湖北省沙市中学2024-2025学年高一下学期2月月考 数学试题（含解析）

这是一份湖北省沙市中学2024-2025学年高一下学期2月月考 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知集合，下列选项中为的元素的是（ ）
① ② ③ ④
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】由集合即可直接判断；
【详解】集合有两个元素：和.
故选：B
2. 已知，若，，则是的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式求出命题、，再根据充分不必要条件定义判断可得答案.
【详解】由得，解得，则，
由得，则，
所以若成立，则成立，
但成立，但不一定成立，
则是的充分不必要条件.
故选：B.
3. 如图，现有一块半径为的半圆形草坪，圆心记为是圆的一条直径，现计划在草坪内修建一条步道和在弧上（不与重合），则步道长的最大值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出辅助线，设，，表达出，，化简求出，结合，得到最大值.
【详解】取的中点，连接，
则⊥，⊥，
因为，所以，，
因为，所以，
因为，
所以，
故，故⊥，
设，，则，，
故，，
故
，
因为，所以，，
故当，即时，取得最大值，最大值为30，
故步道长的最大值为30m

故选：B
4. 已知某一指数（其中数据M为常数，且）可以用来检测某一特殊海域的水质情况，其中指数d的值越大，水质越好．若数据N由变化为，对应的指数d由2.15提高到3.225，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】根据题意，利用消元，再结合对数运算，即可得解.
【详解】根据题意，，，两式相除可得，，
所以，可得，
故选:D．
5. 设，则的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将分别与进行比较即可得到结果.
【详解】
因为为第二象限角，所以，
，
所以.
故选：D.
6. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象的平移变化求解析式即可.
【详解】向右平移个单位长度得到，
然后所有点的横坐标缩短到原来的倍得到，
所以.
故选：D.
7. 已知函数，给出下列四个说法：
①；②；
③在区间上单调递增；④的图象关于点中心对称．
其中正确说法的序号是（ ）
A. ②③B. ①③C. ①④D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的周期性可以确定①对，②错；由，可去绝对值函数化为，可判断③对．由取特值，可确定④错．
【详解】，所以函数的周期不为，
，周期为；
所以=，①对，②错；
当时，，，所以在上单调递增，③对．，所以④错．
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角函数性质的判定，熟记正弦型函数的性质即可，属于常考题型.
8. 已知，则m，n关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.
【详解】依题意，，，
则，
即，即.
故选：D
二、多选题
9. 若是关于的方程的两根，且，，则下列说法正确的是（ ）
A. 的取值范围是B. 的最大值为
C. 的最大值为25D. 的最小值为8
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意可得，可判断A，利用基本不等式判断BCD.
【详解】对于A，因为关于的方程有两个正根，
所以解得.故A正确；
对于B，，故，
当且仅当时取等号，即的最大值为，故B正确；
对于C，，
当且仅当时等号成立，又因为，解得，时，等号成立，
但，所以等号不能成立，故C不正确；
对于D，，
当且仅当时等号成立，又因为，解得，时，等号成立.
故正确，
故选：ABD
10. 关于函数，下列命题中为真命题的是（ ）
A. 函数的周期为π
B. 直线是的一条对称轴
C. 点是的图案的一个对称中心
D. 将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用辅助角公式先化简函数式，再结合三角函数的图象与性质即可.
【详解】由，
显然的周期为，所以A正确；
当时，，显然，
由三角函数的图象与性质可知B错误，C正确；
将的图象向左平移个单位长度，
可得到的图象，故D正确.
故选：ACD
11. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数图象向右平移个单位可得函数的图象
D. 若方程在上有两个不等实数根，，则．
【答案】AB
【解析】
【分析】根据图象确定函数的解析式，然后由正弦函数性质判断各选项．
【详解】由图可知，，所以，于是A正确，所以，
则，将点代入得：，
所以，，又，所以，所以，
对于B，因为，为最小值，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，将函数图象向右平移个单位，
可得函数，故C错误；
对于D，由条件结合图象可知，于是，所以，故D错误．
故选：AB．
三、填空题
12. 若函数的图象经过点，且在区间上单调，则的取值范围为__________________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正弦函数过的点坐标可求出，再由单调性得出不等式即可解出.
【详解】由题可知，且，解得，
又的图象在上单调，且，可得，解得，
故的取值范围为.
故答案为：
13. 已知定义在R上的奇函数关于对称，当时，，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由函数的奇偶性和对称性可得函数的周期性，结合函数的解析式计算即得.
【详解】因函数为奇函数，，
函数关于x＝1对称，则有，
则有，变形可得，
则有，即4是函数的一个周期，
则，
又由当时，，则，
则．
故答案为：．
14. 已知，均为锐角，且满足，，则值为_________．
【答案】##90°
【解析】
【分析】根据二倍角公式可得，，两式相除化简得，结合，均为锐角可得结果.
【详解】∵，∴ ，
∵，∴ ，
、两式相除得：，
∴，即，
∵，均为锐角，∴，
∴，
∴.
