2023-2024学年浙江省宁波市慈溪市高二下学期6月期末测试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市慈溪市高二下学期6月期末测试数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U={x∈N|0≤x≤5}，∁UA=0,1,4，则A=( )
A. 2,3,5B. 2,5C. 3,5D. 2,3
2.已知z=a2−3a+2+a−1ia∈R)，若z为纯虚数，则a=( )
A. 1B. 2C. −1或−2D. 1或2
3.已知函数y=fx与y=3x是互为反函数，则( )
A. f19=−1B. f13=−2C. f1=3D. f3=1
4.已知一个袋子中有大小和质地相同的8个球，其中有3个白球(标号为1∼3)，5个红球(标号为4∼8)，现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两次摸到同种颜色球的概率为( )
A. 1328B. 1356C. 1314D. 1732
5.已知三个不同的平面α,β,γ，且α⊥γ，则“β⊥γ”是“α//β”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知向量a，b的夹角为60∘，b=2a，且向量a−λb在向量b上的投影向量为−2b，则实数λ=( )
A. 38B. 27C. 94D. 32
7.若函数fx=−3ax2+4x−1在区间−1,1内恰有一个零点，则实数a的取值范围为( )
A. −53,1B. −53,43C. −53,1∪43D. −23,1∪43
8.在▵ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，▵ABC的面积为S，若2 3S+bccsA=b2+c2，则sinAcsB+csC=( )
A. 33B. 12C. 22D. 32
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若A，B为两个随机事件，且PA>0，PB>0，则( )
A. 当A和B互斥时，PA∪B=PA+PB
B. 当A和B互斥时，PAB=1−PA−PB
C. 当A和B相互独立时，PAB=0
D. 当A和B相互独立时，PAB=PAPB
10.若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0a,b,c∈R的解集为x−2A. a>0B. bc>0C. a+b=0D. a−b+c>0
11.已知复变函数fz是以复数作为自变量和因变量的函数，对任意一个复数z0，由zn+1=fznn∈N可以得到z0，z1，z2，…，zn，….如果存在一个正实数M，使得znA. fz=2zB. fz=11−zC. fz=z3D. fz=z−12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数fx的图象过点2,8，则f−1= ．
13.已知a12−a−12=2，则a2+a−2= ．
14.已知四棱锥P−ABCD的底面是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=3，PB=4，CD=5.若四棱锥P−ABCD内存在内切球(球与四棱锥的各个面均相切)，则BC= ，该内切球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知向量e1，e2是不共线的单位向量，且向量a=xe1−2e2，b=e1−xe2．
(1)若a/​/b，求x的值；
(2)若e1⋅e2=−12，a+b⊥a−b，求b．
16.(本小题12分)
已知函数fx=Acsωx+φA>0,ω>0,0<φ<π的最大值为2，其图象相邻的两条对称轴距离为π2，且图象关于点π6,0对称．
(1)求函数fx的解析式；
(2)若x∈0,2π3，求函数fx的值域．
17.(本小题12分)
为贯彻“阳光体育”计划，促进学生身心素养的提高，某校倡导全校学生积极参与体育运动，并统计学生一周内运动时长，发现时长均在区间2,12之间(单位：小时)．
