四川省德阳市2025届高三第三次诊断考试数学试卷（解析版）

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1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
故.
故选：A
2. 已知命题；命题，则（ ）
A. 和均为真命题B. 和均为真命题
C. 和均真命题D. 和均为真命题
【答案】B
【解析】当时，，故命题为假命题，为真命题；
当时，，故命题为真命题，为假命题，
故和均为真命题.
故选：B
3. 已知向量，满足，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以，
因为，所以，从而.
故选：D.
4. 已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，若是奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意知，
因为是奇函数，则，所以，
因为，所以.
故选：C
5. 下列结论不正确的是（ ）
A. 两个变量的线性相关系数反映了两个变量线性相关程度的强弱，且越大，线性相关性越强
B. 若两个变量的线性相关系数，则之间不具有线性相关性
C. 由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数不一定能确切地反映变量之间的相关关系.
D. 在一组样本数据的散点图中，若所有的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为0.8
【答案】D
【解析】对于A，线性相关系数反映了两个变量线性相关程度的强弱，且越大，线性相关性越强，A正确；
对于B，变量的线性相关系数，则之间不具有线性相关性，B正确；
对于C，成对样本数据的样本相关系数反映变量间相关性强弱，不一定能确切地反映变量之间的相关关系，C正确；
对于D，样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为1，D错误.
故选：D
6. 若数列是等差数列，其前项和为，若，且，则等于（ ）
A. 31B. 32C. 33D. 34
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，
则解得： ，
所以，
故选：B.
7. 六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则的值为（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】C
【解析】如图正八面体，连接和交于点，
因为，，所以，，
又平面，平面，，
所以平面，
设正八面体的外接球的半径为，内切球半径为，
假设正八面体的棱长为，
则，，，
，，
因，则，且为正八面体的中心，
则点到平面的距离为内切球半径，
因为，即，
即，所以，
所以.
故选：C.
8. 已知复数，若，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题设，则，所以，
而，当且仅当时取等号，则，
所以.
故选：A
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 被轴截得的线段长为
B. 是上的单调函数的充要条件是
C. 若在处取得极大值，则
D. 不可能为偶函数
【答案】BD
【解析】对于A：令有，或，所以被轴截得的线段长为，故A错误；
对于B：，当时，，所以是上的增函数，
若是增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，
所以，即，故B正确；
对于C：若在处取得极大值，则，即或，
当时，，令有或，
由有或，由有，
所以在单调递减，在单调递增，
所以的极小值为，故C错误；
对于D：，由得，
即，所以函数不可能为偶函数，故D正确；
故选：BD.
10. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，的值域为
B. 当时，
C. 的最小值依次成等比数列
D. 值域是值域的子集
【答案】ABC
【解析】选项:
当时，的值域为，
，
当时，（最大值），
当时，（最小值），
因此值域为.故正确.
选项:当时，，
，
，
，
，
，
因为，且.
的值域是，因此，.故B正确.
选项C:，
当或，此时（最大值），
当，即，.
在处，函数的单调性分析表明这是最小值点.
用函数单调性分析，当，，函数单调递减.
当，，函数单调递增.
因此是极小值点..
对，最小值依次为，，，
因此，最小值为，这是一个首项为1，公比为等比数列.故C正确.
选项D:，，值域为.
，值域为.
,的最小值为，最大值仍为，因此值域为，
的值域是值域的子集，
但是的值域不是值域的子集，
（因为可以取到，而不能）.故D错误.
故选:ABC
11. 给定椭圆上有一动点（不在坐标轴上），分别是椭圆的左右焦点，的内切圆与分别切于两点，则（ ）
A. 若，则椭圆的离心率为
B. 动点的轨迹是一个椭圆
C. 直线的斜率之积为常数
D. 内切圆的面积无最大值也无最小值
【答案】ACD
【解析】若是内切圆与轴的切点，，，，，
又，则，即，
所以离心率，A对；

若为延长线与轴的交点，，且，则，故，
由角平分线性质可得，则，
所以，则，
又，则，故，
所以，故，则且，
所以动点的轨迹是一个不含轴交点的椭圆曲线，不是完整椭圆轨迹，B错；

由上分析，，，则为定值，C对；
由图，由于不在坐标轴上，而内切圆的半径在靠近轴时趋向于0，靠近轴时趋向于，
即内切圆的半径，故其面积不存在最值，D对.
故选：ACD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则其离心率为__________.
【答案】
【解析】的渐近线方程为，
故，故离心率为.
故答案为：
13. 德阳市去年完工的华强沟水库是坝斜面与水平面所成的二面角为，堤坝斜面上有一条直道与堤脚的水平线的夹角为，小李同学沿这条直道从处向上行走到10米时，小李升高了__________米.
【答案】
【解析】取上一点，设米，过点作直线所在的水平面的垂线，垂足为，则线段的长就是所求的高度，
在河堤斜面内，作，垂足为，连接，由三垂线定理的逆定理有，
所以就是河堤斜面与水平面所成的二面角的平面角，即，
所以，
故答案为：.
14. 根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅皆为阴数”意为九官格中5位于居中位置，四个顶角填偶数，其余位置填奇数（用完1到9九个数字）.按洛书的填写方法，记事件“满足图案中每行、每列及对角线上的三个数字和都相等，且”，则__________.
【答案】
【解析】九宫格的中间填5，①③⑤⑦位置填偶数，②④⑥⑧位置填奇数，故总的情况共有种情况，
要使每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于，则和为15，
所以①⑤、③⑦位置填或；满足，则③处填的数字不大于6，故符合条件的情况有以下类型：


