期中）已知是等边三角形．

(1)如图1，也是等边三角形．点A、B、E三点不共线，求证：；
(2)如图2，点D是外一点，且，请证明结论；
(3)如图3，点D是等边三角形外一点，若．试求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、利用勾股定理证明线段平方关系
【分析】（1）连接．根据证明即可解决问题；
（2）以为边向下作等边，连接．证明，推出，再证明，即可解决问题；
（3）以为边向下作等边，连接，作交的延长线于．同法可证：，可得，设，，利用勾股定理构建方程组，求出，即可解决问题．
【详解】（1）解：证明：如图1中，连接．
，都是等边三角形，
，，，
，
，
．
（2）如图2中，以为边向下作等边，连接．
，都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，，
．
（3）如图3中，以为边向下作等边，连接，作交的延长线于．

同法可证：，
，设，，
则有，
解得，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．
70．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，点A为x轴负半轴上一点，点B为y轴正半轴上一点，点C为x轴正半轴上一点，，，,且a、b、c满足有意义．

(1)若，求__________________；
(2)如图1，点P在x轴上（点P在点A左边），以为直角边在的上方作等腰直角三角形，求证：；
(3)如图2，点M为中点，点E为射线上一点，点F为射线上一点，且，设，，请求出的长度（用含m、n的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)证明见解析；
(3)
【知识点】二次根式有意义的条件、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形
【分析】（1） 根据二次根式的非负性可求得，再结合勾股定理可求得的值；
（2）连接，证明，再由全等三角形的性质及勾股定理即可证明；（3）分情况讨论，当点E在线段上时，当点E在线段延长线上时，分别画出图形，作出辅助线，利用三角形全等和勾股定理得出结论即可．
【详解】（1）解：∵a、b满足有意义，
∴且，
∴，即，，
；
（2）证明：连接，由（1）可得，
∵两个坐标轴垂直，
∴，
∴，
又∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴即；
（3）当点E在线段上时，连接，如图所示：
∵，，点M为的中点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理得：；
当点E在线段延长线上时，连接，如图所示：
同理可得：，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理得：；
综上分析可知，．
【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，坐标与图形，二次根式的非负性等．（1）中能根据二次根式的非负性得出a=b=c是解题关键；（2）中正确构造辅助线，作出全等三角形是解题关键；（3）能借助全等三角形和线段的和差正确表示线段的长度是解题关键．
71．（22-23八年级下·广东汕头·期中）已知：是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，探究并解决下列问题：

(1)如图①，若点在线段上，且，则：
①线段____________，____________；
②猜想：三者之间的数量关系为______________；（提示：连接）
(2)如图②，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你给出证明过程；
(3)若动点在线段上，满足，求的值．
【答案】(1)①；；②；
(2)证明见解析
(3)
【知识点】二次根式的混合运算、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】（1）①在中，利用勾股定理可求得，由可求得；②如图1，过C作于点D，则是等腰直角三角形，为等腰直角三角形，，把和都用和表示出来，在中，由勾股定理得到和、的关系，从而可得到，，三者之间的数量关系；
（2）过C作于点D，把和都用和表示出来，在中，由勾股定理得到和、的关系，从而可证得结论；
（3）当点P在线段上，分别利用得到和的关系，从而可得到和的关系，在和中，利用勾股定理可分别得到、和的关系，从而可求得的值．
【详解】（1）解：①∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
②，
证明：如图1，过C作于点D，则是等腰直角三角形，为等腰直角三角形，，

∴，
∵，
，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∴，
∵为等腰直角三角形，且，
∴，
∴；
（2）证明：如图2，过C作于点D，

∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∴，
∵为等腰直角三角形，且，
∴，
∴；
（3）过点C作于点D，如图3，当点P在线段上时，

∵，
∴，
在中，由勾股定理可得，
在中，由勾股定理可得
∴；
综上，的值为．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的加减运算，分母有理化．在（2）中注意分别用和表示出和是解题的关键，在（3）中确定出P点的位置，再结合条件找到、与的关系是解题的关键．本题涉及内容不广，但综合性较强．
72．（22-23八年级下·福建莆田·期中）在平面直角坐标系中，已知点，．

(1)如图1，判断的形状并说明理由；
(2)如图2，M，N分别是y轴负半轴和x轴正半轴上的点，且，探究线段，，之间的数量关系并证明；
(3)如图3，延长交y轴于点C，M，N分别是x轴负半轴和y轴负半轴上的点，连接交x轴于D，且，探究，，的数量关系并证明．
【答案】(1)是等腰三角形，证明见解析
(2)，证明见解析
(3)，证明见解析
【知识点】坐标与图形、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】（1）过点A作，垂足为H，根据等腰直角三角形的判定可得答案；
（2）过点A作，交x轴于点B，证明，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质得出，则即可得答案；
（3）过A作交y轴于G，连接，先证，得出，再证，得出，由勾股定理即可得到．
【详解】（1）解：为等腰直角三角形，理由如下：
过点A作，垂足为H，

∵点，，
∴，
∴，
∴，
∴， ，
∴为等腰直角三角形；
（2）． 理由：过点A作，交x轴于点B，

由（1）可知是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵， ∴，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，
∴， 而是等腰直角三角形，可得，
∴；
（3），理由如下： 过A作 交y轴于G，连接，如图：

