四川省凉山州安宁河联盟2023-2024学年高二上学期期末联考 数学试卷（含答案）

这是一份四川省凉山州安宁河联盟2023-2024学年高二上学期期末联考 数学试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了5B， 以下四个命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
考试时间共120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设一组样本数据平均数为1，则数据的平均数为（ ）
A. 1B. 3C. 4D. 9
3. 已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张号签，从中随机地选取两张号签，事件“取到标号为1和3的号签”，事件“两张号签标号之和为5”，则下列说法正确的是（ ）
A. 与互斥B. 与独立C. 与对立D.
5. 设椭圆的焦点分别为，，过的直线与椭圆相交于，两点，则的周长为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 16
6. 某学校高一高二年级共1000人，其中高一年级400人，现按照年级进行分层随机抽样调查学生身高，得到高一、高二两个年级的样本平均数分别为，和样本方差分别为3，4，则总体方差（ ）
A. 18.5B. 19.2C. 19.4D. 20
7. 椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，为坐标原点.若，，，则椭圆的离心率为（ ）
A B. C. D.
8. 如图所示，正方体的棱长为4，，分别是棱，上的动点，且，当四点共面时，点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D. 3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（ ）
A. 这10年粮食年产量的极差为15
B. 这10年粮食年产量第65百分位数为33
C. 这10年粮食年产量的中位数为29
D. 前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差
10. 以下四个命题正确的是（ ）
A. 双曲线与椭圆的焦点不同
B. ，为椭圆的左、右焦点，则该椭圆上存在点满足
C. 曲线渐近线方程为
D. 曲线，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件
11. 已知直线和圆相交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线过定点
B. 的最小值为
C. 的最小值为
D. 圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则
12. 在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，且满足，点满足，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，的面积的最大值为
B. 当时，三棱雉的体积为定值
C. 当时，的最小值为
D. 当时，不存在点，使得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 直线，，当直线与垂直时，________.
14. 甲乙两人参加一场比赛，假设甲乙获胜的概率分别为，，则两人中至少有一人获胜的概率为________.
15. 点关于直线x＋y＋1＝0对称点的坐标为______．
16. 已知是圆上一点，过点作垂直于轴的直线，垂足为，点满足.若点，，则的取值范围是________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点.
（1）求直线的方程.
（2）直线恒过定点，求点到直线的距离.
18. 2023年中国田协召开了2023路跑工作会议，会议对《2022年中国田径协会路跑管理文件汇编》进行了修订.新版在年龄组别上调整为8个：34岁以下组、35-39岁组、40-44岁组、45-49岁组、50-54岁组、55-59岁组、60-64岁组、65岁以上组.现抽取了1000名年龄在35-64岁的参赛人员，得到各年龄段人数的频率分布直方图如下：
（1）求图中的值，并估计这1000人年龄的中位数；
（2）用分层抽样的方法从年龄在内的人数中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这两人中至少一人的年龄在中的概率.
19. 将长方体沿截面截去一个三棱锥后剩下的几何体如图所示，其中，，分别是，的中点.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20. 如图，已知圆，点.
（1）求圆心在直线上，经过点且与圆相外切的圆的方程；
（2）若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程.
21. 过椭圆内一点引一条弦，使该弦被点平分.
（1）求该弦所在的直线方程；
（2）求该弦的弦长.
22. 已知椭圆的右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（，异于点），当直线与轴垂直时，.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求面积的取值范围.
安宁河联盟2023～2024学年度上期高中2022级期末联考
数学
考试时间共120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间直角坐标系中点在坐标平面的投影确定点坐标再表示向量即可.
【详解】根据题意点在坐标平面内的射影为，所以.
故选：C.
2. 设一组样本数据的平均数为1，则数据的平均数为（ ）
A. 1B. 3C. 4D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均数的性质得到平均数为.
【详解】已知样本数据的平均数为，
记数据的平均数为，
则
，
故数据的平均数为.
故选：C.
3. 已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的定义可判断动点的轨迹形状，利用待定系数法即可求得轨迹方程.
