2024湖北省沙市中学高三下学期3月月考试题数学含解析

这是一份2024湖北省沙市中学高三下学期3月月考试题数学含解析，共9页。试卷主要包含了 若，则，若，等内容，欢迎下载使用。

命题人：吕跃 审题人：刘超
考试时间：2024年3月2日
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
已知则
-2 B. 0 C. 2 D. 0或2
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
3．已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．设实数满足，若数据1，3，4，，，的平均数和第50百分位数相等，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知正项等比数列中，成等差数列.若数列中存在两项，使得2a1为它们的等比中项，则的最小值为
A．3B．4C．6D．9
6.某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生不相邻，两名女生也不相邻，老师不站在两端，则不同的排法共有
A． 8种B．16种C．24种D．32种
7．已知是双曲线上不同的三点，且，直线 的斜率分别为.若的最小值为2，则双曲线的离心率为
A. B. 2 C. D.
8．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若与均为偶函数，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．函数的图象关于点对称
C．函数的周期为2D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知,是的共轭复数，则（ ）
A．若，则 B．若为纯虚数，则
C．若，则 D．若，则集合所构成区域的面积为
10．设A、B是一次随机试验中的两个事件，且
则( )
A,B相互独立 B.
C. D.
11．已知函数，若有且仅有三个零点，则下列说法中正确的是：
有且仅有两个零点； B.有一个或两个零点；
C．的取值范围是； D. 在区间上单调递减。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，，若与所成的角为钝角，则实数的取值范围： .
13．已知函数,若有最小值，则的取值范围是 .
14．在中，，，，P为边AB上的动点，沿CP将折起形成直二面角，当最短时，＝ ，此时三棱锥的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）设函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围．
16．（本题满分15分）现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，．现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”．
(1)求； (2)若取出的球是合格品，求该球是甲工厂生产的概率．
17.（本题15分）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若
(1)求与平面所成角的正切值；
(2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
18．（本题17分）如图，D为圆O：上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接并延长至点W，使得，点W的轨迹记为曲线．
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，且，求证：直线MN过定点；
（3）若曲线C交y轴正半轴于点S，直线与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．
19.（本题17分）基本不等式可以推广到一般情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时等号成立。若无穷正项数列同时满足下列两个性质：（1）；（2）为单调数列，则称数列具有性质P.（1）若，求数列的最小项；（2）若，
记，判断数列是否具有性质P，并说明理由；（3）若，求证：数列具有性质P.高三年级3月月考数学答案
一、选择题：
1．C 2. A 3．B 4．C 5．A 6.D 7．C 8．C
（8）【解】：因为为偶函数，所以为奇函数，故关于对称，A正确；
因为为偶函数，所以为奇函数，则的图象关于点对称，B正确；
因为为偶函数，所以关于对称，结合关于对称，可知的周期为4，C错误；
由且关于对称，知，又的周期为4，可知，．由关于对称，又关于对称，可知也关于对称，所以．
因此==0，所以D正确．答案为：C．
9．ABD 10．答案：A B 11．ABD
（11）【解】作出函数的图象，则上有两个最小值点，有一个或两个最大值点，故A、B正确。由于函数上有且只有3个零点，由图象可知，故C错误。当时，，由知，所以在上递减，D正确。
12． 13． 14.
（13）【解】当时，，
当时，，若，则当时，，
则此时函数无最小值；若，则当时，，时，，
则函数有最小值为满足题意；
若，则当时，，时，，
要使函数有最小值，则，解得；综上，的取值范围是，
（14）【解】作于点，连接，设，则，
所以，在中，由余弦定理可得，
，
因为为直二面角，所以平面平面，
因为平面平面，，且平面，所以平面，因为平面，所以，
则，
当最短时，，所以，
即此时为的角平分线，，
且由角平分线定理可得，，
即，所以，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【解】（1）.
（2），当时的最大值为，等价于对于恒成立，
，，，当时，不等式成立，
当，即对于恒成立，
令，
于是在，，递增；在，，递减，
， 的取值范围为
16．【解】（1）依题意，.
（2）该球是甲工厂生产的概率为．
17.【解】（1）与平面所成角的正切值为；
（2）存在点，当时，点到平面的距离为；
18．【解】（1）设，，则，
由题意知，所以，得(，所以，因为，得，故曲线C的方程为．
（2）由题意可知，直线不平行坐标轴，则可设的方程为：，此时直线的方程为． 由，消去得：，
解得：或(舍去)，所以，
所以，同理可得：．
当时，直线的斜率存在，，
则直线的方程为，所以直线过定点．
当时，直线斜率不存在，此时直线方程为：，也过定点，综上所述：直线过定点．
（3）假设存在点R使得，设，
因为，所以，即，所以，所以，
直线与曲线C交于不同的两点G、H，易知G、H关于轴对称，
设，易知点，直线方程是，令得点P横坐标，直线方程是，令得点Q横坐标，由，得，又在椭圆上，
所以，所以，解得，所以存在点，使得成立．
19.解：（1），当且仅当时等号成立. 数列的最小项为.
（2）数列具有性质P，，
，满足性质（1）；
又即单调递增，满足性质（2） 故数列具有性质P.
（3）先证满足性质（1）
，当时



再证数列满足条件（2）

（，等号取不到），故为递增数列. 即数列具有性质P.