∵是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，，
而中，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴， 即
∴，
在和中， ，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查全等三角形判定性质、等腰直角三角形性质及勾股定理等知识，坐标与图形，解题的关键是利用等腰直角三角形性质证明三角形全等．
73．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点、、、坐标分别为、、、，连接和，点为线段上一从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点落在轴上．

(1)在点运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(2)如图2，当点运动到使得菱形的顶点恰好在边上时，求出此时点的坐标．
(3)若要使得顶点不落在四边形外，求出菱形的对角线交点的最大运动路径长．
【答案】(1)存在，
(2)
(3)
【知识点】坐标与图形、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】（1）过点作于，根据正方形的性质，只要证明，即可得到答案；
（2）过点作于，过点作于，延长、交于点，先证明可得，再证明，然后求出，即可得到答案；
（3）过点作轴于，延长，交直线于，连接、，交于点，结合菱形的性质和勾股定理，得到点的坐标为；然后找出临界点，经过讨论分析，即可求出答案．
【详解】（1）解：存在，理由如下：
如图，过点作于，

四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为；
（2）解：如图，过点作于，过点作于，延长、交于点，则四边形是矩形，此时，

点、、、坐标分别为、、、，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为；
（3）解：如图，过点作轴于，延长，交直线于，连接、，交于点，

由（2）可知，，
，，，
，
设，则，
，
，
，
，
点的坐标为，
的中点的坐标为；
点在直线上运动，点在直线上运动，且横坐标的值随的增大而增大；
当点在原点时，即，此时为；
当点在最右端时，即的值最大，此时点恰好在上，即；
，
，
点为；
点的最左端坐标为，最右端的坐标为；
点的最大运动路径长为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理求线段的长度，等腰直角三角形的性质，动点的运动问题等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，正确的找出运动的临界点，从而进行解题．
74．（22-23八年级下·福建莆田·期中）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，点A，B，C的坐标分别为，，，且满足，点P从C点出发以每秒2个单位长度的速度在线段上向左匀速运动，到达点B即停止运动．设点P的运动时间为秒，连接．

(1)填空：______，_______，的长度为_______（用含有t的式子表示）．
(2)当时，求点P的坐标．
(3)D是y轴上一点，，过点D作于点E，连接，在点P的运动过程中，是否存在点P，使平分？若不存在，请说明理由；若存在，求出t的值．
【答案】(1)，，；
(2)
(3)
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】（1）由非负性可求m，n的值，根据点P的运动速度和时间可得的长；
（2）根据等腰三角形的判定可得，由勾股定理列方程，即可求解；
（3）先根据勾股定理计算，根据全等三角形的性质和勾股定理可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
由题意得：；
（2）由（1）得：，，
如图1，∵，

∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得：，则，
∴；
（3）存在， 如图2，

∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，，
∴，
∴，
∴， 由勾股定理得：，
∴， 解得：．
此时，由对称性可得当在负半轴上，，
∵，
∴此时不符合题意，舍去；
综上：存在点P，使平分，此时．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，算术平方根的非负性，坐标与图形等知识，利用勾股定理解决问题是解本题的关键．
75．（22-23八年级下·山东济南·期中）如图，在中，， M、N是边上的两个动点，其中点M从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒2cm；点N从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒4cm；两点同时开始运动，设运动时间为t秒．
(1)①斜边上的高为 ；
②当时，的长为 ；
(2)当点N在边上运动时，出发几秒钟后，是等腰三角形？
(3)当点N在边上运动时，直接写出所有能使成为等腰三角形的t的值．
【答案】(1)①cm；②
(2)出发秒后能形成等腰三角形
(3)运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时，为等腰三角形
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据勾股定理求出的长，再用面积法求得斜边上的高；求出当时，和的长，同理用勾股定理求得的长；
（2）根据题意，可得，，列方程，即可解答；
（3）需要分类讨论：即三种情况，依次讨论即可解答．
【详解】（1）解：①在中，cm
根据面积法，斜边上的高为；
②当时，，，
；
（2）由题意可知
当为等腰三角形时，则有即
解得，
∴出发秒后能形成等腰三角形；
（3）
当时，
，
，
，
秒；
当时，，
秒；
当时，过点B作的垂线段，交于点D，
根据勾股定理，，
,，
，
秒，
综上所述，当运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时，△BCN为等腰三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，等积法，方程思想和分类讨论，注意方程思想的运用是解题的关键．
76．（22-23八年级下·山西晋中·期中）综合与探究
如图1，在中，，，，为边上一动点，以为边在其右侧作等边三角形，为的中点，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，当为的中点时，过点作于点，求的面积；
(3)若点从点处运动到点处，直接写出点所经过的路径长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)点所经过的路径长为
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据题意得出，，进而得出，根据是等边三角形，得出，即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得出，根据为的中点，可得是的垂直平分线，则，根据三线合一得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出求得，进而勾股定理，，根据三角形面积公式即可求解．
（3）当点与点重合时，点在点处；当点与点重合时，点在点处，且是等边三角形，由（2）得，点的运动路径是从的中点处，沿着的垂直平分线运动到点处，根据，即可求解．
【详解】（1）∵，，
∴，．
为的中点，
∴，
∴．
∵是等边三角形，
∴，，
∴．
在和中，
∴．
（2）∵，
∴．
∵为的中点，
∴是的垂直平分线，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，，，
∴，
∴．
∵为的中点，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴．
（3）如图，当点与点重合时，点在点处；当点与点重合时，点在点处，且是等边三角形．
由（2）得，
∴点始终落在线段的垂直平分线上，
∴点的运动路径是从的中点处，沿着的垂直平分线运动到点处．
在中，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
77．（22-23八年级下·重庆南岸·期中）在中，，平分，为上一点．
(1)如图，过作交于点，若，，求的面积；
(2)如图，若，过作交的延长线于点，为延长线上一点，连接，过作交于点，交于点，且，
①猜想的形状，并证明；
②猜想线段与之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)①等腰直角三角形，证明见解析；②，证明见解析
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】（1）过作于，证明得出，，利用等腰三角形的性质可求，进而求出，利用勾股定理求出，最后利用三角形的面积公式解答即可；
（2）连接，根据三角形内角和定理和等腰直角三角形的判定解答即可；
连接，作于，根据证明三角形全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】（1）解：过作于，