【详解】因为，，所以，动点满足，
由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，
设双曲线方程为，则有，，，
所以动点的轨迹方程为.
故选：D.
4. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张号签，从中随机地选取两张号签，事件“取到标号为1和3的号签”，事件“两张号签标号之和为5”，则下列说法正确的是（ ）
A. 与互斥B. 与独立C. 与对立D.
【答案】A
【解析】
【分析】由互斥事件，对立事件，独立事件的定义判断ABC选项，古典概型计算概率判断选项D.
【详解】根据题意，选取两张号签用表示一次实验结果，
则随机试验结果的样本空间，
，.
对A，，所以与互斥，故A选项正确；
对B，，，，所以，与不独立，故B选项错误；
对C，，，所以与不对立，故C选项错误；
对D，，故D选项错误.
故选：A.
5. 设椭圆的焦点分别为，，过的直线与椭圆相交于，两点，则的周长为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】利用椭圆定义直接求出的周长.
【详解】椭圆长半轴长，
所以的周长为.
故选：D
6. 某学校高一高二年级共1000人，其中高一年级400人，现按照年级进行分层随机抽样调查学生身高，得到高一、高二两个年级的样本平均数分别为，和样本方差分别为3，4，则总体方差（ ）
A. 18.5B. 19.2C. 19.4D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】利用分层抽样的方差公式计算即可得.
【详解】总体样本平均数，
.
故选：B.
7. 椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，为坐标原点.若，，，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意求出c值，利用勾股定理即可求得的值，结合椭圆定义求出a，即可求得答案.
【详解】设椭圆的焦距为2c，
由椭圆的几何性质，可知点是线段的中点，，
所以：，即得，
而，解得：，
所以：，故，
所以：，
故选：A.
8. 如图所示，正方体的棱长为4，，分别是棱，上的动点，且，当四点共面时，点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由面面平行的性质得到，又，故，分别为，的中点，有等体积法求出点到平面的距离.
【详解】因为平面与平面平行，
当四点共面时，由面面平行的性质可得，
又，故此时，分别为，的中点，连接EF，
设点到平面的距离为，点到平面的距离为，
，即.
其中，，
，，
取的中点，连接，则⊥，，
故，，
所以.
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（ ）
A. 这10年粮食年产量的极差为15
B. 这10年粮食年产量的第65百分位数为33
C. 这10年粮食年产量的中位数为29
D. 前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差
【答案】ABC
【解析】
【分析】ABC选项，由极差，百分位数和中位数的定义求出答案；D选项，根据图形及方差的意义得到D错误.
【详解】A选项，将样本数据从小到大排列25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，
这10年的粮食年产量极差为，故A正确；
B选项，，结合A选项可知第65百分位数为第7个数33，故B正确；
C选项，从小到大，选取第5个和第6个的数的平均数作为中位数，
这10年的粮食年产量的中位数为，故C正确；
D选项，结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，
所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D错误；
故选：ABC.
10. 以下四个命题正确的是（ ）
A. 双曲线与椭圆的焦点不同
B. ，为椭圆的左、右焦点，则该椭圆上存在点满足
C. 曲线的渐近线方程为
D. 曲线，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件
【答案】CD
【解析】
【分析】A选项，求出双曲线和椭圆方程的焦点坐标，判断A错误；B选项，求出，故点的纵坐标为2或即可，根据椭圆上点的有界性判断B错误；C选项，根据双曲线渐近线方程公式求出答案；D选项，根据焦点所在位置得到不等式，求出，D正确.
【详解】A选项，双曲线，即，焦点在轴上，
由于，故其焦点为，，
而椭圆，焦点在轴上，且，
故焦点为，，故A错误；
B选项，椭圆，则，，即，
所以，，则，
要使，则，即，即点的纵坐标为2或即可，
而椭圆上的点纵坐标取值范围为，则不存在点满足，故B错误；
C选项，双曲线的渐近线方程为，故C正确；
D选项，曲线，若曲线是焦点在轴上的椭圆，
则，解得，故D正确.
故选：CD.
