【中考数学】2025届苏科版第三轮冲刺专项练习（圆及其性质）附答案

这是一份【中考数学】2025届苏科版第三轮冲刺专项练习（圆及其性质）附答案，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=40°，则∠B等于（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
2．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝24°，则BC弧的度数为（ ）
A．66°B．48°C．33°D．24°
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连结AC、AD、BD，若∠BAC＝35°，则∠ADC 的度数为
A．35°B．55°C．65°D．70°
4．如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，弦CD⊥AB于E，AB=10，CD=8，则OE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．如图，点 A，B，C，D 在 ⊙O 上， OB∥CD ， ∠A=25° ，则 ∠BOD 等于（ ）
A．100°B．120°C．130°D．150°
6．如图，AB是☉O的直径，点C在AB的延长线上，CD切☉O于点D，若∠A=25°，则∠C的度数是（ ）
A．40ºB．50ºC．55ºD．65º
7．如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的 AC ，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（ ）
A．（ 60π ）°B．（ 90π ）°
C．（ 120π ）°D．（ 180π ）°
8．如图，从⊙O外一点 A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC.若∠A＝32°，则∠ACB的度数是（ ）
A．29°B．30°C．31°D．32°
9．已知圆锥的母线长为12，底面圆半径为6，则圆锥的侧面积是（ ）
A．24πB．36πC．70πD．72π
10．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，弧AC的度数为100°，则∠D的大小为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
11．如图，已知C为 AB 上一点，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数为（ ）
A．50°B．80°C．100°D．130°
12．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，BD为直径，若∠A＝65°，则∠DBC的值是（ ）
A．65°B．25°C．35°D．15°
13．如图，⊙C 经过原点且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B，点 B 的坐标为 (−3，0) ，M 是圆上一点，∠BMO=120°.⊙C的圆心C的坐标是（ ）
A．(32，12)B．(32，−12)
C．(−32，12)D．(−32，−12)
二、填空题
14．如图，在△ABC中，BC=6，以点A为圆心，2为半径的☉A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是优弧 EF 上的一点，且∠EPF=50°，则图中阴影部分的面积是 .
15．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r =4，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥母线l的长为 .
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为 .
17．如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7＝ °.
18．若△ABC的三边长为3、4、5，则△ABC的外接圆半径R与内切圆半径r的差为 .
19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD.若∠BDC＝40°，则∠BCD的度数为 °.
20．刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径 R .此时圆内接正六边形的周长为 6R ，如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3.当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为 .（参考数据： sin15°=0.26 ）
21．P是△ABC的内心，BC=4，∠BAC=90°，则△PBC的外接圆半径为 .
22．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC的内切圆⊙I与外接圆⊙O的周长之比为 。
23．如图，在四边形 ABCD 中， AB//CD ， AB=2 ， AD=4 ，以点A为圆心， AB 为半径的圆与 CD 相切于点E，交 AD 于点F.用扇形 ABF 围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 .
24．如图，AD是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点B.若∠A＝32°，则∠B＝ °.
25．T1、T2分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形.设T1的半径r，T1、T2的边长分别为a、b，T1、T2的面积分别为S1、S2.下列结论：①r：a＝1：1；②r：b＝ 3：2 ；③a：b＝1： 3 ；④S1：S2＝3：4.其中正确的有 .（填序号）
26．如图，扇形AOB，且OB=4，∠AOB=90°，C为弧AB上任意一点，过C点作CD⊥OB于点D，设△ODC的内心为E，连接OE、CE，当点C从点B运动到点A时，内心E所经过的路径长为 。
三、解答题
27．如图，已知⊙O的半径为1，AC是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线BC，E是BC的中点，AB交⊙O于D点．
（1）直接写出ED和EC的数量关系： ；
（2）DE是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；
（3）填空：当BC= 时，四边形AOED是平行四边形，同时以点O、D、E、C为顶点的四边形是 ．
28．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CAB=30°，点D在AB上由点B开始向点A运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．
（1）求证：CE=CF；
（2）如果CD⊥AB，求证：EF为⊙O的切线．
29．用两种方法证明“圆的内接四边形对角互补”.
已知：如图①，四边形ABCD内接于⊙O.
求证：∠B＋∠D＝180°.
证法1：如图②，作直径DE交⊙O于点E，连接AE、CE.
∵DE是⊙O的直径，
∴（ ）.
∵∠DAE＋∠AEC＋∠DCE＋∠ADC＝360°，
∴∠AEC＋∠ADC＝360°－∠DAE－∠DCE＝360°－90°－90°＝180°.
∵∠B和∠AEC所对的弧是 ADC ，
∴（ ）.
∴∠B＋∠ADC＝180°.
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.
证法2：
30．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是 BC 的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若OF=4，求AC的长度．
31．如图，过点A的直线DE和正三角形ABC的边BC平行.
（ 1 ）利用直尺和圆规作△ABC的外接圆O（不写作法，保留作图痕迹）；
（ 2 ）求证：DE是⊙O的切线.