则，
平分，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积；
（2）解：等腰直角三角形，理由如下：
连接，
，，
，，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形；
，理由如下：
如图，连接，作于，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【点睛】此题是三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的判定与性质和三角形内角和定理，关键是构建全等三角形解答．
78．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，已知点A是x轴负半轴上一点，B点是y轴正半轴上一点，将线段绕A点顺时针旋转90°，得到线段，连接交x轴于一点P．
(1)如图1，试判断线段之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，D为的中点，交于点E，若，求证：；
(3)已知 ，在（2）的条件下，请求出点C的坐标．
【答案】(1)，证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【知识点】坐标与图形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】（1）如图1，过作于，由题意知是等腰直角三角形，则由勾股定理得，也是等腰直角三角形，则由勾股定理得，设，，，则，，可得，在中，由勾股定理得，即，将，，代入整理即可；
（2）由，可得，设，则，，由，，可得，进而结论得证；
（3）如图2，过作轴于，过作轴，过作于，过作于，设，则，，在中，由勾股定理得，求得，可得，，，证明，则，，进而可得点坐标．
【详解】（1）解：，证明如下：
如图1，过作于，
由题意知是等腰直角三角形，则由勾股定理得，
∴也是等腰直角三角形，则由勾股定理得，
设，，，则，，
∴，
在中，由勾股定理得，即，
∴，
∴，
∴线段之间的数量关系为；
（2）证明：∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解，如图2，过作轴于，过作轴，过作于，过作于，设，
∴，，
∵，在中，由勾股定理得，
∴，解得，
∴，，，
∵，，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
79．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图（1），四边形中，，平分．

(1)求证：．
(2)如图（2）的垂直平分线交于，交于，过作，交延长线于．求证：．
(3)如图（3），在（2）的条件下，连接，若，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)9
【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】（1）过点B作于，作延长线于点，证明，得出即可；
（2）根据垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，，证明，得出，证明，即可证明结论；
（3）延长交于点，证明，求出，证明，得出，证明是的中位线，得出，，设，则，根据勾股定理得出，求出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，（舍），过点作于，设，则，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出结果即可．
【详解】（1）解：过点B作于，作延长线于点，如图所示：

，
平分，
，
四边形的内角和为，且，
，
又，
，
在和中，，
，
；
（2）解：垂直平分，
，
，
∵，
，，
∴，
，
，
，
由（1）知，
；
（3）解：延长交于点，设，

，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
，，
，
是的中位线，
∴，，
设，则，
，
在中，勾股得，
，
解得，
∴，
，
在中，由勾股定理得：
，
在和中，，
，
，
设，则，
在中由勾股定理得：
，
在等腰中，由勾股定理得：
，
，
，（舍），
，，

过点作于，设，则，
在和中，由勾股定理得：
，
，
解得：，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，中位线性质，补角的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，作出辅助线，数形结合．
80．（22-23八年级下·河北保定·期中）综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，和是两个等边三角形纸片，其中，，．
解决问题
(1)勤奋小组将和按图所示的方式摆放（点，，在同一条直线上），连接，．发现，请你给予证明

(2)如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将绕着点逆时针方向旋转，当点恰好落在边上时，求的面积．

拓展延伸
(3)如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：“将沿方向平移得到．连接，，当恰好是以为斜边的直角三角形时，请你直接写出的值及长度．

【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)，
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形
【分析】（1）如图1中，证明（）可得结论；
（2）如图2中，过点作交的延长线于．根据勾股定理求出即可解决问题；
（3）证明，解直角三角形求出，即可．
【详解】（1）证明：如图中，

∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴，即
∴（），
∴．
（2）解：如图中，过点作交的延长线于．

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴（），
∴．
（3）解：如图中，

由题意，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
81．（22-23八年级下·四川成都·期中）【初步探究】
（1）如图1，在四边形中，，点是边上一点，，，连接、．判断的形状，并说明理由．
【拓展应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第四象限内，若是等腰直角三角形，则点的坐标是 ．
（3）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕若点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值是 ．

【答案】（1）是等腰直角三角形，理由见解析；（2）或或；（3）
【知识点】坐标与图形、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】（1）证明，即可求解；
（2）分、、，三种情况求解即可；
（3）求出，则：，的值相当于求点到点和点的最小值，即可求解．
【详解】：（1）结论：是等腰直角三角形．
理由：在和中，
，
，
，，
在中，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（2）如图，当，时，过点作于点，过点作于点，
点，点，
，，，
，
，，
，，
，且，，
，
，，
，
点坐标为，
如图，当，时，过点作，过点作交于点，
，
，，
，，
，且，，
，
，，
，点的横坐标为：，
点坐标为，
如图，当，时，过点作轴交轴于点，过点作于点，过点作轴交轴于点，
，
则，
，，
，，
，且，，
，
，，
，
，
，
，，
点坐标，
综上所述：点坐标为：或或，
故答案为：或或；
（3）如图作于，