11. 已知直线和圆相交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线过定点
B. 的最小值为
C. 的最小值为
D. 圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，直线变形后求出定点坐标；B选项，数形结合得到当时，圆心到直线的距离最大，最小，由垂径定理求出的最小值；C选项，表达出，求出最小值；D选项，由题可得圆心到直线的距离，从而求出.
【详解】A选项，根据题意变形为，
故直线过定点，A正确；
B选项，由题意可知，当时，圆心到直线的距离最大，此时最小，
其中，
此时，B错误；
C选项，的圆心为，半径，
，
因为的最小值为，所以的最小值为，C正确；
D选项，，因为圆上到直线的距离为的点恰好有三个，
所以圆心到直线的距离，
即，解得，D错误；
故选：AC.
12. 在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，且满足，点满足，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，的面积的最大值为
B. 当时，三棱雉的体积为定值
C. 当时，的最小值为
D. 当时，不存在点，使得
【答案】ABC
【解析】
【分析】当时，当点与重合时，证得，结合，可判定A正确；当时，得到点在上运动，根据，可判定B正确；设的中点为，的中点为，得到点在线段上运动，当点运动到线段的中点时，，求得，可判定C正确；当时，设的中点为，的中点为，得到点在上运动，当点与点重合时，证得；当点与点重合时， ，可判定D错误；
【详解】对于A中，当时，，则点在上运动，
则当点与重合时，则此时面积取得最大值，，
由于直三棱柱，则，为等腰直角三角形，则，
又由，面，则面，
因为面，所以，
则，故选项A正确；
对于B中，当时，则，点在上运动，则，
由于点到平面的距离为定值，点到线段的距离恒为，
则，则，故选项B正确；
对于C中，设的中点为，的中点为，当时，，
则点在线段上运动，
因为，，
所以当点运动到线段的中点时，，
此时，所以，故选项C正确；
对于D中，当时，，
设的中点为，的中点为，则点在上运动，
当点与点重合时，，，
因为，平面，则面，
又因为面，则，
当点与点重合时，面，即面，则，
故选项D错误；
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：
1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；
2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；
4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 直线，，当直线与垂直时，________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由两条直线的位置关系，列出方程，即可求解；
【详解】由直线，，
因为直线与垂直，所以，解得.
故答案为：.
14. 甲乙两人参加一场比赛，假设甲乙获胜的概率分别为，，则两人中至少有一人获胜的概率为________.
【答案】##0.625
【解析】
【分析】先求出两人均没有获胜的概率，再利用对立事件求概率公式求出答案.
【详解】两人均没有获胜的概率为
故两人中至少有一人获胜的概率为.
故答案为：.
15. 点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】设点(3,4)关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标是，根据垂直和中点列方程组可求出结果.
【详解】设点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为，
则，解得，
所以点（3，4）关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为．
故答案为：
16. 已知是圆上一点，过点作垂直于轴的直线，垂足为，点满足.若点，，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意先求出点的轨迹方程，得知它的轨迹为以点，为焦点的椭圆，由椭圆的定义可将化简为，结合焦半径的范围即可得解.
【详解】由题意设，所以，因为，所以.
将点带入圆，则点满足椭圆的方程.
所以
，
又，即，
当时，最大，最小且为；
当或时，最小，最大且为，
即，即，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：关键是得到点的轨迹方程，结合椭圆定义化简表达式即可进一步得解.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点.
（1）求直线的方程.
（2）直线恒过定点，求点到直线的距离.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程；
（2）直线变形后求出定点坐标，进而由点到直线距离公式求出答案.
【小问1详解】
由题可得，，则，，
∴直线的斜率，且直线过点，
∴由直线的点斜式方程得，
即，
∴所求直线的方程为；
【小问2详解】
∵直线化简得：，
∴定点，
则点到直线的距离，
∴到直线的距离为.
18. 2023年中国田协召开了2023路跑工作会议，会议对《2022年中国田径协会路跑管理文件汇编》进行了修订.新版在年龄组别上调整为8个：34岁以下组、35-39岁组、40-44岁组、45-49岁组、50-54岁组、55-59岁组、60-64岁组、65岁以上组.现抽取了1000名年龄在35-64岁的参赛人员，得到各年龄段人数的频率分布直方图如下：
（1）求图中的值，并估计这1000人年龄的中位数；
（2）用分层抽样的方法从年龄在内的人数中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这两人中至少一人的年龄在中的概率.
