湖北省沙市中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖北省沙市中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：2025年3月21日
一、单选题
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设角的终边与单位圆交于点，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 如图，已知，，，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知为正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（ ）
A. B. 6C. D. 8
5. 已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
6. 按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数（）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（ ）（参考数据：）
A 1B. 3C. 5D. 10
7. 已知函数，若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若存在满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下列关于向量说法，正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，则存唯一实数使得
C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向
D. 在中，若，则与的面积之比为
10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A. 是函数的图象的一个对称中心
B. 函数在上单调递减
C. 函数是奇函数
D. 若且，
11. 设函数的定义域为，且满足，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 为偶函数
C. ，，，则有
D. 方程的所有实数之和为20
三、填空
12. 已知，则 _______ .
13. 已知，则向量在向量上的投影向量为________
14. 已知，，且，则的最大值为____________．
四、解答题
15. 已知平面向量，夹角为，且，，．
（1）当时，求；
（2）当时，求的值．
16. 已知
（1）求的单调递增区间；
（2）将图象上所有点向右平移个单位，然后向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变，得到函数的图象，当，解不等式.
17. 如图，有一块半径为1，圆心角为的扇形木块，现要分割出一块矩形，其中点，在弧上，且线段平行于线段．
（1）若点，分别为弧的两个三等分点，求矩形的面积；
（2）设，当为何值时，矩形的面积最大？最大值为多少？
18. 已知函数．
（1）若为奇函数，求的值；
（2）若在上有解，求的取值范围．
19. 若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”．定义在上的奇函数，当时，．
（1）求的解析式；
（2）求函数在内的“倒域区间”；
（3）若函数在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰含有2个元素？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
2024—2025学年度下学期2024级三月月考数学试卷
命题人：方雅馨 审题人：邹泳
考试时间：2025年3月21日
一、单选题
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法，求出集合，利用的性质，求出集合，再利用集合的运算，即可求解.
【详解】由题意得，，
所以．
故选：D．
2. 设角的终边与单位圆交于点，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】分别去验证充分性和必要性即可.
【详解】充分性：当，则满足，
必要性：时，，不满足，
所以则是的充分不必要条件.
故选：
3. 如图，已知，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的三角形法则和数乘运算法则即可求出．
【详解】由，得，而，
所以.
故选：B
4. 已知为正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（ ）
A. B. 6C. D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】由函数的图象经过点，得到，再结合基本不等式“1”的妙用求解即可.
【详解】函数的图象经过点，
则，即，
又，.
当且仅当时取等号，
即时取等号.
故选：D.
5. 已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性可得出，再由函数的单调性可得出，结合参变量分离法可得出实数的取值范围.
【详解】因为函数与均是增函数，
所以，函数是上的增函数只需满足，即，解得，
由得，即恒成立，
所以，当时，函数取得最大值，所以，，即，
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
6. 按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数（）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（ ）（参考数据：）
A. 1B. 3C. 5D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】由，，可得，再由，求解即可.
【详解】当时，，解得，
所以.
令，即，
即，
所以，故所需时间(单位：分钟)的最小整数值为.
故选：B.
7. 已知函数，若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由方程解得，得到的可能取值，根据题意可得，解出的取值范围即可.
【详解】由方程，可得，
所以，
当时，，
所以的可能取值为，
因为原方程在区间上恰有5个实根，所以，解得，即的取值范围是，
故选：D
8. 已知函数，若存在满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由解析式易得，，应用辅助角公式有，进而易知在有对称轴满足，结合已知可得，再应用诱导公式将目标式化为，最后利用即可求值.
【详解】函数，
其中，，，
，是在内的两根，
又，，
则在有对称轴满足，
故有，则，
那么，
由，知.
故选：A
【点睛】关键点点睛：化简函数式为，并确定在有对称轴满足为关键.
二、多选题
9. 下列关于向量说法，正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，则存在唯一实数使得
C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向
D. 在中，若，则与的面积之比为
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A，取，即可求解；对于B，当，时，不存在实数使得，即可求解；对于C，根据条件，利用向量数量积的运算，即可求解；对于D，利用向量的线性运算得到，即可求解.
【详解】对于选项A，当时，因为零向量与任意向量都平行，所以，成立，
而此时不一定平行，所以选项A错误，
对于选项B，当，时，不存在唯一实数使得，所以选项B错误，
对于选项C，由，得，化简得，
所以，又，所以与的夹角为，所以与共线且反向，所以选项C正确，
对于选项D，因为，所以，设为的中点，连接，
则，所以，所以点到的距离等于点到的距离的3倍，
所以与的面积之比为，所以选项D正确，
故选：CD.
10. 已知函数部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A. 是函数的图象的一个对称中心
B. 函数在上单调递减
C. 函数是奇函数
D. 若且，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题设及图象得到，对于A，代入检验，即可求解；对于B，根据条件得到，利用的性质，即可求解；对于C，根据条件得到，利用的性质，即可求解；对于D，根据条件求得，再构角，再利用余弦的差角公式，即可求解.
【详解】由图象可知：，，则，故，
所以，
又，则，所以，
又，所以，故，
对于选项A，因为，所以是函数的图象的一个对称中心，故选项A正确，
对于选项B，当时，，
由的性质知，函数在上单调递减，所以选项B正确，
对于选项C，因为，
又是偶函数，所以函数是偶函数，故选项C错误，
对于选项D，因为，则，得到，
又，则，所以，
则，
所以选项D正确，
故选：ABD.
