四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试卷（Word版附解析），共25页。试卷主要包含了 已知，，，若，则， 已知复数z，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
第I卷（选择题 58分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设全集，集合，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知第二象限角,
A B. C. D.
3. 在平行四边形中，为边的中点，记，，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 如果函数的一个零点是，那么可以是（ ）
A. B. C. D.
5. 在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知复数z，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则z为实数B. 若，则
C. 若，则的最大值为2D. 若，则z为纯虚数
10. 已知a，b，c满足，且，则下列选项中恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图，在中，，，，过中点的直线与线段交于点．将沿直线翻折至，且点在平面内的射影在线段上，连接交于点，是直线上异于的任意一点，则（ ）

A.
B.
C. 点的轨迹的长度为
D. 直线与平面所成角的余弦值的最小值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）
12. 一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为，腰和上底长均为的等腰梯形，则原平面图形的面积为___________.
13. 已知，则______．
14. 已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为_________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知，，与的夹角为．
（1）求；
（2）当为何值时，．
16. 已知.
（1）化简；
（2）已知，求值.
17. 已知函数的一段图象过点，如图所示．
（1）求函数的表达式；
（2）将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域；
（3）若，求的值.
18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
（1）设函数，试求的伴随向量的坐标；
（2）记向量的伴随函数为，当且时，求的值；
（3）设向量，的伴随函数为，的伴随函数为，记函数，求在上的最大值.2024年春期高2023级高一期末考试
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
第I卷（选择题 58分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意，，所以,
所以
故选：D.
2. 已知是第二象限角,
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】csα＝±＝±，又∵α是第二象限角，∴csα＝－.
3. 在平行四边形中，为边的中点，记，，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的线性运算法则，求得，结合，即可求解.
【详解】如图所示，可得，
所以.
故选：D．
4. 如果函数的一个零点是，那么可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】由题意令，解方程即可得解.
【详解】由题意，解得，对比选项可知只有，符合题意.
故选：D.
5. 在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正余弦定理及面积公式化简计算即可.
【详解】由余弦定理可得：
由条件及正弦定理可得：
，
所以，则．
故选：A
6. 已知，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用以及倍角公式求出，进而根据可得，再代入计算即可.
【详解】，，，
,
解得或，又，
则，，
故选：B.
7. 如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、，长方体的外接球即为四面体的外接球，而长方体外接球的直径即为其体对角线，求出外接球的直径，即可求出外接球的表面积.
【详解】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、，
四面体的外接球即为长方体的外接球，
而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为，
故，所以外接球表面积为.
故选：B.
8. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.
【详解】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，
则：
，则
当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，
则：
，
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知复数z，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则z为实数B. 若，则
C. 若，则的最大值为2D. 若，则z为纯虚数
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意，由复数的运算以及其几何意义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】设，则，
若，即，即，则z为实数，故A正确；
若，即，
化简可得，即，即，
当时，，，此时不一定满足，
当时，，，此时不一定满足，故B错误；
若，即，
所以，即表示以为圆心，以为半径的圆上的点，
且表示圆上的点到原点的距离，所以的最大值为2，故C正确；
若，即，
，即，
化简可得，则且，
此时可能为实数也可能为纯虚数，故D错误；
故选：AC
10. 已知a，b，c满足，且，则下列选项中恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题干条件可得到，b与0的大小关系不确定，进而可得到选项ABC均正确，D选项不确定.
【详解】∵，且，∴，而b与0的大小关系不确定，
∴，，均恒成立，
而与的大小关系不确定.
故选：ABC.
11. 如图，在中，，，，过中点的直线与线段交于点．将沿直线翻折至，且点在平面内的射影在线段上，连接交于点，是直线上异于的任意一点，则（ ）

A.
B.
C. 点的轨迹的长度为
D. 直线与平面所成角的余弦值的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A、B选项结合线面角最小，二面角最大可判断;对于C，先由旋转，易判断出，故其轨迹为圆弧，即可求解.对于D求直线与平面所成角的余弦值，即求，，用表示，再结合三角恒等变换求出函数的最值即可
【详解】
依题意，将沿直线翻折至，连接,由翻折性质可知，关于所沿轴对称的两点连线被该轴垂直平分，
故，又在平面内的射影在线段上，
所以平面，平面，所以，
，平面，平面
所以平面.
平面，平面，平面，
，
，且即为二面角的平面角
对于A选项，由题意可知，为与平面所成的线面角，故由线面角最小可知，故A错误；
对于B选项， 即为二面角的平面角，故由二面角最大可知，故B正确；
对于C选项， 恒成立，故的轨迹为以为直径的圆弧夹在内的部分，易知其长度为，故C正确；
对于D选项，如下图所示