设点的坐标为，
由（1）知：，，
则点，
则：，
的值，相当于求点到点和点的最小值，
相当于在直线上寻找，使得点到，到的距离和最小，

作关于直线的对称点，
而，
，
故：的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题为四边形综合题，主要考查的是三角形全等的思维拓展，坐标与图形，勾股定理，其中（3），将的值转化点到点和点的最小值，是本题的新颖点．
82．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）已知，是等边三角形，，点在上，，点是边上一动点，将绕点顺时针旋转得到线段．

(1)如图1，当点恰好落在边上时，求线段的长；
(2)如图2，点到的距离，请直接写出线段的长；
(3)在点运动中，连接，当线段的长最小时，请直接写出的周长．
【答案】(1)2；
(2)5；
(3)．
【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形
【分析】（1）由是等边三角形，，可得，根据将绕点顺时针旋转得到线段，证明，即得；
（2）过作于，求出，可知，再求得，，用勾股定理可得，即得线段的长为5；
（3）在边上取，连接，，证明，可得，从而有，，故在过且与平行的直线上运动，当时，最小，过作于，利用含角的直角三角形三边关系可求得，，再用勾股定理可得，从而可得当线段的长最小时，的周长为．
【详解】（1）解：如图：

是等边三角形，，
，，
，
，
将绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
，
；
线段的长为2；
（2）过作于，如图：

根据题意知：，，
，
，
，，
，
，，，
，
，，
在中，，
，
线段的长为5；
（3）在边上取，连接，，如图：

，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在过且与平行的直线上运动，当时，最小，
过作于，如图：

，，
，
，，
，
，，
在中，
，，
，
，，
，
，
，
当线段的长最小时，的周长为．
【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，等边三角形性质及应用，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，求出在点运动中，的轨迹．
83．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，边长为8的等边三角形中，D，E分别是边的中点，点P从B点沿着折线运动，连接绕点A逆时针旋转60°到点Q．

(1)如图1，当点P在上运动时，求的度数；
(2)如图2，连接，设P点的运动速度为每秒1个单位长度，运动时间为t，请求出的面积S关于t的函数关系式；并指出t的取值范围；
(3)当是直角三角形时，直接写出此时的长．
【答案】(1)
(2)
(3)的长为或
【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS）、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形
【分析】三角形是等边三角形，绕点逆时针旋转到点,可证,由此即可求解;
分类讨论，当点在上运动时；当点在上运动时；根据即可求；
由 的证明过程,分类讨论,当点与点重合时，是直角三角形，即O是直角三角形,；当点运动到中点时，是直角三角形，即是直角三角形，；由此即可求解.
【详解】（1）解：∵三角形是等边三角形，
∴，
∵绕点A逆时针旋转到点Q，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①如图所示，当点P在上运动时，取的中点R，连接，过点R作于T，

由（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
∵三角形是等边三角形，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵点P的运动速度为每秒1个单位长度，运动时间为t，
∴；
②当点P在上运动时，取的中点R，连接，连接，过点E作于O，则，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵点D，E都是中点，
∴是中位线，
∴，且，
在中，，
∴
∴，
∴
∴，
∵是中线，
∴；
综上所述，．
（3）解：根据（2）中的推理可知，
①当点P与点T重合时，是直角三角形，即是直角三角形，，如图所示，连接，

在中，，
∴，
∵是等边三角形，
∴是直角三角形，，
∴，
在中，；
②当点P运动到中点时，是直角三角形，即是直角三角形，，如图所示，

∵点R，P是的中点，，，
∴是的垂直平分线，
∴，
在中，，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查等边三角形，含特殊角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质，特殊角的直角三角形中特殊三角形函数值的计算，全等三角形的判定和性质是解题的关键.
84．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期中）在中，，E为平面内一点，连接．

(1)如图1，若点E在线段上，，，，求线段的长；
(2)如图2，若点E在内部，，，求证：；
(3)如图3，若点E在内部，连接，，，请直接写出的最小值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【知识点】两点之间线段最短、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】（1）过点A作于F，则可得是等腰直角三角形，由勾股定理可求得，则可得，再设，则，在中由勾股定理建立方程即可求解；
（2）过C作交的延长线于点G，在上取，连接；首先可证明，其次再证明，则得，从而由勾股定理即可证明结论成立；
（3）过点B作，且，作，连接；分别取的中点D、F，连接，过A作交延长线于点P，连接；证明，则，由中点及中位线定理知，，，在中，由勾股定理得；则，则当点A、E、F、D四点共线时，的最小值为的长，由勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点A作于F，
则，
∴，
∴
即是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
∴，
∴；
设，则，
∴；
在中，，
即，
解得：；

（2）解：如图，过C作交的延长线于点G，在上取，连接；
∵，
∴；
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
由勾股定理得：，
∴；

（3）解：如图，过点B作，且；作，连接；分别取的中点D、F，连接；过A作交延长线于点P，连接；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵的中点分别为D、F，
∴，，，
在中，由勾股定理得；
∴，
∴当点A、E、F、D四点共线时，取得最小值，且最小值为的长；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为．