故答案为：.
四、解答题
15. （1）计算：；
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1）；（2）5
【解析】
【分析】（1）由指数、对数的运算即可求解；
（2）由诱导公式得到，再结合商的关系，弦化切即可求解；
【详解】（1）原式．
（2），
所以．
16. 已知函数.
（1）求函数的单调递减区间和最小正周期；
（2）若当时，不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式和辅助角公式对函数进行化简，利用正弦函数的性质可得出函数的单调递减区间，利用正弦函数的周期公式即可求出函数的最小正周期；
（2）根据题意可知小于等于的最大值，结合正弦函数的定义域求出最大值，即可知的取值范围.
【小问1详解】
.
所以函数的最小正周期.
由，解得.
所以函数的单调递减区间为.
【小问2详解】
由题意可知，即.
因为，所以.
故当，即时，取得最大值，且最大值为.
所以，实数的取值范围为.
17. 某物品上的特殊污渍需用一种特定的洗涤溶液直接漂洗去污，表示用个单位量的洗涤溶液漂洗一次以后，残留污渍量与原污渍量之比．已知（，为常数），且．
（1）写出的值，并求的表达式；
（2）若用总量为4个单位量的洗涤溶液对该污渍漂洗两次，如何分配两次洗涤溶液的用量，使得去污效果最好？去污效果最好的这种方案是否比“用4个单位量的洗涤溶液漂洗一次”方案的去污效果更好？说明理由．
【答案】（1），
（2）“漂洗两次，每次用2个单位量洗涤溶液”的方案比“用4个单位量的洗涤溶液漂洗一次”的方案去污效果更好，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意即可得出，再根据即可求得的表达式；
（2）计算出总量为4个单位量的洗涤溶分两次漂洗后残留的最少污渍量，和用4个单位量的洗涤溶液一次性漂洗后的残留污渍量进行比较，即可得出结论.
【小问1详解】
依题意，．所以．
又因为，所以，解得．
所以．
【小问2详解】
设第一、二次漂洗分别使用，个单位量的洗涤溶液，其中，，，且．
假设原污渍量为，．
因为，所以第一次漂洗后，残留的污渍量为．
因为，
所以经过二次漂洗后，残留的污渍量为．
．
因为，，所以，所以．
当且仅当时，上式等号成立．
所以的取值范围是．
因为函数在单调递减，在单调递增，
且，，，
所以当时，即时，
取得最大值，最大值为81．
此时残留的污渍量最少，其值为．
所以，用总量为4个单位量洗涤溶液，对该污渍漂洗两次，当两次漂洗使用的洗涤溶液都为2个单位量时，去污效果最好．
因为，所以，用4个单位量的洗涤溶液漂洗一次，残留的污渍量为．
因，
所以“漂洗两次，每次用2个单位量洗涤溶液”的方案比“用4个单位量的洗涤溶液漂洗一次”的方案去污效果更好.
18. 已知函数为偶函数.
（1）求函数的解析式；
（2）设，若函数与函数的图象有且仅有一个公共点，求实数的值.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据偶函数性质计算可得，满足题意即可得解析式；
（2）将问题转化为方程有且只有一个大于0的解，再由基本不等式可得结果.
【小问1详解】
由为偶函数，有，
即，
，解得；
经检验，时，满足，符合题意；
因此函数的解析式为.
【小问2详解】
由题意知有且只有一个实数解,
有且只有一个实数解；
令，则关于的方程有且只有一个大于0的解，
即关于的方程有且只有一个大于0的解
则函数的图象与直线有且只有一个横坐标大于0的公共点
由函数的图象得，此公共点为，
可得.
19. 已知函数的定义域为，若，满足成立，则称函数是“任意漂移函数”；若，满足成立，则称函数是“存在漂移函数”.
（1）若函数是定义在的“存在漂移函数”，求出的值；
（2）若函数是定义在的“任意漂移函数”，且，，解关于的不等式；
（3）若函数是定义在的“存在漂移函数”，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由漂移函数的定义列出方程求解即可；
（2）先确定在是单调递增函数，再通过赋值令，，得到，由单调性即可求解；
（3）由新定义得到，化简得在有解，再构造函数，通过，，讨论即可；
【小问1详解】
函数是“存在漂移函数”，
则在有解，
即，化简得，
令，则，即，解得
【小问2详解】
，设，则，得
，
即，
所以在是单调递增函数
令，得，解得
不等式可转化为，
从而
解得或，
所以不等式的解是
【小问3详解】
由函数为“存在漂移函数”
则满足，
即
化简得，整理得
即在有解
令
①当时，在无解，不合题意；
②当时，对称轴，与轴的交点为在轴的上半轴，
因此无解，不合题意；
③当时，对称轴，需，
解得，又，则
综上所述：实数的取值范围是
【点睛】关键点点睛：第三问由函数为“存在漂移函数”得到在有解，构造函数，转换成二次函数的零点存在问题.