吉林省吉林市普通高中2025届高三第三次模拟测试数学试卷（解析版）

这是一份吉林省吉林市普通高中2025届高三第三次模拟测试数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设，则（ ）
A. B. C. D. ，或
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴.
故选：A
2. 如图，在圆中，已知弦的长度为2，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】过点作，则，所以，
所以，
故选：B.
3. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】已知点在抛物线上，可得，解得.
在抛物线中，焦点的坐标为，准线方程为.
由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.
所以点到准线的距离为，即.
故选：B.
4. 若是两条直线，是两个平面，且．设，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若，由线面平行性质定理可得，充分性成立；
若，，由线面平行的判定定理可得，必要性成立.
所以是的充要条件.
故选：C
5. 若函数（且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】是由，复合而成，
由题意知：，在区间上单调递增，
若函数（其中且）在区间上单调递减，
所以单调递减，
可得： ,
又对于恒成立，
所以，
解得：，
综上所述：.
故选：A
6. 棱长为2的正方体中，棱的中点为，棱的中点为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设的外心，由外心的定义可知，为线段的四等分点（靠近），则球心在过且与平面垂直的直线上．
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设球心，由，求出，从而求出，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故选：C.
7. 已知正实数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，则，
当时，，当时，，
故在上递增，在上递减，故，
所以，故，故，
故的图像在的下方.
∵
∴，
如图，为函数与函数图象交点的横坐标，
为函数与函数图象交点的横坐标，
为函数与函数图象交点的横坐标，
由图知，，而，
由为增函数得，故，故A，B选项错误.
由得，．
∵与的图象关于直线对称，
∴点和关于对称，且，，
∴且，
∴，故C选项错误.
∵，∴，故D选项正确．
故选：D.
8. 以“冰雪同梦亚洲同心”为主题的第九届亚冬会于2025年2月7日在哈尔滨盛大开幕，场馆上方悬挂的120万朵小雪花片装置，让观众仿佛置身于冰雪童话之中．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”．它可以这样画：如图，画一个边长为1的正三角形，第一步，把每一边三等分；第二步，取三等分后的一边中间的一段，以此为边向外作正三角形，并把这中间的一段擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，形成雪花曲线，记雪花曲线的周长为，则数列的最大项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于初始的正三角形，边长，周长,
由构造规则可知，从到，每一条边都变为原来的倍.
因为有3条边，的边数是条，且每条边长度为，所以.
从到，同样每一条边变为原来的倍，的边数是条，每条边长度为，所以.
以此类推，可得,代入可得：
,
令,则,
则,
令，解得,
令，解得.
所以，.
故选：B
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在的展开式中，则（ ）
A. 各二项式系数的和是32B. 各项系数的和是1
C. 二项式系数最大的项是第3项D. 的系数是40
【答案】AB
【解析】关于的展开式，其通项为：
对于选项A：展开式中二项式系数之和，故A正确；
对于选项B：利用赋值法的应用，当时，各项的系数的和为，故B正确；
对于选项C：展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第3和第4项，故C错误；
对于选项D：由通项：，令，可得，
所以展开式中的系数为.故D错误.
故选：AB.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的周期为
B. 的图象关于对称
C. 在上恰有3个零点
D. 若在上单调递增，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】①当时，，
②当时，，
③当时，，
④当时，，
因此，，.
所以函数的图象，如图所示：
A选项：因为
，所以的周期为，故A正确；
B选项：因
，
所以的图象关于对称，故B正确；
C选项：由的函数解析式以及函数图像可知：
当时，，当时，，当时，，
所以在上有无数个零点，故C错误；
D选项：由，，得，
因为在上单调递增，所以由的图象可知，
解得，则的最大值为，故D正确；
故选：ABD.
11. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法——牛顿法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作的切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，使得当很大时，很小，我们可以把的值作为的近似值．已知函数是函数的一个零点，取，则下列说法正确的是（ ）
A. 切线的方程为B.
C. D. 若，则
【答案】ACD
【解析】，，，所以切线的方程为，故A正确；
令，得，，，所以，令，有，故B错误；
在横坐标为的点处的切线斜率为，
所以在横坐标为的点处的切线方程为，令，则，故C正确；
因为在上恒成立，所以在上单调递增．
，则．
由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点，且．
，则．
．
要证，只需证，
只需证，即证，
，
成立．
，故D正确．
故选：ACD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.
12. 已知，则_____．
【答案】
【解析】根据题意，，可得.
将其代入中，得到.
进行通分，即.则，所以.
则.
故答案为：.
13. 已知复数满足，复数满足，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】设，由得，
∴，整理得，
∴复数在复平面内对应的点的轨迹为直线.
设，则，
由得，，即，
∴复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
∵表示复平面内与所对应的点之间的距离，圆心到直线的距离为，
∴的最小值为.
故答案为：.
14. 双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．已知分别为双曲线的左、右焦点，过右支上一点作双曲线的切线与轴交于点，设为的内心，且，则_____，_____．
【答案】①. ②.
【解析】由双曲线的光学性质有：是角的角平分线，
由角平分线定理可知，，
由双曲线定义可知，
在中，由余弦定理可得，，
，
连接为内心，是的角平分线，
在中，由角平分线定理可知．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的公差，且满足，，记是数列的前项和，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
解：（1）由题意得，
解得或（舍），
，
即数列的通项公式是；
（2）①，
当时，，得，
当时，②，
由①②得，，
化简得，，即，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，
，
．
16. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
（1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
（2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．
解：（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布．
的分布列为
的数学期望．
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
．
即每位员工经过培训合格的概率为．
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，
，则（万元）
即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．
17. 已知椭圆离心率为，且过点．
（1）求椭圆的标准方程：
（2）已知，为椭圆上异于点两点，且，，点为垂足，求证：直线过定点；并判断是否存在定点，使得为定值．若存在，求出定值；若不存在，请说明理由．
解：（1），
即椭圆的标准方程为．
（2）（法一）由题可知，直线的斜率不为0，
设直线的方程为，设，
由消去，得．
，
，
，
，
化简得，或（舍），即
直线过定点．
（注：此处亦可按如下方法求
）
设为的中点，即．
若与不重合，则是的斜边，；
若与重合，则．
综上所述，存在定点，使得为定值．
（法二）1.当直线斜率不存在时，
设，
，
，解得，不符题意（舍），或，符合题意．
直线过点．
2.当直线斜率存在时，设直线的方程为，
设，
由消去，得．
．
，
．
，
．
化简得：，或．
当时，，此时直线过点，不符题意，舍去：
当时，，此时直线过定点．
综上所述，直线过定点．
设为的中点，即．
若与不重合，则是的斜边，；
若与重合，则．
综上所述，存在定点，使得为定值．
18. 如图，直四棱柱中，是边长为的等边三角形，，棱的中点为．
（1）求证：平面；
（2）矩形以边所在直线为旋转轴，逆时针旋转．至矩形，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
（1）证明：中，由正弦定理得，即，
故，又．
又为正三角形，．
又平面平面．
又平面平面．
（2）解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，．
，
．
设平面的法向量为，
则取．
设直线与平面所成角为，则
．
令
，
则，
当且仅当时取等号．
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
19. 函数在处的阶帕德逼近定义为：，且满足（其中）．已知函数在处的阶帕德逼近．
（1）求；
（2）比较与的大小；
（3）若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围，并证明：．
解：（1）．
．
在处的阶帕德逼近，
，则．
．
（2）设函数．
恒成立，在上单调递增．
又，
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即．
（3）设函数方程有两个不相等实数根，
则与有两个不同的交点，
，令，则．
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增．．
当时，；当时，；当时，．
故实数的取值范围是．
不妨设，则．
由（2）知，当时，；当时，．
令，则．
当时，；当时，．
即且；
且．
且，
且．
设函数的两个零点分别为，则．
．0
1
2