设，
中，，，
在中，，，
所以，设直线与平面所成角为，
则
，
当且仅当时取等号，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）
12. 一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为，腰和上底长均为的等腰梯形，则原平面图形的面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】计算出梯形的下底的长，作出原图形，确定原图中梯形的上、下底的长以及梯形的高，利用梯形的面积公式可求得结果.
【详解】在直观图等腰梯形，，且，如下图所示：
分别过点、作，，垂足分别为点、，
由题意可知，
所以，，同理可得，
因为，，，则四边形为矩形，
所以，，故，
将直观图还原为原图形如下图所示：
由题意可知，梯形为直角梯形，，，，
，，
因此，梯形的面积为.
故答案为：.
13. 已知，则______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】首先根据诱导公式求出，再利用同角三角函数关系式求出的值，从而可求出的值.
【详解】因为，所以，所以或，
当时，，；
当时，，.
故答案为：或.
14. 已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为_________．
【答案】
【解析】
【详解】，向左平移个单位长度后得到的图象，则 ，，，，则在上的值域为.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知，，与的夹角为．
（1）求；
（2）当为何值时，．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值；
（2）由已知可得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得实数的值.
【小问1详解】
解：因为，，与的夹角为，
则，
所以，.
【小问2详解】
解：因为，则
，解得.
16. 已知.
（1）化简；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；
（2）3.
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的诱导公式化简即得；
（2）根据同角关系式结合条件即得.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
因为，所以，
∴.
17. 已知函数的一段图象过点，如图所示．
（1）求函数的表达式；
（2）将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域；
（3）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）通过三个连续零点的值可以求出函数的周期，根据最小正周期公式可以求出的值，将特殊点代入解析式中，可以求出，的值，进而确定函数解析式；
（2）根据正弦型函数的图象变换特点可以求出的解析式，由 可求出，进而得到的值域；
（3）根据可求出，由此求出，进而得到的值.
【小问1详解】
由图知，，则.
由图可得，在处最大值，
又因为图象经过，故，
所以，故，
又因为，所以，
函数又经过，故，得.
所以函数的表达式为．
【小问2详解】
由题意得，，
因为，所以，
则，所以，
所以在区间上的值域为.
【小问3详解】
因为，
所以，即，
又因为，所以，
由，所以.
所以，
所以.
18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】
【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；
(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.
【详解】（1）因为，O是中点，所以，
因为平面，平面平面，
且平面平面，所以平面．
因为平面，所以.
（2）[方法一]：通性通法—坐标法
如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
则，设,
所以，
设为平面的法向量，
则由可求得平面的一个法向量为．
又平面的一个法向量为，
所以，解得．
又点C到平面的距离为，所以，
所以三棱锥的体积为．
[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角
如图所示，作，垂足为点G．
作，垂足为点F，连结，则．
因为平面，所以平面，
为二面角的平面角．
因为，所以．
由已知得，故．
又，所以．
因为，
．
[方法三]：三面角公式
考虑三面角，记为，为，，
记二面角为．据题意，得．
对使用三面角的余弦公式，可得，
化简可得．①
使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②
将①②两式平方后相加，可得，
由此得，从而可得．
如图可知，即有，
根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，
结合的正切值，
可得从而可得三棱锥的体积为．
【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；
方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.
方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.
19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
（1）设函数，试求的伴随向量的坐标；
（2）记向量的伴随函数为，当且时，求的值；
（3）设向量，的伴随函数为，的伴随函数为，记函数，求在上的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）化简的解析式，从而求得伴随向量；
（2）先求得，由求得，进而求得，从而求得；
（3）先求得，然后根据三角函数的值域与二次函数最值分类讨论求解即可.
【小问1详解】
解：
，
所以.
【小问2详解】
解：依题意，
由得，
因为，
所以，
所以.
【小问3详解】
解：由题知，，
所以
因为，，
所以，，
令，
所以，问题转化为函数的最值问题.
因为函数的对称轴为，
所以，当，即时，的最大值在处取得，为；
当，即时，的最大值在处取得，为；
当，即时，的最大值在处取得，为；
综上，在上的最大值为.
【点睛】方法点睛：求解新定义函数有关的问题，关键点在于理解新的定义，解题过程中，要将“新”问题，转化为所学的知识来进行求解，体现了化归与转化的数学思想方法.