因此，符合条件的有6种情况，故概率为.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤.
15. 体育运动是强身健体的重要途径，《中国儿童青少年体育健康促进行动方案（2020-2030）》（下面简称“体育健康促进行动方案”）中明确提出青少年学生每天在校内参与不少于60分钟的中高强度身体活动的要求.随着“体育健康促进行动方案”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善.某中学教师为了了解体育运动对学生的数学成绩的影响情况，现从该中学高三年级的一次月考中随机抽取1000名学生，调查他们平均每天的体育运动情况以及本次月考的数学成绩情况，得到下表数据：
约定：平均每天进行体育运动的时间不少于60分钟的为“运动达标”，数学成绩排在年级前以内（含）的为“数学成绩达标”.
（1）求该中学高三年级本次月考数学成绩的分位数；
（2）请估计该中学高三年级本次月考数学成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）请根据已知数据完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“数学成绩达标”是否与“运动达标”相关；
附：
解：（1）每组的频率依次为，
∵，且，
高三年级本次月考数学成绩的分位数位于，且为的中点100，
该中学高三年级本次月考数学成绩的分位数100；
（2）该中学高三年级本次月考数学成绩的平均分
估计该中学高三年级本次月考数学成绩的平均分91.50.
（3）表格补全如下：
零假设为：“数学成绩达标”与“运动达标”无关，
∴零假设不成立，根据独立性检验可得：在犯错概率不大于的前提下认为“数学成绩达标”与“运动达标”相关.
16. 如图，四边形是矩形，平面，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若平面与棱交于点，求平面与平面所成角的正弦值.
（1）证明：因为，平面，平面，
所以平面，
因为四边形是矩形，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，平面，
所以平面平面ABE；
（2）解：平面，平面，
所以，故两两垂直，
故以A为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
，，.
由（1）平面平面ABE，由面面平行的性质可得，
设，
则，
由得，
解得，即的坐标为，
设平面的法向量，
，，
则，
令，则，故，
设平面的法向量，
，，
则，
令，则，故，
所以，
故平面与平面所成角的正弦值为.
17. 在中，角所对的边分别为，已知的面积为.
（1）若，求；
（2）求的取值范围.
解：（1）由的面积为，得，
则由余弦定理得，，得，
则由正弦定理得，，所以.
（2）由题意知，，即，
又由，可得，
故，
因，则，
因，则，
当，即时，有最大值；
又（当且仅当时，即时取等号），
故的取值范围为.
18. 过作直线交抛物线于两点，已知，抛物线在点处的切线为，过点作平行于的直线，设直线与抛物线另一交点为，线段的中点为.
（1）求直线的斜率；
（2）设直线的方向向量为，计算的值；
（3）求面积的最小值.
解：（1）由题意可知：直线的斜率可能不存在，但不为0，设为，
联立方程，消去x得，
则，即，抛物线方程为，
设，切线，
联立方程，消去x可得，
则，可得，
所以直线的斜率.
（2）由（1）可知：，的方程为，
设，
联立方程，消去x可得，
则，可得，
则，即，
可得，即，
则可取，则，可得，
则
，
所以
（3）由（2）知的纵坐标相等，故为面积的2倍，
因为的面积为
，
当且仅当时取得等号.
所以面积的最小值为16.
19. 已知函数，若存在实数使得对，都有成立则称函数为“函数”.
（1）是否为“函数”？说明理由；
（2）已知，若为“函数”，请确定实数的值，使得是以2为周期的周期函数；
（3）已知为“函数”，记，若在上单调递减，且，求的最小值，并求的值.
解：（1）若为“函数”，则成立，
即
整理得：恒成立.
所以得.
即是“函数”
（2）要使得是以2为周期的周期函数.
即：恒成立.
依题意成立，
故
所以
即
因为，故
所以只要.
即时，是以2为周期的周期函数
（3）因为为“函数”，且，
由（2）知是以2为周期的周期函数，
且.由知
所以
可知：，得.
即成首项为1，公差为的等差数列；
同理成首项为2，公差为1的等差数列
故
因为，在上单调递减，
故，即在上恒成立.
故只要，所以的最小值
所以.
5
数学
成绩（分）
人数（人）
25
125
350
300
150
50
运动达标
的人数（人）
10
45
145
200
107
43
数学成绩达标人数
数学成绩不达标人数
合计
运动达标人数
运动不达标人数
合计
数学成绩达标人数
数学成绩不达标人数
合计
运动达标人数
350
200
550
运动不达标人数
150
300
450
合计
500
500
1000