四川省凉山州安宁联盟2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷（解析版）

这是一份四川省凉山州安宁联盟2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了故C正确；等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”．
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．
3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在等差数列中，，，则数列的公差d（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】因为，，所以,解得d＝2.
故选：B.
2. 函数的图像在点处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，则，，
所以，
所以切点为，切线的斜率为，所以切线方程为.
故选：A
3. 的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以n＝8，
二项展开式的通项为，
故二项展开式中，二项式系数最大的项为.
故选：A.
4. 为弘扬“五四”精神学校举行了一次演讲比赛，经过大数据分析，发现本次演讲比赛的成绩服从，据此估计比赛成绩不小于86的学生所占的百分比为（ ）
参考数据：,，
A. 0.135％B. 0.27％C. 2.275％D. 3.173％
【答案】C
【解析】依题意，而，
所以测试成绩不小于86的学生所占的百分比为：
故选：C．
5. 电影飞驰人生中对汽车的撞击能力进行检测，需要对汽车实施两次撞击，若没有受损，则认为该汽车通过质检．若第一次撞击后该汽车没有受损的概率为0.84，当第一次没有受损时第二次实施撞击也没有受损的概率为0.85，则该汽车通过检验的概率为（ ）
A. 0.794B. 0.684C. 0.714D. 0.684
【答案】C
【解析】设表示第次撞击后该汽车没有受损，
则由已知可得，，，
由条件概率公式可得，
即该汽车通过质检的概率是
故选：C
6. 已知函数在区间[1，2]上单调递增，则实数a的最大值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】由函数在区间上单调递增,可得在[1，2]上恒成立，
即，
设，则，，，
故当时，即时，，
故得，即a的最大值为.
故选：B.
7. 用红、黄、蓝三种不同颜色给如图所示的4块区域A、B、C、D涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（ ）
A. 14种B. 16种C. 20种D. 18种
【答案】D
【解析】先涂A，有3种涂法，再涂B有2种涂法，涂C时，与A同色，有1种涂法，此时D有2种涂法，
当C与A异色时有1种涂法，这是D有1种涂法，
所以共有3×2×（1×2＋1×1）＝18种.
故选：D.
8. 已知可导函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】令，则，
故在上单调递减，
不等式可变形为
，
即，
所以且，解得.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设随机变量的分布列为，（），则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】A：由，得，故A正确；
B：，故B正确；
C：由选项A知，，
则
所以，故C正确；
D：由选项A知，，则，故D错误.
故选：ABC
10. 已知等差数列的前n项和为，且满足，，则下列选项正确的有（ ）
A. B. 数列是递增数列
C. 当n＝15时，取得最大值为225D. 的最小值为1
【答案】ACD
【解析】因为，，所以，解得，，，
对于A．令n＝9，解得，故A正确；
对于B．d＝－2＜0，数列是递减数列，因此数列不是递增数列，故B错误；
对于C．，当n＝15时，取得最大值为225．故C正确；
对于D．，
令，，∴f（x）在上单调递增，∴最小值为1，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知，，且，为函数的极小值点，则下列不等式可以成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】，
由或，因为在处取得极小值，
故得．
当时，则，解得，
若，则，，故四个选项均不成立．
若时，．
当时，则，得，此时．故选：BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若已知，则_________
【答案】512
【解析】由，
令，则①
令，则②
由①＋②得
所以.
故答案为：512.
13. 某学校选派甲，乙，丙，丁共4位教师分别前往A，B，C三所中学支教，其中每所中学至少去一位教师，乙，丙不去C中学但能去其他两所中学，甲，丁三个学校都能去，则不同的安排方案的种数是________（用数字作答）
【答案】14
【解析】若C学校去一个人，只能从甲，丁中选1个，剩余3人选2人去1个学校，将这两人看成1人，则2人分到2个学校的方法是,所以不同的分配方案有：；
若C学校去2个人：只能是甲，丁，所以不同的分配方案有：.
所以共有种.