【答案】（1），中位数为46.5
（2）
【解析】
【分析】（1）由概率之和为1计算即可得，借助中位数的性质计算即可得中位数；
（2）由分层抽样可确定两组的具体人数，再计算概率即可得.
【小问1详解】
由题可得，
∴，
∵的频率为，
的频率为，
∴中位数在之间，设中位数为，则，
∴，即中位数为46.5.
【小问2详解】
∵的频率为，的频率为，
∴这两组的频率之比为，
∴抽取的人数为：（人），记为，，，
抽取的人数为：（人），记为，，
则5人中抽取2人的基本事件包含：
、，共10种，
其中至少1人在的基本事件包含：
，共有7种.
∴这两人中至少1人的年龄在中的概率为.
19. 将长方体沿截面截去一个三棱锥后剩下的几何体如图所示，其中，，分别是，的中点.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】(1)作出辅助线，得到四边形为平行四边形，进而得到线线平行，得到线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，从而得到线面角的正弦值.
【小问1详解】
连接，如图所示，

∵长方形中，，分别是，的中点，
∴且，
∴四边形为平行四边形，
∴且，
又∵长方体中且，
∴且，
∴四边形为平行四边形，得.
又∵平面，平面，
∴平面
【小问2详解】
以点为原点，，所在直线为轴，轴，以点为垂足，
垂直于平面直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，
则，，，，
∴，，
设平面的一个法向量为，
则有，
令，则，，即，
设为直线与平面所成角，，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20. 如图，已知圆，点.
（1）求圆心在直线上，经过点且与圆相外切的圆的方程；
（2）若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到圆的圆心坐标为，设圆的圆心坐标为，结合,列出方程，求得解得，进而得到圆的方程；
（2）根据题意，得到点到直线的距离为，分直线的斜率不存在和直线的斜率存在，两种情况，结合点到直线的距离公式，列出方程，求得的值，进而求得直线的方程.
【小问1详解】
解：由，化为标准方程得
所以圆的圆心坐标为，
又因为圆的圆心在直线上，所以当两圆外切时，切点为，
设圆的圆心坐标为，因为在圆上，可得，
则有
解得，所以圆的圆心坐标为，半径，
故圆的方程为.
【小问2详解】
解：因为圆弧恰为圆周长的，
根据圆的性质，可得，所以点到直线的距离为，
①当直线的斜率不存在时，点到轴的距离为，直线即为轴，
此时直线的方程为.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.
可得，即，解得，
所以直线的方程，即，
故所求直线的方程为或.
21. 过椭圆内一点引一条弦，使该弦被点平分.
（1）求该弦所在的直线方程；
（2）求该弦的弦长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设过点的弦与椭圆相交于，两点，利用点差法，结合中点坐标公式，即可求得答案；
（2）联立直线和椭圆方程，求得交点坐标，即可求得弦长.
【小问1详解】
设过点的弦与椭圆相交于，两点，
∵为的中点，
∴，
又∵，两点在椭圆上，
∴，，
两式相减得，
即
由题意当时，不能平分该弦，因此，
故直线AB的斜率为，
∴该弦所在的直线方程为，即；
【小问2详解】
联立直线与椭圆方程得，得，
解得或1，不妨取，，则或，
即，，
∴.
22. 已知椭圆右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（，异于点），当直线与轴垂直时，.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，再由当直线与轴垂直时，得到，代入椭圆的方程，求得，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为，联立方程组，得到，，得到的面积为，结合对勾函数的单调性，即可求解.
【小问1详解】
解：由椭圆的右顶点，可得，
当直线与轴垂直时，且，
所以直线过点，可得，解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
解：依题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，
联立方程组，整理得，且
所以，，
∴的面积为
，
令，则
又由对勾函数在上单调递增，则，
所以，从而，当且仅当时取等号，
故面积的取值范围为.
【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围；
（3）涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.