11. 设函数的定义域为，且满足，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 为偶函数
C. ，，，则有
D. 方程的所有实数之和为20
【答案】BCD
【解析】
【分析】 由求出函数的周期为4，即可判断A；再根据的解析式分别求出和上的解析式，从而得到是偶函数，即可判断B；根据周期性和单调性即可判断C；最后作出出和的图象即可判断D.
【详解】 对于选项A，函数满足，则，
所以函数周期为4. ，又当时，，则，又因，则，故A错误；
对于选项B，
当时，则，则，
当时，则，则，
所以，在和图象关于轴对称，且在图象关于轴对称，
又因函数周期为4，所以是偶函数，故B正确；
对于选项C，，又因为，在是单调递减，故f1e>f12>fln2，即. 故C正确；
对于选项D，作出和的图象，如下图所示：
易得两个函数的图象有10个交点，且关于对称，
则方程的所有实数之和为20，故D正确.
故选：BCD.
三、填空
12. 已知，则 _______ .
【答案】##
【解析】
【分析】根据条件，利用诱导公式及倍角公式得，结合条件，利用齐次式，即可求解.
【详解】因为
，
又，所以，
故答案为：.
13. 已知，则向量在向量上的投影向量为________
【答案】
【解析】
【分析】 由向量在向量上的投影向量公式|a→|cs·b→|b→|即可求解.
【详解】 由题意，向量在向量上的投影向量为|a→|cs·b→|b→|=a→·b→|b→|·b→|b→|=44·b→4=14b→.
故答案为：.
14. 已知，，且，则最大值为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】由两角和的正弦公式化简得，然后转化正切可得，进而将用来表示，从而利用基本不等式可得最大值.
【详解】由得，即，
，
由于，则，
，当且仅当，即时，等号成立，
故．
故答案为：.
四、解答题
15. 已知平面向量，的夹角为，且，，．
（1）当时，求；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）先得到，然后展开计算即可；
（2）由条件知，使用向量内积的坐标表示即可得到关于的方程，进而求出.
【小问1详解】
，故．
【小问2详解】
由条件知，故，
所以．
16. 已知
（1）求的单调递增区间；
（2）将图象上所有的点向右平移个单位，然后向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变，得到函数的图象，当，解不等式.
【答案】（1） .
（2）
【解析】
【分析】 （1）根据三角恒等变换和辅助角公式将函数化简为的形式，从而求出单调递增区间；
（2）利用图像的变换求出的解析式，利用三角函数的图象即可求解.
【小问1详解】

令 ，解得.
故的单调递增区间为.
【小问2详解】
将的图象上所有的点向右平移个单位得到的图象，
再将的图象向下平移1个单位得到的图象，
最后将的图象上所有点的纵坐标变为原来的横坐标不变，
得到的图象，即，
由，即，得，
解得
令可得，令可得，
又所以，
即当时，不等式解集为.
17. 如图，有一块半径为1，圆心角为的扇形木块，现要分割出一块矩形，其中点，在弧上，且线段平行于线段．
（1）若点，分别为弧的两个三等分点，求矩形的面积；
（2）设，当为何值时，矩形的面积最大？最大值为多少？
【答案】（1）；
（2）， ．
【解析】
【分析】（1）作，垂足为，交于，连接，，即可表示，，，从而得到，再由面积公式及二倍角公式计算可得；
（2）结合（1）可得，，，则，即可表示矩形的面积，再由三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得.
【小问1详解】
作，垂足为，交于，连接，，
由于点，分别为弧的两个三等分点，四边形为矩形，即，关于直线对称，
则，，则，，
而，故为等腰直角三角形，则，
故，
则；
【小问2详解】
因为，则，
故，，
，
故
，
则
，
因为，所以，
故当，即时，取最大值，
即当时，矩形的面积最大，．
18. 已知函数．
（1）若为奇函数，求的值；
（2）若在上有解，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质，有，即可求解；
（2）构造函数，利用（1）中结果得到，再利用倍角公式及辅助角公式得到，结合题设条件，即可求解.
小问1详解】
因为，所以的定义域为，
又为奇函数，则，
解得，故，
当时，，
此时，
即，
所以函数为奇函数.
综上，故．
【小问2详解】
设，由上一问结论知是奇函数，
则
，
从而方程等价于，
即，即，
取合适的实数使得，，
则
，
故原方程又化为，即，
显然，该方程有解的充要条件是，即，即，
所以的取值范围是．
19. 若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”．定义在上的奇函数，当时，．
（1）求的解析式；
（2）求函数在内的“倒域区间”；
（3）若函数在定义域内所有“倒域区间”上图像作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰含有2个元素？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）存在，．
【解析】
【分析】（1）运用奇函数的性质即可求得函数的解析式；
（2）根据题意列出方程组，从而求解；
（3）分析题意得出，从而只需考虑或两种情况；再根据（2）的结论求出，从而根据方程思想求m的值．
【小问1详解】
当时，，
所以
【小问2详解】
设，显然在上递减，
所以，整理得，
即为方程在上的两个根，且，
所以解得，
所以在内的“倒域区间”为．
【小问3详解】
因为在时，函数值y的取值区间恰为，其中，，
所以，即a，b同号，所以只需考虑或，
当时，根据的性质知，最大值为1，，，
所以，由（2）知在内的“倒域区间”为；
当，最小值为，，，
所以，同理知在内的“倒域区间”为．
所以．
依题意：抛物线与函数的图像有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．
因此，m应当使方程在内恰有一个实数根，
并且使方程在内恰有一个实数．
由方程在内恰有一根知；
由方程在内恰有一根知，
综上所述：．
【点睛】关键点点睛：（3）根据题中的意义我们需要将集合恰含有2个元素转化为与函数的图像有两个交点，来求解.