山东省临沂市莒南县2024-2025学年高一上学期阶段性学业质量检测数学试卷（解析版）

这是一份山东省临沂市莒南县2024-2025学年高一上学期阶段性学业质量检测数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题本题每小题5分共40分）
1. 下列函数图象中，可以表示非奇非偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A:函数图象关于y轴对称，函数为偶函数，A选项错误；
对于B:函数图象关于原点对称，函数为奇函数，B选项错误；
对于C:函数图象关于原点对称，函数为奇函数，C选项错误；
对于D:函数图象既不关于y轴对称也不关于原点对称，函数是非奇非偶函数，D选项正确.
故选：D
2. 是的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充要条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时，可得一定成立，所以充分性成立；
反之：当时，不一定成立，所以必要性不成立，
所以是的充分不必要条件.
故选：C.
3. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为集合，则
所以图中阴影部分表示的集合是或，
故选: A.
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，，则
【答案】B
【解析】A.，其中，，，，
所以，即，故A错误；
B.若，若，则，则，若，则，则，故B正确；
C.若，则，且，所以，故C错误；
D.若，则，，所以，故D错误.
故选：B
5. 函数的最小值及取得最小值时的值为（ ）
A. 当时最小值为B. 当时最小值为
C. 当时最小值为D. 当时最小值为
【答案】D
【解析】化简函数,
因为，根据基本不等式则.
所以.
当且仅当时取等号，解方程，得到，解得.
故函数的最小值为，取得最小值时的值为.
故选：D.
6. 已知为奇函数，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】因为为奇函数，
所以，
即，所以.
故选：A
7. 若函数的定义域为，值域为则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由的定义域为，
对称轴,
当时，在单调递减，则，，
而函数的值域为，则，解得，故，
当时，在单调递减，在单调递增，
则，，
，故，解得，
故，
综上所述，的取值范围为，
故选：A
8. 如图所示的“大方图”称为“赵爽弦图”，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》"勾股网方图"作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中．他用数学符号语言将其表示为"若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c（a、b、c均为正数）．则，．某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（ ）
A. 24B. 30C. 32D. 36
【答案】C
【解析】由题可知，，，
则，即，所以，当且仅当时，等号成立，
又“赵爽弦图”的面积为，
所以当时，“赵爽弦图”的最小面积为.
故选：C
二、多选题（本题本题每小题6分共18分）
9. 已知函数，则（ ）
A. 的定义域为B. 的值域为
C. 为增函数D. 的图象关于坐标原点对称
【答案】ABD
【解析】对于选项A：对于分段函数，当， 时有意义，所以的定义域为，选项A正确.
对于选项B：当时，的值域为，因为，随着增大而增大，当趋近于时，趋近于.
当时，的值域为，因为，随着增大而增大，当趋近于时，趋近于. 综合起来，的值域为，选项B正确.
对于选项C：当时，是单调递增的. 当时，是单调递增的.
但是在处不连续，例如取，，，，当时，，并不满足对于任意的都有，所以不是增函数，选项C错误.
对于选项D：对于奇函数，有.
当时，，，.
当时，，，.
所以是奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项D正确.
故选：ABD
10. 下列四个结论中正确的是（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 若“，”为假命题，则
C. 设，，则“”的充分不必要条件是“”
D. {是无理数}，是无理数
【答案】AD
【解析】A.根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可知A正确；
B.由题意可知，命题“”为真命题，即，
即，故B错误；
C.，不能推出，例如，，反过来，也不能推出，
例如，，是的既不充分也不必要条件，故C错误；
D.是无理数，也是无理数，故D正确.
故选：AD
11. 对任意，记，并称为集合A，B的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的是（ ）
A. 若且，则
B. 若且，则
C. 若且，则
D. 存在，使得
【答案】AB
【解析】A选项，且，则，
故，且中元素不能出现在中，故，A正确；
B选项，且，则，
即与是相同，所以，B正确；
C选项，因为，所以，故，C错误；
D选项，，
其中，，
故，
而，
故，D错误.
故选：AB
三、填空题（本题每小题5分，共15分）
12. 若集合，，则_________．
【答案】
【解析】，得或，即
，解得：，即，
所以.
故答案为：
13. 已知定义在上的偶函数满足当时，则_________．
【答案】2
【解析】因为是偶函数，所以.
当时，由于，根据，可得.
因为，所以.
又因为是偶函数，所以.
当时，由于，根据分段函数，
可得. 所以.
故答案为：2.
14. 已知，若恒成立，写出符合条件的正整数_________.（写出一个即可）
【答案】1（，，，任一个都行，答案不唯一）.
【解析】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立
所以的最小值是，
因为恒成立，所以，，
又因为是正整数，所以，，.
故答案为：1（，，，任一个都行，答案不唯一）.
四、解答题（本题共77分）
15. 已知幂函数为奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围.
解：（1）由题意，幂函数，
可得，即，解得或，
当时，函数为奇函数，
当时，为非奇非偶函数，
因为为奇函数，所以.
（2）由（1）知，可得在上为增函数，
因为，所以，解得，
所以的取值范围为.
16. 已知集合，.
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围.
解：（1），，
，
故，解得，
此时，满足，
故
（2）“”是“”的充分条件，故为的子集，
若，此时，解得，
若，此时，解得，
综上，实数a的取值范围是.
17. 已知函数.
（1）判断在区间上的单调性，并用定义证明；
（2）判断的奇偶性，并求在区间上的值域.
解：（1）在区间上单调递增，证明如下：
，，且，
有.
因为，，且，所以，.
于是，即.
故在区间上单调递增.
（2）的定义域为.
因为，所以为奇函数.
由（1）得在区间上单调递增，
结合奇偶性可得在区间上单调递增.
又因为，，所以在区间上的值域为.
18. 某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示，要求每个矩形用地的面积为且需用篱笆围住，菜园间留有一个十字形过道，纵向部分路宽为，横向部分路宽为.
（1）当矩形用地的长和宽分别为多少时，所用篱笆最短？此时该菜园的总面积为多少？
（2）为节省土地，使菜园的总面积最小，此时矩形用地的长和宽分别为多少？
解：（1）设矩形用地平行于横向过道的一边长度为，
则所需篱笆的长度为，又，
当且仅当时，等号成立，所以当矩形用地的长和宽均为时，所用篱笆最短，
此时该菜园的总面积为；
（2）设矩形用地平行于横向过道一边长度为，菜园的总面积为，
则，
当且仅当即时，等号成立，
此时另一边为，
即矩形的长和宽分别为时，菜园的总面积最小.
19. 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体带入；（4）整体求和等.
例如，，求证.
证明：.
阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究.
例如，正实数，满足，求的最小值.
解：由，得，所以
，
当且仅当，即，时，等号成立.所以的最小值为.
结合阅读材料解答下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）若正实数，满足，求的最小值.
解：（1）因为，
所以
.
（2）由题知，，
，
因为，
所以，
所以，
令，
因为，所以，
因为，当且仅当时取等，
所以，
所以，
所以，
所以，
即的最小值为.