山西省太原市2024届高三下学期模拟考试（一）数学试题（解析版）

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1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】阴影部分对应的集合为，
∵全集，集合，
∴.
故选：D.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以.
故选：A
3. 已知，若，则实数＝（ ）
A. ﹣4B. 1C. 2D. 6
【答案】B
【解析】因为，
所以，
又因为，
所以，解得．
故选：B．
4. 已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）.
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】C
【解析】若，，，则平行或异面，错误；
若，，，则平行，或异面，或相交，错误；
若，，取直线的方向向量作为的法向量，
取直线的方向向量为作为的法向量，，
因为，即两平面所成角为，所以，
所以，即正确；
若，，，则平行或异面、或相交，错误；
故选：C
5. 北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（ ）
A. 35B. 34
C. 31D. 30
【答案】C
【解析】从这七个点任意选取三个点有个，
其中共线的四点中有个不能构成三角形，
所以不同的三角形个数有31个，
故选：C.
6. 已知双曲线：的左、右焦点分别是，，点在双曲线上，且满足，则点到双曲线两条渐近线的距离之和为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】设点的坐标为，由已知得，，
则，，因为，所以，①
又因为点是双曲线上一点，所以，②
联立①②,相减，得到，解得.
根据双曲线的对称性，不妨取讨论，又渐近线方程为，
则点到双曲线两条渐近线的距离之和为
.
故选：C.
7. 已知数列的前项和为，且满足，，则使不等式成立的的最大值为（ ）
A. 15B. 17C. 20D. 22
【答案】B
【解析】由，当时，得，
两式相减并整理得，则
，,即，，
又因为，所以，，
当时也满足上式，所以，，
则，，显然随的增大而增大，
又，，的最大值为17.
故选：B.
8. 已知，，，
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
即，则，
因，则，化简得，
即，即，
因，，则，，
故或，即（舍）或，
则
故选：B
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若随机变量，满足，则
B. 若随机变量，，则
C. 若样本相关系数的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强
D. 记样本，，…，的平均数为，样本，，…，的平均数为，若样本，，…，，，，…，的平均数为，则
【答案】BCD
【解析】对于A，随机变量，满足，则，A错误；
对于B，随机变量，，则
，B正确；
对于C，若样本相关系数的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强，C正确；
对于D，，，，则，D正确.
故选：BCD
10. 已知定义域在上的函数满足以下条件：①对于任意的x，，；②；③，其中k是正常数，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 是偶函数D.
【答案】ACD
【解析】对于A，令，可得，由可得，A正确；
对于B，令，可得，所以，B错误；
对于C，令，可得，所以，C正确；
对于D，将代入x，将k代入y，可得，D正确.
故选：ACD
11. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是分别以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为4，则下列结论正确的是（ ）
A. 记勒洛四面体表面上以，为球心的两球球面交线为弧，其长度为
B. 平面截勒洛四面体所得截面的面积为
C. 过棱的中点和的平面截勒洛四面体所得的截面的周长小于
D. 勒洛四面体的内切球半径是
【答案】BCD
【解析】在正四面体中，为的中心，
是正四面体外接球的球心，
连接、、，由正四面体的性质可知在上.
因为，所以，
则.
因为，
即，解得，
对A选项，如图，取中点，
在中，，，
记该“勒洛四面体”上以，为球心的两球交线为弧，
设为弧上任意一点，根据“勒洛四面体”的对称性，弧在平面上，且平面.
所以.
所以该弧是以的中点为圆心，以为半径的圆弧，
设圆心角为，则，可知，
所以弧长不等于，故A错误；
对B选项，勒洛四面体被平面截得的截面如图所示，
其面积为，则B正确；
对C选项，由A选项可知，过棱的中点和的平面截勒洛四面体所得的截面为平面，
且平面截勒洛四面体所得的截面周长为弧长的3倍，弧长为，故截面周长为.
又，所以，所以所得截面的周长小于，故C正确；
对D选项，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心，
连接并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径.
因为，所以，
所以勒洛四面体内切球的半径是，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中的常数项为______.
