江苏省徐州市新沂市2024年九年级第二次中考模拟数学试卷（解析版）

这是一份江苏省徐州市新沂市2024年九年级第二次中考模拟数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1. 有理数2024的相反数是（ ）
A. 2024B.
C. D.
【答案】B
【解析】有理数2024的相反数是，
故选：B．
2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形；
D、是中心对称图形而不是轴对称图形；
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．，故该选项错误，
B．，故该选项正确，
C．，故该选项错误，
D．，故该选项错误，
故选：B．
4. 已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、 ，， ，结论正确，该选项不符合题意；
B、 ， ，结论错误，该选项符合题意；
C、 ，， ，结论正确，该选项不符合题意；
D、 ， ，结论正确，该选项不符合题意；
故选：B．
5. 某校组织学生体育锻炼，小明记录了他一周参加锻炼的时间，并绘制了如图所示的统计图．下列数据正确的是（ ）

A. 平均数为70B. 众数为75
C. 中位数为70D. 方差为0
【答案】C
【解析】7个数据按照从小到大排列为：，，，，，，，
中位数是70分钟，选项C符合题意；
67出现的次数最多，为2次，则众数为67分钟，选项B不符合题意；
平均数为（分钟），选项A不符合题意；
方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，所以当方差等于0时，这组7个数据应相同，选项D不符合题意；
故选：C．
6. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是，即．
故选：D．
7. 在菱形中，于点，于点，连结．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵四边形是菱形，∴，
∵于点E，于点F，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
8. 如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（ ）
A. 4B. 8C. D.
【答案】A
【解析】∵和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图：由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动，
∵，
∴当在下方且与相切时，点M到距离最小，面积的最小
∵，
∴四边形是矩形，
∵
∴四边形是正方形，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴．
故选：A．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9. 49的平方根是_____．
【答案】±7
【解析】∵（±7）2=49，
∴49的平方根是±7．
10. 芯片内部有数以亿计的晶体管．某品牌手机自主研发了新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
11. 二次根式有意义，则的取值范围是 ____．
【答案】
【解析】根据题意得：，解得．
故答案为：．
12. 小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是________．
【答案】
【解析】如图，延长交于，
，
．
，
，
故答案为：．
13. 蜂巢是严格的六角柱形体，如图，可从中抽象出正六边形．按图中所示方法，用若干个全等的正六边形排成圆环状，则需要正六边形的个数是________．
【答案】6
【解析】如图所示，
正六边形的外角和为，
它的每一个外角都为，
，
为等边三角形，
，
共需要正六边形的个数为，
故答案为：6．
14. 关于的方程有实数根，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】由题意得，，．
故答案为：．
15. 若圆锥的底面半径为3，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是________．
【答案】9
【解析】设这个圆锥的母线长是，
依题意得：圆锥的底面周长为：，
则展开后扇形的弧长为，
即，
解得：，
这个圆锥的母线长是9．
故答案为：9．
16. 如图，是⊙O的直径，弦交于点，连接，，若，则的度数是________°．
【答案】
【解析】如图所示，连接，
∵，∴，
∵是的直径，∴，∴．
17. 如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，顺次连接点D、O、M．若的面积为4，则k的值为______．
【答案】
【解析】如图，M是矩形的对称中心，延长必过点B，则，
∵的面积为4，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
18. 如图，在长方形中，，，E、F分别是、上的一点，，将沿翻折得到，连接．若是以为腰的等腰三角形，则___．
【答案】或
【解析】设，则，
由翻折得：，当时，，
∵为矩形，
∴∠B＝，
由勾股定理得：，
解得：；
当时，如图，作，
∵，
∴，
∴，
∵沿翻折得到，
∴，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得 ，
综上所述：或．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）；
（2）
.
20. （1）解方程：；
（2）解不等式组： .
解：（1），
，
，
，
检验，，
故原方程的解为：.
（2），
由得，
，
，
解得，
由得，