【点睛】本题是三角形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，两点间线段最短等知识，构造辅助线是解题的关键与难点．
85．（23-24八年级下·全国·期中）如图1，在正方形中，E是边上一动点（与C，D不重合），连接，将沿所在的直线折叠得到，延长交于点G，连接，作，交的延长线于点H，连接．
(1)求证：平分；
(2)如图2，过点H作交于点P；在点E运动过程中，四边形能否为菱形？若能，请求出的度数；若不能，无需证明．
(3)连接，若，请直接写出长度的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)能，
(3)
【知识点】根据正方形的性质证明、证明四边形是菱形、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题
【分析】（1）在上截取，连接，根据正方形的性质可证得是等腰直角三角形，有，由折叠的性质得，则，可证明，有和，即，则为等腰直角三角形，进一步证明，有，求得，结合即可；
（2）当时，，则四边形为平行四边形，，由（1）得和，则有，即可证明四边形为菱形，有，则，即可得；
（3）根据题意得，当A、F、C三点共线时，最短，则长度的最小值 ．
【详解】（1）证明：在上截取，连接，如图1所示：
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：四边形能为菱形，理由如下：
当时，，
∵，
∴四边形为平行四边形，，
由（1）得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：如图2所示，连接：
∵，，
∴，
由（1）得：，
当A、F、C三点共线时，最短，
则长度的最小值 ．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质和菱形的判定，解题的关键是熟悉等腰三角形的性质和特殊四边形的相互转化．
86．（21-22八年级下·四川成都·期末）如图，是的中线，是线段上一点(不与点A重合)．交于点，，连接．
(1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形．
(2)如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
(3)如图3，延长交于点H，若，且，求的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)成立，理由见解析；
(3)．
【知识点】根据三角形中线求长度、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论；
（2）过点M作交于G，先判断出四边形是平行四边形，借助（1）的结论即可得出结论；
（3）取线段的中点I，连接，先判断出，，延长至点N，使，连接，利用证明，可得出，，则是等边三角形，进而得出，．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的中线，且D与M重合，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：结论成立，
理由如下：
如图2，过点M作交于G，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
由（1）同理可证：，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：如图3，取线段的中点I，连接，

∵，
∴是的中位线，
∴，，
∵，且，
∴，，
延长至点N，使，连接，

又，，
∴，
∴，，
又，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了三角形的中线，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等，正确作出辅助线是解题的关键．
87．（23-24八年级下·贵州遵义·期中）（1）【课本再现】如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分．正方形可绕点O转动，则下列结论正确的是______（填序号即可）．
①；②；③四边形的面积总等于；④连接，总有．
（2）【类比迁移】
如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明；
（3）【拓展应用】
如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，求线段的长度．
【答案】（1）①②③④；（2），理由见解析；（3）或
【知识点】化为最简二次根式、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明
【分析】（1）证明，可得结论；
（2）猜想：，连接，延长交于，证明，再利用勾股定理证明即可；
（3）设分两种情形：①当点E在线段上时，②当点E在延长线上时，分别利用勾股定理构建方程求解．
【详解】解：（1）如图1中，连接．
∵四边形是正方形，
，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正确，
∴，故②正确，
∴，故③正确，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：①②③④；
（2），理由如下：
如图2中，连接，
∵O为矩形中心，
∴，
延长交于，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵矩形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵在中，
∴；
（3）设，
①当E在之间时，如图3
，
，
在中，，
，
又由（2）易知，
，
，
解得：，
；
②当E在延长线上时，如图4
同理可论：，
设，则，
即：，
解得：，
∴，
综上所述：或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
88．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析．
【提出问题】已知，求的最小值．
【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为 和的线段，将代数求和转化为线段求和问题．
（1）如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则的最小值等于 _________．
​（2）运用以上数形结合的方法，求的最小值；
（3）运用以上数形结合的方法，求的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定证明
【分析】本题考查勾股定理，正方形，矩形的性质综合问题，解题的关键是对数形结合的灵活运用．
（1）构造边长为1的正方形，P为边上的动点，设，则，，，，延长至点，使，当点P在与的交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长，，即可求得 的最小值；
（2）构造两个边长为3的正方形和，P为边上的动点，，设，则，，，点P在与的交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长，过点D作交于点G，，进而求出的最小值；
（3），设，点E在上，，过点D作于点F，由勾股定理可知：，，，证明四边形是矩形，
，分情况讨论，若点D不在线段上则，若点D在线段上，则，进而求得的最大值．
【详解】（1）已知图中，构造边长为1的正方形，P为边上的动点，
设，则，
在中，
，
在中，
，
∴，
延长至点，使，则垂直平分线段，上任意一点到点A和点的距离都相等，即总有，
连接由“两点之间，线段最短”可知：
当点P在与的交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长，
在中，，
∴
∴的最小值等于，
故答案为：；
（2）构造两个边长为3的正方形和，P为边上的动点，，
设，则，
在中，
，
在中，
，
∴，
延长至点，使，则垂直平分线段，
上任意一点到点A和点的距离都相等，即总有，
连接由“两点之间，线段最短”可知：
点P在与的交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长，
过点D作交于点G，
在中，，
∴，
∴的最小值等于；
（3），
设，点E在上，，过点D作于点F，如图：
则，由勾股定理可知：