【答案】
【解析】的展开式的通项为：，
则的展开式中的项为：和，
于是的展开式中的常数项为：.
故答案为：.
13. 已知数列中，，，则数列前2024项的和为__________.
【答案】2024
【解析】因为，，
所以，，，
，，，
所以数列是周期为4的周期数列，
且，
所以.
故答案为：2024.
14. 已知，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为______.
【答案】
【解析】对不等式进行变形，得到，
令，，又，所以，在上单调递增，
∵，∴，于是有，即，
令，，，
可得当时，，单调递增，当时，，单调递减，
于是，于是，
∴的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在中，是边上一点，，，.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
解：（1）设，，，
∴，
在中，∵，∴，
在中，由正弦定理得，即，
∴，
∵，∴
∴，，
∴或（舍去），
∴.
（2）由（1）得，∴，，
∵，∴，∴
在中，由余弦定理得：
，
∴.
16. 如图，在三棱台中，平面，平面平面，，的面积为，三棱锥的体积为．
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的大小．
（1）证明：取的中点，连接，
∵，
∴，又平面平面，
∵平面平面，平面，
∴平面，又平面，
∴，
∵平面平面，
∴，
又平面，，
∴平面，又平面，则；
（2）解：由题意及（1），面，且面，则，
由面面，则，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，解得，
则，
设是平面一个法向量，则，，
所以，当时，，
设是平面的一个法向量，则，，
所以，当时，，
∴由图知，平面与平面夹角为锐角，
∴平面与平面的夹角为．
17. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若在上有两个零点，求实数的取值范围.
解：（1）由题意得，，
①当时，，所以在上单调递减；
②当时，令，则，
令，则；令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）得①当时，在上单调递减，
所以在上至多有一个零点，所以不符合题意；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
，
（ⅰ）当时，，
所以上至多有一个零点，所以不符合题意；
（ⅱ）当时，，
因为，
所以在上有一个零点，
因为，
所以
，
所以上有一个零点，
所以符合题意；
综上，实数的取值范围为.
18. 已知椭圆经过点，且离心率，点是上一动点，点是的中点（为坐标原点），过点的直线交于、两点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当直线的斜率和直线的斜率都存在时，证明：；
（3）证明：的面积为定值.
（1）解：由题意得，解得，
故椭圆的标准方程为.
（2）证明：设、、，则，所以，
由题意可知，点为线段的中点，则，
由，得，所以，，
即.
（3）证明：①当和都存在时，设直线的方程为，
由得，
则，
由韦达定理可得，，
所以，，，
因为点在椭圆上，则，即，
所以，整理可得，
所以，，
设点到直线的距离为，
则的面积
所以，
故为定值；
②当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，
由对称性，不妨取直线的方程为，
联立可得，则，
此时；
③当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，同理可得.
综上所述，的面积为定值.
19. 某制药公司针对某种病毒研制了一款新疫苗.该病毒一般通过病鼠与非病鼠之间的接触传染，现有只非病鼠，每只非病鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的非病鼠数用随机变量表示，假设每只非病鼠是否被感染之间相互独立.
（1）若，求数学期望；
（2）设接种疫苗后的非病鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关.团队提出函数模型为，团队提出函数模型为.现将这只非病鼠平均分成10组，进行实验，随机变量表示第组被感染的非病鼠数，如图是根据随机变量的实验结果绘制成的频数分布直方图.假设每组非病鼠是否被感染之间相互独立.
①试写出事件“，，…，”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）；
②在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的极大似然估计.根据这一原理，判断，两个团队提出的函数模型是否可以求出的极大似然估计？若能，请求出.
参考数据：.
解：（1）由题意知随机变量，
即，
由得，
∴，则；
（2）①由题意得
，，
②设
，，
则，
令，则，令，则，
∴在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，
记函数，，
则，
令，则；令，则，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，
所以团体提出的函数模型求不出的极大似然估计，
记函数，，则在上单调递增，且其值域为，
令，则，
所以团体提出的函数模型可以求出的极大似然估计，且.