，
，
解得，
故原不等式的解集为：．
21. 某数学社团以“舌尖上的徐州—我最喜爱的徐州小吃”为主题对所在学校的学生进行随机调查，并给出四种选择（每人只能从中选择且只能选择一种）“A：徐州把子肉”“B：徐州菜煎饼”“C：徐州胡辣汤”“D：八股油条”．该社团将调查得到的数据整理后，绘制成以下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）样本容量为 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中D对应圆心角度数为 ；
（4）若该校共有1300名学生，请估计喜欢“C：徐州胡辣汤”的学生大约有多少人．
解：（1）样本容量为．
（2）选择B的人数有：（人）．
补全的条形统计图如图所示：
（3）扇形统计图中D对应圆心角的度数为：．
（4）人，
答：估计喜欢“C：徐州胡辣汤”的学生大约有520人．
22. 二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．
（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是________．
（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率．
解：（1）共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，
所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是；
（2）用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B．夏至”的有6种，
所以两人都没有抽到“B．夏至”的概率为．
23. 中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？
解：设矩形的宽为x步，则矩形的长为步，
依题意得：，
解得：或（舍去），
，
矩形的宽为24步，则长为36步，
答：宽24步，长36步．
24. 如图，在中，是直径，点在上．在的延长线上取一点，连接，使．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长．
（1）证明：连接，则：，
，
是直径，
，
，
，
，即，
，
是的半径，
直线是的切线；
（2）解：由（1）知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，，
，，．
25. 在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点、、在同一水平线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为，求塔的高度（精确到）．（参考数据：，，，，）．
解：如图，过点作，垂足为，
在中，，，
，，
，
四边形为矩形，
，
设，则，
，
，
，
在中，，
，
解得．
答：塔的高度为．
26. 如图，已知，请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图1的边上作点，使；
（2）在图2的边上作点，使．
解：（1）如图，点P即为所求；
证明：∵，
∴；
（2）如图，点P即为所求．
证明：∵线段的垂直平分线交于点P，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
27. [阅读理解]如图1，在学习三角形的中位线时，我们发现三角形的三条中位线在三角形内部构成一个新的三角形，则其面积与原三角形面积的比是 ．
[探究思考]如图2，已知，，分别是三边的三等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是定值吗？如果是，请求出该数值；如果不是，请说明理由．
[发现结论]如图3，已知，E，分别是三边的等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是 ．
解：阅读理解：
是的中位线，
，
又，，
，即，
同理可证，，
，
；
探究思考:
如图，取中点G，中点H，中点I，连接，，，
，
，，，
，
又，，
，即，
，，
同理可证，，
，
综上可知，与的面积比是定值，定值为；
发现结论：
如图，取G、H、I分别是三边的n等分点，且，
，
，，，
，，
，
，即，
，
，
同理可证，，
，
，
故答案为：．
28. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别交于点O、A，顶点为B，连接．点D在线段上，作射线，过点A作射线，垂足为点E，以点A为旋转中心把按逆时针方向旋转到，连接．

（1）求点A、B的坐标；
（2）随着点D在线段上运动．
①连接，的大小是否发生变化？请说明理由；
②延长交于点P，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）连接，当点F在该抛物线的对称轴上时，的面积为______．
解：（1）令，则，解得，
∴点A的坐标为，
∵，
∴顶点B的坐标为；
（2）①不发生变化，理由如下：
∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，，,
∴,
∴是等边三角形，
∴，
∵以点A为旋转中心把按逆时针方向旋转到，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵射线
∴，
∴不变；
②存在最大值，最大值为4；
以中点为圆心，为半径画圆，

∵，
∴在圆上，
∵，，，，
∴，
∴点为与圆的交点，
∴为圆的一条弦，
∵圆中最长弦是直径
∴最大值为；
（3）当点F在该抛物线的对称轴上时，
∵，
∴，，
∴，
过作于，作的垂直平分线交于，连接

∴，
∴,
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．