故答案为：14
14. 已知，，对任意的都有，则的取值范围是_______
【答案】
【解析】∵∴
令，则
，当时，
∴在上单调递增
∴，
令，则，由，
所以在上单调递减，在，
所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列的前n项和为，，
（1）证明：是等比数列，并求出的通项公式；
（2）已知，求数列的前n项和．
解：（1）当时，，又，∴；
当时，，，两式相减得
又∵，
∴数列是首项为3，公比为2的等比数列，
∴.
（2）
∴
16. 某歌手选秀节目，要求参赛歌手先参加初赛．歌手晋级与否由A、B、C三名导师负责．首先由A、B两位导师对歌手表现进行初评，若两位老师均表示通过，则歌手晋级；若均表示不通过，则歌手淘汰；若只有一名导师表示通过，则由老师C进行复合审查，复合合格才能通过；并晋级．已知每个歌手通过A、B、C三位导师审核的概率分别为，，，且各老师的审核互不影响．
（1）在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率；
（2）从参赛歌手中选出3人，设其中通过晋级的人数为X，求X的分布列和数学期望．
解：（1）设事件A＝{A老师表示通过}，事件B＝{B老师表示通过}，事件C＝{C老师表示通过}，事件D＝{歌手通过晋级}，事件E＝{歌手经过复审}，
则，，，
，
因此，
所以在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率为．
（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，3，显然，，
则，
，
所以X的分布列如下：
数学期望为．
17. 教育局为了了解本区高中生参加户外运动的情况，从本区随机抽取了600名高中学生进行在线调查，收集了他们参加户外运动的时间（单位：小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，（14，16]，（16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）为进一步了解这600名学生参加户外运动时间的分配情况，从参加户外运动时间在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人．记参加户外运动时间在（14，16]内的学生人数为X，求X的分布列和期望；
（2）以调查结果的频率估计概率,从该区所有高中学生中随机抽取10名学生，用“”表示这10名学生中恰有k名学生户外运动时间在（10，12]（单位：小时）内的概率，当最大时求k的值．
解：（1）由频率分布直方图得：
2（0.02＋0.03＋0.05＋0.05＋0.15＋a＋0.05＋0.04＋0.01）＝1，解得a＝0.10；
这600名学生中参加公益劳动时间在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生人数分别为：600×0.10＝60人，
600×0.08＝48人，600×0.02＝12人
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从参加公益劳动时间在[14，16]内的学生中抽取：人，
现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
∴X的分布列为：
则其期望为；
（2）由（1）可知参加公益劳动时间在（10，12]的概率P＝0.1×2＝0.2，
所以，
依题意，即，解得，
因为k为非负整数，所以k＝2，
即当最大时，k＝2.
18. 已知等差数列的公差d≠0，且，，成等比数列，的前n项和为，，设，数列的前n项和为，
（1）求数列的通项公式；
（2）若不等式对一切恒成立，求实数λ的最大值．
解：（1）设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，且，
可得，即，解得，
所以，
则
（2）由（1）知，，
可得，①
则，②
所以①－②得
，
所以
，
所以，
由（1）得，所以，
因为不等式对一切恒成立，
所以且，
所以对一切恒成立，
即对一切恒成立，所以，
令，则，所以，
当时，，所以单调递减；
当时，，即；
当时，，所以单调递增；
综上可得，的最小值为，
所以，
所以λ的最大值为．
19. 已知函数，的定义域为．
（1）求的极值点；
（2）讨论的单调性；
（3）若函数存在唯一极小值点，求的取值范围．
解：（1）的定义域为，，
令得；令得.
故单调递减，在单调递增．
所以是的极小值点，无极大值点.
（2）的定义域为，
若，在上恒成立，所以在上单调递减；
若，令得；令得，
所以上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）令，则．
令，则
①当时，在上恒成立，
故当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
所以有唯一极大值点，没有极小值点，不满足题意．
②当时，在恒成立，在单增，，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
所以F有唯一极小值点，满足题意．
③当时，令，得；
令，得，
故在上单调递减，在上单调递增．
则令，得
当时，在上恒成立，
由②可知有唯一极小值点，满足题意.
当时，，，，
又因为在上单调递减，在上单调递增，
所以存在唯一实数，使得，，
又，
故当时，；当时，；
当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
所以的极小值点为，，不唯一，不满足题意．
综上，的取值范围为.X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P