，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得
，
若点D不在线段上，
则，
∴，
若点D在线段上，如图，
则，
即，
综上所述，，
∴的最大值为．
89．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）已知，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为正方形．
(1)若正方形边长为6．
①如图1，E，F分别在边上，于H，且，请直接写出F点的坐标．
②如图2，若D为上一点，且，Q为y轴正半轴上一点，且，求点Q坐标．
(2)若正方形边长为4，如图3，E、F分别在边上，当F为的中点，于H，在直线上E点的两侧有点D、G，能使线段，，且，求．
【答案】(1)①；②
(2)
【知识点】坐标与图形、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、用勾股定理解三角形、四边形其他综合问题
【分析】（1）①通过证明，求出，即可求点的坐标；
②过点作交轴于点，可证明，连接，可证明，设，则，，在中由勾股定理求出，即可求；
（2）在中，求出，，再由，可得，连接，，证明，分别得到，，则，再证明，可求，，推导出，在中，由勾股定理求出，在中，由勾股定理求出．
【详解】（1）①，
，
，
，
，
，
，
，
,
，
；
②如图2，过点作交轴于点，
，
，
，
，
，
，
，，
连接，
，
，
又，
，
，
，，
，
设，则，，
在中，，
解得，
，
；
（2）为的中点，，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
连接，，
是的中点，是的中点，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
在中，，
在中，．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键．
90．（23-24八年级下·江苏南通·期中）四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接．
(1)如图，当点在线段上时，
①求证：矩形是正方形；
②若，，求正方形的边长．
(2)当线段与正方形的某条边的夹角是时，请直接写出的度数．
【答案】(1)①见解析；②正方形的边长为
(2)或
【知识点】四边形其他综合问题、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题
【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质和判定，矩形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）①过点作于点，过点作于点，根据正方形的性质和矩形的性质易证，进一步可得，即可得证；
②过点作于点，易证，可得，根据已知条件可得的长，进一步可得的长；
（2）分情况讨论：当，当时，根据正方形的性质以及三角形的内角和定理即可求出的度数．
【详解】（1）①证明：如图，作于，于，得矩形，
，
点是正方形对角线上的点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形；
②解：正方形和正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
．
，
，
连接，
，
．
正方形的边长为；
（2）解：分情况讨论：
当，
，
，
，
，
；
当时，如图所示：
，
，
，
，
，
综上，或．
91．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）已知：如图，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S．

(1)如图1，当四边形是正方形时，x的值为________，S的值为_______；
(2)如图2，当四边形是菱形时，
①求证：；
②求S与x的函数关系式；
(3)当_______时，的面积S最小；
(4)在点F运动的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_________．
【答案】(1)2；5
(2)①详见解析；②
(3)
(4)
【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、根据矩形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）只要证明即可解决问题；
（2）①连接，理由平行线的性质证明即可；
②如图，作于Q，想办法证明，可得，由此即可解决问题；
（3）①如图3中，当点N与D重合时，x的值最小，的面积最大，在中，，S的最大．②如图4中，当点M在上时，x的值最大，的面积最小；
（4）如图3中，在的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行的线段，点M运动的路线长的长．
【详解】（1）解：如图1中，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
．
过点M作于点H．
同法可证，
可得，
．
故答案为：；
（2）①连接
四边形为矩形，

四边形为菱形，
即
②，
过点M作，垂足为Q

四边形为矩形
四边形为菱形
在和中
，
∴
．
（3）如图4中，

当点M在上时，x的值最大，的面积最小，
此时同（2）,
，
∴，
∴，
∴S的最小时，x为；
故答案为： ．
（4）解：如图3中，

在的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行的线段，点M运动的路线长的长，
故答案为：．
【点睛】本题属于四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一次函数的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用一次函数的性质确定最值问题，属于中考压轴题．
92．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，等边的边长为8，动点M从点B出发，沿的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿方向以的速度运动．

(1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？
(2)若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及的边上一点D恰能构成一个平行四边形？请画出对应的图形，并求出时间t和的值．
【答案】(1)经过秒钟两点第一次相遇
(2)或时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，或
【知识点】利用平行四边形的性质求解、等边三角形的判定和性质
【分析】（1）设经过t秒钟两点第一次相遇，然后根据点M运动的路程点N运动的路程列方程求解即可；
（2）分四种情况进行讨论：当时，当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可．
【详解】（1）解：设经过t秒钟两点第一次相遇，由题意得：
，
解得：，
∴经过秒钟两点第一次相遇；
（2）解：①当时，点M、N、D的位置如图所示：

∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
即：，，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴；
②当时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；
③时，点M、N、D的位置如图所示：

∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴，
解得：，
，
∵，，
∴为等边三角形，
∴；
④当时，点M、N、D的位置如图所示：

∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
此时M、N重合，不能构成平行四边形．
综上分析可知：运动了秒或秒时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，或．
【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质和等边三角形的判定和性质，利用平行四边形的性质和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键．
93．（23-24八年级下·广西南宁·期中）问题解决：如图，在矩形中，点分别在边上，，于点．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由．
(3)如图，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)是等腰三角形，理由见解析；
(3)．
【知识点】等边三角形的判定和性质、利用矩形的性质证明、利用菱形的性质证明、等腰三角形的定义
【分析】（）证明，得到，即可求证；
（）证明可得，进而得，即可求解；
（）延长到点，使，连接，作，可证，得到，，进而得是等边三角形，得到，即得，再利用勾股定理求出，进而即可求出的长；
本题考查了矩形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形；
（2）解：是等腰三角形．
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形；
（3）解：延长到点，使，连接，作，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
94．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）综合与实践：
问题情境：数学课上，小王和小东两位同学利用三角板操作探究图形．
操作探究1：小王将两块全等的含角的直角三角板按如图①方式在平面内放置，其中两锐角顶点重合于点，．已知长，则点、之间的距离为 ．（写出具体解答过程）
操作探究2：小东将两块全等的含角的直角三角板按如图②方式在平面内放置．其中两个角顶点重合于点，与重合，已知长，请你帮小东同学求出此对点、之间的距离；
操作探究3：随后，小王将图②中的换成了含角的三角板，同样是顶点重合于点，与重合，已知直角边与长均为，他还想求点，之间距离，你能求出此时点，之间的距离吗？
【答案】操作探究1：，过程见解析；操作探究2：；操作探究3：能，
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】操作探究：连接证明四边形为正方形，根据已知可得、、三点共线结合已知条件，由勾股定理在直角三角形中可求得的长；
操作探究：连接.由已知条件可得三角形为正三角形，进而得，，则，在直角三角形中，根据勾股定理可得的长；
操作探究：过作的延长线于点，过作的延长线于点，则四边形是矩形，根据矩形的性质可得，连接，可证明三角形全等于三角形，则，进而得三角形为等腰直角三角形，在直角三角形中可得的长，充分利用直角三角形中度角对的直角边等斜边的一半的性质．利用等腰直角三角形中斜边等于直角边的倍即可解决．
【详解】操作探究1：解：连接，
，，，
且，
四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
、、三点共线，
，
在直角三角形中，根据勾股定理可得：
；
操作探究2：连接，
，，
是等边三角形，
，，
在中，，，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
；
操作探究3：过作的延长线于点，过作的延长线于点，如图所示：
，
四边形是矩形，
，连接，
为中点且，
∴，，
，
，
∵，
∴，
，
，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：或（舍去），
，
，
，
∴是等腰直角三角形，
；
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中，度角所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形中，斜边等于直角边的倍，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
95．（23-24八年级下·四川成都·期中）已知，将沿对角线翻折得到，连接线段．
(1)如图1，求证：；
(2)连接线段与直线相交于点O，
①如图2，当为锐角时，时，试求线段的长度；
②若，当为等腰三角形时，求线段的长度．
【答案】(1)见解析
(2)①；②10或
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题
【分析】（1）设交于点P，根据平行四边形的性质得出,证明，得出，，得出，求出，，求出，即可得出答案；
（2）①过点A作于点H，证明，得出，证明四边形为矩形，得出，求出，；
②由翻折的性质得出：，分两种情况：当时， 当时， 分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）证明：设交于点P，
∵四边形为平行四边形，
,
，
由翻折可得：
在和中，，
，
，
同理得：，
∴，
在中，，
在中，，
,
，
∴；
（2）①解：过点A作于点H，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
，
，
由翻折的性质得：
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
又，
∴四边形为矩形，
，
，
，
，
在中，，
，
∴在中，；
②解：由翻折的性质得：，
为等腰三角形，
∴有以下两种情况：
当时，过点A作于点H，如图所示：
由①可知：四边形为矩形，
,
设，则，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
；
当时，过点B作于M，如图所示：
由①可知：，四边形为矩形，
，
设,则，
,
在中，由勾股定理得：,
在中，由勾股定理得：
,
,
解得：，
；
综上所述：的长为：10或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合，注意进行分类讨论．
96．（23-24八年级下·广东广州·期中）在中，，E是边上一动点，连接．
(1)如图1，若，交于点M，求证：．
(2)在（1）的条件下，如图2，若，以为边，在右侧作正方形，连接，当点E在上运动时（不与B、C重合），的大小是否发生变化，如果变化，请说明理由．如果不变，请求出的度数．
(3)如图3，点P在正方形的边延长线上，且，在直线的右侧作，且，R为线段的中点，当点E从点B运动到点C时，求出点R运动路径长度，并简要说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)不变，
(3)，理由见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、根据正方形的性质证明
【分析】（1）如图1中，先证明四边形是菱形，再证明即可解决问题．
（2）由“”可证，可得，，可证，可求，即可求解；
（3）连接，作交于J．利用全等三角形的性质证明，点R的运动轨迹是线段，求出的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，且
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：的大小不会变化，
∵四边形是菱形，且，
∴四边形是正方形，
过点F作，交的延长线于H，如图，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图中，连接，作交于J．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点R的运动轨迹是线段，
∵点E从B运动到C时，，
∴，
∴，
∴当点E从点B运动到点C时，点R运动的路径长为．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
97．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，在正方形中，E是边上的一动点，点F在边的延长线上，且，连接、．

(1)求证；
(2)连接，取中点，连接并延长交于，连接．
①依题意，补全图形：
②求证；
③若，证明．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析；③见解析
【知识点】根据正方形的性质证明、全等三角形综合问题、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】（1）证，得，再证，即可得出结论；
（2）①依题意，补全图形即可；②由直角三角形斜边上的中线性质得，，即可得出结论；③先证是等腰直角三角形，得，再证，，，得，，，然后证，得，再由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
又，
，
，
，
，
即，
；
（2）①解：依题意，补全图形如图所示：

②证明：由（1）可知，和都是直角三角形，
是的中点，
，，
；
③解：，证明如下：
由（1）可知，，，
，
是等腰直角三角形，
，
为的中点，
，，，
，，，，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
98．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．
实践操作，解决问题
如图1，将矩形纸片沿对角线翻折，使点落在矩形所在平面内，边和相交于点，连接．发现：结论①；结论②．

