2025-2026学年山东省临沂市莒南县高二上学期期中学业质量检测数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年山东省临沂市莒南县高二上学期期中学业质量检测数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间四边形PABC中，PB−AB−CA=( )
A. APB. PCC. ABD. AC
2.如果直线ax−y−1=0与直线x−ay−a2=0平行，那么a等于( )
A. −1B. 12C. 1D. ±1
3.已知椭圆C:x29+y28=1的两个焦点分别为F,F′，过F′作倾斜角为60°的直线交椭圆C于P,Q两点，则▵PQF的周长为( )
A. 6 2B. 8 2C. 9D. 12
4.在四面体D−ABC中，点G是▵ABC的重心，设DA=a,DB=b,DC=c，则BG=( )
A. 23a+23b+23cB. 13a+13b+13c
C. 13a−23b+13cD. 13a+13b−23c
5.已知圆O1:(x+2)2+y2=4与圆O2:(x−2)2+(y+3)2=8，则两圆( )
A. 内含B. 相切C. 相交D. 外离
6.已知平面α的法向量为m=(2,−x,3)，平面β的法向量为n=(−5,2,4x)，若α⊥β，则x的值为( )
A. −1B. 1C. 2D. −2
7.双曲线x2a2−y2b2=1(a>b>0)两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率e为( )
A. 2B. 2C. 2 33D. 3
8.在空间直角坐标系中，向量a=(2,−1,m),b=(−2,1,−2)，则下列选项中正确的是( )
A. 若|a|=3，则m=0
B. 向量(−1,1,1)是b的一个单位向量
C. 若〈a,b〉为钝角，则m> −52
D. 若a在b上的投影向量为19b，则m=−3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的一个基底的是( )
A. a+b,c,a+b+cB. a+b,a−c,b
C. b,a+b,b−aD. a+2b,2b−3c,3c+a
10.对于直线l:mx+y−2m=0，下列说法中正确的是( )
A. l的倾斜角可以为π2
B. mb>0)的左、右焦点分别为F1,F2，上顶点为B0, 2，离心率为 22,M,N为C上关于原点对称的两点(与C的顶点不重合)，则( )
A. C的方程为x24+y22=1B. 1MF1+4NF1≥94
C. ▵MNF2的面积随周长变大而变大D. 直线BM和BN的斜率乘积为定值−12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线2x+y−1=0与直线4x+2y−7=0平行，则它们之间的距离是 ．
13.在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2),B(0,−1,1)，且平面BCD的一个法向量n=(−1,2,−2)，则直线AB与平面BCD所成角的余弦值为 ．
14.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆．已知直线l:y=a(x−2).若直线l与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点．则a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)已知直线过点P(5,6)，它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求此直线的方程．
(2)求直线l1：3x−2y−6=0关于直线l2：x−y−2=0对称的直线的方程．
(3)求过三点A(4,1)，B(−6,3)，C(3,0)的圆的一般式方程．
16.(本小题15分)
如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且CD=CC1=2,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60∘．
(1)求CA1的长；
(2)求证：CA1⊥平面C1BD．
17.(本小题15分)
已知动点P在直线l:x+y−6=0上，动点Q在圆C:x2+y2−2x−2y−2=0上，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A、B．
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)求|PQ|的最小值及∠APB的最大值；
(3)证明直线AB过定点．
18.(本小题17分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，点P是线段BC上的中点，点E，F是侧棱AA1上的动点．

(1)若A1A=2EF，请证明：PF//平面B1CE；
(2)若AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=3，AF=EF=A1E，求平面B1CE与平面A1B1F的夹角的余弦值．
19.(本小题17分)
定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点(焦点与顶点在同一边)和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中(C₁对应图1，C2对应图2)．
(1)判断椭圆C1:x24+y23=1与椭圆C2:x216+y212=1是否是“相似椭圆”?若是，求出相似比；若不是，请说明理由；
(2)证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；
(3)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0),椭圆C2:x2a′2+y2b′2=1(a′>b′>0)的离心率为e′，C₁与C2是“相似椭圆”，且C1与C2的相似比为k:1，若▵AF2B的面积为S，求▵A′F1′F2′的面积(用e′，k，S表示)．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.C
5.D
6.B
7.C
8.D
9.ACD
10.BD
11.ABD
12. 52/12 5
13. 789
14.−432，
直线l与圆C相离，
(2)点Q在圆C上，则|PQ|min=d−r=2 2−2，
由切线长定理知，∠APB=2∠APC，而sin∠APC=|AC||PC|=2|PC|≤2d= 22，
又∠APC是锐角，正弦函数y=sinx在(0,π2)上单调递增，则∠APC的最大值为π4，
当且仅当PC⊥l时取等号，因此∠APB的最大值为π2．
(3)设P(t,6−t)，则以PC为直径的圆的方程为(x−1)(x−t)+(y−1)(y+t−6)=0，
即x2+y2−(t+1)x+(t−7)y+6=0，
与已知圆的方程相减可得直线的方程为(1−t)x+(t−5)y+8=0，
即(x−5y+8)−t(x−y)=0，由x−5y+8=0x−y=0,
解得x=2y=2，即直线AB过定点(2,2)，

