四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试卷（解析版）

这是一份四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了 记为等差数列的前项和，若，则， 已知点M，N是抛物线， 下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
第I卷（选择题 58分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若直线过点，，则此直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】已知直线过点，，
设直线的倾斜角为，则，
又，，
．
故选：C．
2. 已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由已知圆的标准方程为，圆心是，半径是．
故选：A．
3. 记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A. 20B. 16C. 14D. 12
【答案】D
【解析】∵是等差数列，
∴，，所以，
∴公差，
∴，
∴，
故选：D．
4. 已知双曲线C经过点，离心率为，则C的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为双曲线C经过点，
所以双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为.
因为双曲线经过点，
所以，解得．
又因为，
所以，
则，
所以双曲线的标准方程为．
故选：C.
5. 将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ）
A. 3B. 6C. 10D. 15
【答案】B
【解析】依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有种方法，放入两个盒子有种方法，
所以不同放法的种数为.
故选：B
6. 衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，
事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则，
又，则，
即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为．
故选：D．
7. 已知点M，N是抛物线：和动圆C：的两个公共点，点F是的焦点，当MN是圆C的直径时，直线MN的斜率为2，则当变化时，的最小值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】圆C：的圆心，
当MN是圆C的直径时，直线MN的斜率为2，
设直线的方程为，化简为：，
，消去可得：，
设，，所以，
因为是MN的中点，
所以，解得：，
故，，由抛物线的定义可知，过点作交于点，
过点作交于点，
所以，所以，
当三点在一条直线时取等.
故选：B.

8.已知,且,则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因函数的定义域为R，
且
，
所以函数为偶函数；
当时，因单调递增，而在定义域内也为增，
故由同增异减原则，也为增，
也为增，又因在上为增函数，
故在上为增函数.
又因，
由，
因，故，
由在上为增函数可得:，即.
故选：D.
二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（ ）
A. B. 只有第4项的二项式系数最大
C. 各项系数之和为1D. 的系数为560
【答案】AD
【解析】对于A：由题意可知：各项的二项式系数之和为，解得，故A正确；
可得，
对于B：因为，则第4项和第5项的二项式系数最大，故B错误；
对于C：令，可得各项系数之和为，故C错误；
对于D：因为二项展开式的通项为，
令，解得，
所以的系数为，故D正确；
故选：AD.
10. 下列说法中正确的是（ ）
附：独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值
A. 已知离散型随机变量，则
B. 一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158
C 若，则事件与相互独立
D. 根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据的独立性检验可得：变量与独立，这个结论错误的概率不超过0.05
【答案】BC
【解析】对于A：根据二项分布的方差公式，可得，
∴，∴A错误；
对于B：，根据百分位数的定义，
这组数据的第75百分位数为第8个数158，∴B正确；
对于C：∵，∴，∴，
根据事件独立性的定义可知，事件与相互独立，∴C正确；
对于D：根据的值以及常用的概率值与相应临界值可知，
依据的独立性检验，可得变量与相互独立，
即认为变量与不相互独立，犯错误的概率大于0.05小于0.1，∴D错误．
故选：BC
11. 将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，则（ ）
A. 该几何体表面积为
B. 该几何体的体积为
C. 过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直
D. 直线平面
【答案】AC
【解析】对于A，，所以表面积为，故A对；
对于B，如图所示：
设点在平面内的投影为，为的中点，
则由对称性可知为三角形的重心，
所以，又因为，
所以正三棱锥的高为，
所以题图所示几何体的体积为，故B错；
对于C，由B选项可知面，由对称性可知三点共线，
所以面，而面，
所以面面，故C正确；
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系：
其中轴平行，
因为，
所以
，
设平面的法向量为，所以，
不妨取，解得，所以取，
又，
而，所以直线与平面不平行，故D错.
故选：AC.
第二卷非选择题（92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）
12. 数列满足且，则数列的通项公式是__________．
【答案】
【解析】设，则，
又因为，所以，则，
所以，
因为，所以，
所以为常数，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以.
故答案为：
13. 过点与曲线相切的直线方程为______．
【答案】
【解析】设切点坐标为，，.
则切线方程为，因为在切线上，
所以，即
又，所以，
令，，当时，，
所以在上单调递增，
所以方程只有唯一解为.
即切点坐标为，故所求切线方程为，即.
故答案为：
14. 已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】根据题意画出图象如下图所示：