(1)若图1中的矩形变为平行四边形时，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明；若不成立，请说明理由；
(2)东京沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形（如图3所示）．沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则京京折叠的矩形纸片的长宽之比为 ；
(3)新题探究：如图4所示，平行四边形中，，．将沿对角线翻析．使点落在所在平面内，连接，当恰好为直角三角形时，的长度为 ．
【答案】(1)成立，证明见解析
(2)综上矩形纸片的长宽之比或
(3)的长度为1或4或或．
【知识点】二次根式的除法、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据正方形的性质与判定证明
【分析】（1）证明，，，可得，可得，证明，可得，再进一步利用等腰三角形的性质与平行线的判定可得结论；
（2）分两种情况讨论，当点与点不重合时，得出，继而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解，当点与点重合时，根据正方形的性质即可求解；
（3）分三种情况讨论，分别画出图形，结合（1）中的结论，根据含度角的直角三角形的性质，以及勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：，，理由如下，

∵四边形是平行四边形，
∴,，
∴，
∵折叠，
，，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∵，
∴，即
∴
又∵，，
∴，
∴；
（2）解：当点与点不重合时，如图，
依题意，，，，
设，则，
∵
∴,
解得：，
∴，
在中，，
∴矩形纸片的长宽之比为，
当点与点重合时，如图，

此时是正方形，
∴矩形纸片的长宽之比为，
综上矩形纸片的长宽之比或；
（3）解：当时，如图，设与交于点，
由（1）可得，
∴,
在中，∵，
∴，
∴；

如图，当时，由（1）可得，
∴,
∵折叠，
∴，
∴三点共线，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在中，，
∴；

如图，当时，

∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴,，
∴，
∵折叠，
，，，
∴，
∴，
设，
∴，，
∴
∴，
∴；
如图，当时，同理可得，，，

∴，，
同理可得：，，
∴，
∴；
综上所述：的长度为1或4或或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，正方形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质，二次根式的除法运算，综合运用以上知识是解题的关键．
99．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，点为对角线中点，点在轴上运动，连接，把沿翻折，点的对应点为点，连接．
(1)当点在第四象限时（如图1），求证：．
(2)当点落在矩形的某条边上时，求的长．
(3)是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)的长为4或5
(3)存在，点或或或
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、矩形与折叠问题、证明四边形是菱形
【分析】（1）由三角形外角和定理和折叠的性质可得，，能够推导出，从而可证明；
（2）①当时，此时点与点重合，；②当点与点重合时，在中，，求得；
（3）画出图形，结合图形分三种情况讨论：当四边形为平行四边形时，或；当四边形为平行四边形时，；当四边形为平行四边形时，．
【详解】（1）证明：由折叠可知，，
点为中点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①当时，如图所示：
，此时点与点重合，
，
，四边形是矩形，
，
；
②当点与点重合时，如图所示：
，，
在中，，即，解得，
；
综上所述：的长为4或；
（3）解：在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，且，
，，
，
是的中点，，
，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，且，
是的中点，
，
，
，
四边形为平行四边形，
由折叠性质可得，则四边形为菱形，
，
是的中点，，
，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，
，
，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
，
；
当四边形为平行四边形时，如图所示：
，
，
，
在中，，则由勾股定理可得，
，
；
综上所述：点或或或．
【点睛】本题是四边形的综合题，涉及折叠性质、平行线的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、中点坐标公式、等腰三角形的性质，直角三角形的性质、两点距离公式等知识，熟练掌握图形折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，数形结合解题是关键．
100．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图，在矩形中，．
(1)如图1，点 E 在 边上，将沿折叠，得到，使点 F落在对角线上，求的长；
(2)如图2，点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A与点 C 重合，求的面积；
(3)如图3，将矩形沿过点A的直线折叠，使点 B落在边上的点F处，折痕为，把纸片展平，连接．点M在线段上，将沿 折叠得到，连接并延长交 的延长线线于点Q．
①求 的度数；
②点O为中点，连接，直接写出线段的长．
【答案】(1)3
(2)
(3)①；②
【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、矩形与折叠问题、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形
【分析】（1）证明．在 中， 求解，证明，，，设，则，，再进一步解答即可；
（2）设与的交点O，如图，求解，设，则，可得，求解，再进一步解答即可；
（3）①证明四边形是正方形．．设，再进一步解答即可；②求解．连接．证明．可得．结合O 为中点，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵四边形 为矩形，
∴．
∵，，
在 中， ，
∵将沿折叠，得到，
∴，，，
∴． ．设，则，，
在中， ，
，
解得，
∴；
（2）设与的交点O，如图，
∵矩形沿折叠，点A与点 C重合，
，，
，
，
设，则，
在 中， ，
，
解得，
，
在中，根据勾股定理得， ，
∵四边形为矩形，
∴，
∴．
又∵矩形沿折叠，
∴ ，
∴，
∴，
又∵ ，
∴，
；
（3）①∵将矩形纸片沿折叠，点 F落在上．
∴．
∵，
∴，
∴，
又∵ ，．
∴，
∴四边形是正方形．
∵沿折叠得到，
∴，，
∵，
∴．
设，
∴，
∵，
∴ ，
∵；
，
，
②∵，
∴．
连接．
∵，，．
∴．
∴，
∴，
∵O 为中点，
∴ ．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，本题难度较大，熟练的利用轴对称的性质解题是关键．