32．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知AB＝AC，延长CD至点E，使CE＝BD，连结AE.
（1）求证：AD平分∠BDE；
（2）若AB∥CD，求证：AE是⊙O的切线.
33．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，连接AD，且AD平分∠BAC.
（1）试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）.
34．如图，△ABC中，⊙O经过A、B两点，且交AC于点D，连接BD，∠DBC＝∠BAC.
（1）证明BC与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为6，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积.
35．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE.
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知AE＝8cm，CD＝12cm，求⊙O的半径.
36．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交边BC于点D，点E是 BD 上一点．
（1）若AC为⊙O的切线，试说明：∠AED=∠CAD；
（2）若AE平分∠BAD，延长DE、AB交于点P，若PB=BO，DE=2，求PD的长．
37．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．
（1）求证：EF⊥AB；
（2）若∠C=30°，EF= 6 ，求EB的长．
38．如图，已知线段AC为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，切点为A，B为⊙O上一点，且BC∥PO．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为1，PA=3，求BC的长．
39．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，过点D作BA的平行线交AC于点O，过点A作BC的平行线交DO的延长线于点E，连接CE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）作出△ABC外接圆，不写作法，请指出圆心与半径；
（3）若AO：BD= 3 ：2，求证：点E在△ABC的外接圆上．
40．如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为 52 cm，弦BD的长为3cm，求CF的长．
答案解析部分
1．【正确答案】C
2．【正确答案】B
3．【正确答案】B
4．【正确答案】B
5．【正确答案】C
6．【正确答案】A
7．【正确答案】D
8．【正确答案】A
9．【正确答案】D
10．【正确答案】B
11．【正确答案】D
12．【正确答案】B
13．【正确答案】C
14．【正确答案】6﹣ 109 π.
15．【正确答案】12
16．【正确答案】（6，6）
17．【正确答案】54
18．【正确答案】32
19．【正确答案】100
20．【正确答案】3.12
21．【正确答案】22
22．【正确答案】12：25
23．【正确答案】56
24．【正确答案】26
25．【正确答案】①②④
26．【正确答案】2π
27．【正确答案】（1）ED=EC
（2）DE是⊙O的切线．理由如下：
连接OD，如图，
∵BC为切线，
∴OC⊥BC，∴∠OCB=90°，即∠2+∠4=90°，
∵OC=OD，ED=EC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，∴DE 是⊙O 的切线；
（3）2；正方形
28．【正确答案】（1）证明：∵点E与点D关于AC对称，
∴CE=CD，
∴∠ECA=∠DCA，
又∵DF⊥DE，
∴∠CDF=90°﹣∠CDE=90°﹣∠E=∠F，
∴CD=CF，
∴CE=CF；
（2）证明：连接OC，
∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠CBA=60°，
∵OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OCB=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠OCD=∠DCB=30°，
∵点E与点D关于AC对称，
∴CD=CE，
∴∠ECA=∠DCA=60°，
∴∠ECO=∠ECA+∠OCA=60°+30°=90°，
∴EF为⊙O的切线．
29．【正确答案】解：证法1：如图②，作直径DE交⊙O于点E，连接AE、CE.
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DAE＝∠DCE＝90°.
∵∠DAE＋∠AEC＋∠DCE＋∠ADC＝360°，
∴∠AEC＋∠ADC＝360°－∠DAE－∠DCE＝360°－90°－90°＝180°.
∵∠B和∠AEC所对的弧是 ADC ，
∴∠AEC＝∠B..
∴∠B＋∠ADC＝180°.
证法2：连接OA、OC
∵∠B、∠1所对的弧是 ADC ，
∠D、∠2所对的弧是 ABC ，
∴∠B＝ 12 ∠1，∠D＝ 12 ∠2
∵∠1＋∠2＝360°，
∴∠B＋∠D＝ 12 (∠1＋∠2)＝ 12 ×360°＝180°.
30．【正确答案】（1）解：DE与⊙O相切．
证明：连接OD、AD，
∵点D是 BC 的中点，
∴BD = CD ，
∴∠DAO=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ODA，
∴∠DAC=∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE与⊙O相切．
（2）解：连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，
由垂径定理可得：OH⊥BC， BG = BD = DC ，
∴DG = BC ，
∴DG=BC，
∴弦心距OH=OF=4，
∵AB是直径，
∴BC⊥AC，
∴OH∥AC，
∴OH是△ABC的中位线，
∴AC=2OH=8．
31．【正确答案】（1）如图，⊙O为所作；
（ 2 ）延长AO交BC于G，如图，
∵AB=AC，OB=OC，∴AG垂直平分BC.
∵DE∥BC，∴AG⊥DE，∴DE是⊙O的切线.
32．【正确答案】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠ABC＋∠ADC＝180°
∴∠ABC＝∠ADE
∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB
∵∠ACB＝∠ADB
∴∠ADB＝∠ADE
∴AD平分∠BDE
（2）证明： AB∥CD，
∴∠ADE=∠DAB，
∵∠ADB=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADB，
∴AB=BD
∵CE＝BD，
∴AB=CE
∵AC=AB，
∴AC=AB
连接OA并延长交BC于T
∴AT⊥BC，
∵AB∥CE，AB=CE
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴AE∥BC，
∴AT⊥AE，
∴AE是⊙O的切线.