利用椭圆定义可知，且；
又，利用余弦定理可知：
，
化简可得；
所以的面积为；
设的外接圆半径为，内切圆半径为；
由正弦定理可得，可得；
易知的周长为，
利用等面积法可知，
解得；
又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，
即，
所以，即可得，
所以；
离心率.
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，我市精品水果店大街小巷遍地开花，其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口，风味较好，广受消费者的喜爱.在某水果店，某种猕猴桃整盒出售，每盒20个.已知各盒含0，1个烂果的概率分别为0.8，0.2.
（1）顾客甲任取一盒，随机检查其中4个猕猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒猕猴桃，否则不会购买此种猕猴桃.求甲购买一盒猕猴桃的概率；
（2）顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当中有烂果，则隔一周再网购一盒；以此类推，求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率
解：（1）由题意可得：甲不购买一盒猕猴桃情况为该盒有1个烂果且随机检查其中4个时抽到这个烂果，
甲购买一盒猕猴桃的概率.
（2）用“√”表示购买，“╳”表示不购买，乙第5周购买有如下可能：
故乙第5周网购一盒猕猴桃的概率.
16. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
解：（1）[方法一]：几何法
因为，所以．
又因为，，所以平面．
又因为，构造正方体，如图所示，
过E作的平行线分别与交于其中点，连接，
因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，
易证，则．
又因为，所以．
又因，所以平面．
又因为平面，所以．
[方法二] 【最优解】：向量法
因为三棱柱是直三棱柱，底面，
，，，又，平面．
所以两两垂直．
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．
，．
由题设（）．
因为，
所以，所以．
[方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以．
（2）[方法一]【最优解】：向量法
设平面的法向量为，
因为，
所以，即．
令，则
因为平面的法向量为，
设平面与平面的二面角的平面角为，
则．
当时，取最小值为，此时取最大值为．
所以，此时．
[方法二] ：几何法
如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面．
作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角．
设，过作交于点G．
由得．
又，即，所以．
又，即，所以．
所以．
则，
所以，当时，．
[方法三]：投影法
如图，联结，
在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则．
设，在中，．
在中，，过D作的平行线交于点Q．
在中，．
在中，由余弦定理得，，，
，，
当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为．
17. 已知数列的通项公式为,在与中插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，
（1）求的通项公式及；
（2）设，为数列的前项和，求.
解：（1）因为在，之间插入项，使这个数成公差为的等差数列，
所以，
所以.
（2）易知，
所以，
两式相减得
，
所以.
18. 已知函数.
(1)当时，求曲线的单调减区间；
(2)若有两个极值点，且，，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：(1)，
令得，，由得.
所以，的单调减区间为.
(2)，∵有两个极值点，且，
∴是方程的两正根，则，，
不等式恒成立，即恒成立，
∴
，
由，，得，∴，
令，，
令，，h(x)在上递增，
则有，即，
∴在上是减函数，
∴，故.
19. 已知椭圆的离心率为，左、右两个顶点分别为A，B，直线与直线的交点为D，且△ABD的面积为.
（1）求C的方程；
（2）设过C的右焦点F的直线，的斜率分别为，，且，直线交C于M，N两点，交C于G，H两点，线段MN，GH的中点分别为R，S，直线RS与C交于P，Q两点，记△PQA与△PQB的面积分别为，，证明：为定值.
解：（1）由题意离心率为，所以①
由，知
由△ABD的面积为，得，得.②
由①②解得.所以C的标准方程为.
（2）由题意知，，，
联立方程消去y得，
设，，则，所以，
代入直线的方程，所以，
同理得
①当直线PQ的斜率存在时，设直线，
将点R，S的坐标代入，得
易知，为方程的两个根，
则，得，
所以直线，所以直线PQ过定点.
②当直线PQ的斜率不存在时，由对称性可知，
因为不妨设，，所以
即直线，满足过定点.
因为的面积为，的面积为，
所以，为定值.
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
第1周
第2周
第3周
第4周
第5周
√
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