吉林省2025届高三下学期东北三省高考模拟数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份吉林省2025届高三下学期东北三省高考模拟数学试卷（原卷版+解析版），共5页。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设复数满足，则在复平面上表示的图形是（ ）
A. 直线B. 直线C. 圆D. 抛物线
3. 记为数列的前项和．下列说法正确的是（ ）
A. 数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有
B. 数列成等比数列的充分不必要条件是对于任意的正整数，都有
C. 已知数列的前项和，则数列是等差数列的充分不必要条件是实数
D. 已知数列前项和，则数列是等比数列的充要条件是
4. 满足条件，且的一组为（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
5. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
6. 甲、乙轮流抛一枚均匀硬币，先抛出正面者获胜．若甲先抛，则甲获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 函数的零点个数为（ ）
A. B. C. D.
8. 设正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，若该四棱锥的外接球与内切球的球心重合，则外接球半径与内切球半径之比为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量，，若，则可能为（ ）
A. B. C. D.
10. 设随机变量，且，则（ ）
A B.
C. 的方差为D. 若增大，则增大
11. 已知集合，现随机选取集合中3个元素组成子集（简称3元子集），记该子集中的最小数为．（ ）
A. 的最小取值为1，最大取值为19
B. 集合中以为最小数的3元子集共有个
C. 取到“集合中以为最小数的3元子集”的概率为
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，若，则_____．
13. 展开式中的系数为_____．
14. 平面上的整点（横纵坐标都是整数的点）到直线的距离的最小值为_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 中，已知角，边，且．
（1）证明：；
（2）若点在上，且为角平分线，求的长度．
16. 在四棱锥中，底面为边长为的菱形，，底面，且，点为中点，点为上靠近点的一个三等分点，点在线段上的动点．
（1）若平面，求出点的位置；
（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
17. 某游戏有三个骰子，其面数如下：骰子：四个面，分别标有数字1，1，3，4；骰子：四个面，分别标有数字2，4，5，6；骰子：六个面，分别标有数字1，3，5，7，9，11；玩家按骰子面数比例随机选择一个骰子（即选择概率等于其面数占总面数的比例），然后掷该骰子两次，记录两次结果的最大值．请解答以下问题：
（1）若玩家选择骰子，求两次投掷的最大值为4的概率；
（2）求两次投掷最大值为4的概率；
（3）设奖金为最大值的平方（单位：元），若玩家获得的奖金超过16元，求玩家选择骰子的概率．
18. 已知函数，其中为常数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数在区间内存在两个不同的极值点，求的取值范围．
19. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点，设椭圆和双曲线的离心率分别为和．
（1）求证：；
（2）设点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，求的最小值，并求此时与的值；
（3）在（2）条件下，设点为椭圆上任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的垂线（点不在两条渐近线上），垂足分别为和，试问面积是否有最大值，如果有最大值，求出此时的值，如果没有最大值，请说明理由．