33．【正确答案】（1）解：BC与 ⊙O 相切，
理由：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AO=DO，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC//OD，
∵∠ACD=90∘，
∴OD⊥BC，
∴BC与 ⊙O 相切；
（2）解：连接OE，ED，
∵∠BAC=60∘，OE=OA，
∴△OAE为等边三角形，
∴∠AOE=60∘，
∴∠ADE=30∘，
又 ∵∠OAD=12∠BAC=30∘，
∴∠ADE=∠OAD，
∴ED//AO，
∴S△AED=S△AOD，
∴阴影部分的面积=S扇形ODE =60×π×4360=23π.
34．【正确答案】（1）证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE，
∵BE是直径，∴∠EDB＝90°，
∴∠E＋∠EBD＝90°
∵BD ＝ BD ，∴∠E＝∠A
又∵∠DBC＝∠BAC，∴∠DBC＝∠E
∴∠DBC＋∠EBD＝90°，∴∠EBC＝90°，∴BC⊥EB.
又∵OB是半径（B在⊙O上），∴BC与⊙O相切.
（2）解：∵BD ＝ BD ，∴∠BOD＝2∠A＝60°
S阴影＝ S扇形OBD－S△OBD＝π36× 60360 －9 3 ＝6π－9 3 .
35．【正确答案】（1）证明：连结OA.
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD.
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA=∠EDA.
∴∠OAD=∠EDA，
∴EC∥OA.
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE.
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线
（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F.
∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，
∴四边形AOFE是矩形.
∴OF=AE=8cm.
又∵OF⊥CD，
∴DF= 12 CD=6cm.
在Rt△ODF中， OD=OF2+DF2 =10cm，
即⊙O的半径为10cm.
36．【正确答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AC是切线，
∴∠CAB=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，∠DAB+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠DBA，
∵∠DBA=∠AED，
∴∠AED=∠CAD．
（2）解：连接OE．
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠EAB，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠EAB，
∴∠DAE=∠AEO，
∴AD∥OE，
∴AOAP = DEDP = 13 ，
∴DP=3DE=6．
37．【正确答案】（1）证明：连接AD、OD
，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
又∵AB=AC，
∴CD=DB，又CO=AO，
∴OD∥AB，
∵FD是⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
∴FE⊥AB
（2）解：∵∠C=30°，
∴∠AOD=60°，
∴∠F=30°，
∴OA=OD= 12 OF，
∵∠AEF=90°EF= 6 ，
∴AE= 2 ，
∵OD∥AB，OA=OC=AF，
∴OD=2AE=2 2 ，AB=2OD=4 2 ，
∴EB=3 2
38．【正确答案】（1）证明：连接OB，∵∠BCA= 12∠AOB ，又∵BC∥OP，∴∠POA=∠BCA，∴∠POA=∠BOP，在△AOP与△BOP中， OA=OB∠POA=∠BOPOP=OP ，∴△AOP≌△BOP，
∴∠PBO=∠PAO，
又∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠OBP=90°，又OB为⊙O的半径，∴PB为⊙O的切线；
（2）解：过O作OH⊥BC于H，则CH= 12 BC，在Rt△AOP中，OP2=PA2+OA2=32+12=10，又∵OP＞0，∴OP= 10 ，
∵∠POA=∠BCA，
∴cs∠BCA=cs∠POA= 110 ，
在Rt△OHC中，OC=1，cs∠BCA= CHOC 即 110=CH1 ，
∴CH= 1010 ，∴BC=2CH= 105 ．
39．【正确答案】（1）证明：∵DE∥AB，AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，
∴AD= 12 BC=CD，
∴四边形ADCE是菱形
（2）解：如图所示：圆心为点D，AD、BD、CD都为半径
（3）证明：∵四边形ADCE是菱形，∴AC⊥DE，OD=OE，∴∠AOD=90°，∵AO：BD=3：2，∴AO：AD=3：2，即sin∠ADO=3：2，
∴∠ADO=60°，
∴∠OAD=30°，
∴AD=2OD，
∴DE=DA，
∴点E在△ABC的外接圆上
40．【正确答案】（1）证明：连结OC，如图，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∴∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，
∵∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABD=∠BOC，
∴OC∥BD，
∵CE⊥BD，
∴OC⊥CE，
∴CF为⊙O的切线；
（2）解：作OH⊥BD于H，如图，
则BH=DH= 12 BD= 32 ，
在Rt△OBH中，∵OB= 52 ，BH= 32 ，
∴OH= OB2−BH2 =2，
易得四边形OHEC为矩形，
∴CE=OH=2，HE=OC= 52 ，
∴BE=NE﹣BH=1，
∵BE∥OC，
∴△FBE∽△FOC，
∴EFCF=BEOC ，即 CF−2CF=152 ，
∴CF= 103 ．