18.(1)如图，取B1C上的中点Q，连接EQ，PQ．
∵Q，P分别是B1C和BC的中点，∴QP//B1B且QP=12B1B．
又∵EF=12A1A=12B1B，∴QP//EF且QP=EF，
∴四边形EQPF是平行四边形，∴EQ//PF．
∵EQ⊂平面B1CE，PF⊄平面B1CE．∴PF//平面B1CE．
(2)由题意得AA1⊥平面ABC且AB⊥AC，
因此以A点为原点，AB，AC，AA1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由题易知，AC⊥平面A1B1F，所以AC=(0,2,0)为平面A1B1F的法向量．
设平面B1CE的法向量为n=(x,y,z)，根据所建立的空间直角坐标系，
可知B1(2,0,3)，C(0,2,0)，E(0,0,2)，
有B1C=(−2,2,−3)，B1E=(−2,0,−1)．
n⋅B1C=0n⋅B1E=0⇒−2x+2y−3z=0,−2x−z=0, 令x=1，则y=−2，z=−2，
即平面B1CE的法向量为n=(1,−2,−2)．
设平面B1CE与平面A1B1F的夹角为θ，
则有csθ=csAC,n=AC⋅nAC⋅n=23．

19.(1)解：这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为12，理由如下：
椭圆C1:x24+y23=1中，
BF2|=2−1=1,|AF2=2,|AB|= 4+3= 7;
椭圆C2:x216+y212=1中，
B′F2′|=4−2=2,|A′F2′|=4,|A′B′= 16+12=2 7,，
则BF2B′F2′=AF2A′F2′=|AB|A′B′=12,
所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似，
则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为12.
(2)证明：必要性：
若两个椭圆是“相似椭圆”，则其焦顶三角形的三个对应角相等．
如图，若∠ABO=∠A′B′O′，
则tan∠ABO=|AO||BO|=ba，
tan∠A′B′O′=A′O′B′O′=b′a′，
所以ba=b′a′，
又因为e=ca= c2a2= a2−b2a2= 1−b2a2,
e′=c′a′= c′2a′2= a′2−b′2a′2= 1−b′2a′2= 1−b2a2，
所以e=e′；
充分性：
若离心率相等，则ca=c′a′，所以ba=b′a′，
则tan∠ABO=|AO||BO|=ba，tan∠A′B′O′=A′O′B′O′=b′a′=ba，
则∠ABO=∠A′B′O′；
同理，tan∠AF2O=|AO|F2O=bc，tan∠A′F2′O′=A′O′F2′O′=b′c′=bc，
则∠AF2O=∠A′F2′O′，
所以∠AF2B=∠A′F2′B′；
所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似，
所以两个椭圆是“相似椭圆”．
故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；
(3)解：设椭圆C₁的半焦距为c，
因为椭圆C2的离心率为e′，椭圆C2与C₁相似，
所以椭圆C₁的离心率也为e′，
若▵AF2B的面积为S，
又S▵AF2F1=12⋅2c⋅b=bc，S=12ab−12ac=12(a−c)b，
所以▵AF2F1的面积与▵AF2B的面积之比为2c:(a−c)，
所以▵AF2F1的面积为2cSa−c.
因为C1与C2的相似比为k:1，
所以▵AF2F1的面积与▵AF′2F1′的面积的比为k2:1，
所以▵AF′2F1′的面积为2cS(a−c)k2=2⋅ca⋅S1−cak2=2e′S1−e′k2.