(1)将全校男生一周内运动时长分为2,4，4,6,6,8，8,10,10,12五组，并绘制如图所示的频率分布直方图(同一组中的数据用该组区间的中点值代表).求该校男生一周运动时长的平均数x和中位数y；
(2)已知高二(1)班男生30人，女生20人，根据数据统计分析，发现该班男生一周内运动时长的平均数为9，方差为2；女生一周内运动时长的平均数为6.5，方差为4.求该班级全体学生一周内运动时长的方差s2．
18.(本小题12分)
如图，平行四边形ABCD中，AB=2BC=4，∠DAB=60∘，E为AB中点，现将▵ADE沿DE折起至▵A′DE，连接A′B，A′C，且A′C=4．
(1)求证：平面A′DE⊥平面BCDE；
(2)已知A′F=λA′C0<λ<1．
(i)若λ=12，求证：BF//平面A′DE；
(ii)若直线DF与平面BCDE所成角的正弦值为 3010，求λ的值．
19.(本小题12分)
已知函数fx=xx+aa∈R．
(1)若函数fx是奇函数，求a的值；
(2)若a<0，记函数fx在2,+∞上的最小值为Ma．
(i)求Ma；
(ii)设函数gx=x2+ax+4a∈R满足：对任意x∈R，均存在x0∈2,+∞，使得gx=fx0，求a的取值范围．
答案解析
1.【答案】A
【解析】【分析】利用集合的补集概念即得．
【详解】依题U={0,1,2,3,4,5}，由∁UA=0,1,4可得，A={2,3,5}．
故选：A．
2.【答案】B
【解析】【分析】根据纯虚数的定义，即可列关系求解．
【详解】z=a2−3a+2+a−1ia∈R为纯虚数，
故a2−3a+2=0且a−1≠0，解得a=2．
故选：B．
3.【答案】D
【解析】【分析】首先得到fx的解析式，再代入计算可得．
【详解】因为函数y=fx与y=3x是互为反函数，
所以fx=lg3x，则f19=lg319=−2，f13=lg313=−1，
f1=lg31=0，f3=lg33=1，即正确的只有D．
故选：D
4.【答案】A
【解析】【分析】根据分步以及分类计数原理，即可根据古典概型的概率公式求解．
【详解】不放回地依次随机摸出2个球，共有8×7=56种选择，
则两次都摸到同色球共有3×2+5×4=26种选择，
故两次摸到同种颜色球的概率为2656=1328，
故选：A
5.【答案】B
【解析】【分析】由垂直于同一平面的两平面相交或平行以及充分必要条件的定义判断即可．
【详解】解：若α⊥γ，β⊥γ，则α//β或α与β相交，故不是充分条件，
反之，若α⊥γ，α//β，则β⊥γ，故是必要条件，
故选：B．
6.【答案】C
【解析】【分析】利用投影向量概念列出向量方程，由条件求出a⋅b，代入计算即得．
【详解】向量a−λb在向量b上的投影向量为(a−λb)⋅b|b|2⋅b，
依题意，(a−λb)⋅b=−2|b|2，即a⋅b=(λ−2)|b|2，
因a⋅b=a⋅bcs60∘=14|b|2，代入解得，λ=94．
故选：C
7.【答案】C
【解析】【分析】对a进行讨论，即可结合二次函数的性质以及零点存在性定理求解．
【详解】若a=0时，4x−1=0，则x=14，满足题意，
若a≠0，当f1f−1=−3a−5−3a+3<0，解得−53若f1=−3a−5=0时，a=−53，此时fx=5x2+4x−1=5x−1x+1=0，
此时方程在−1,1只有一根x=15，满足题意，
若f−1=−3a+3=0时，a=1，此时fx=−3x2+4x−1=−3x−1x−1=0，
此时方程在−1,1只有一根x=13，满足题意，
当Δ=16−12a=0，得a=43时，此时fx=−4x2+4x−1=−2x−12=0，
此时方差的根为x=12，满足题意，
综上可得−53≤a≤1或a=43
故选：C
8.【答案】D
【解析】【分析】根据三角形面积公式，以及和差角公式可得2sin(A+π6)=bc+cb，根据三角函数的性质以及基本不等式可得2sin(A+π6)=bc+cb=2，且bc=cb，以及A=π3，即可代入求解．
【详解】由2 3S+bccsA=b2+c2可得 3bcsinA+bccsA=b2+c2，
故 3sinA+csA=b2+c2bc⇒2sinA+π6=bc+cb，
由于bc+cb≥2,2sinA+π6≤2，当且仅当bc=cb，以及A+π6=π2时，等号成立，
结合2sin(A+π6)=bc+cb，因此2sin(A+π6)=bc+cb=2，且bc=cb，以及A=π3，
故B=C=π3，因此sinAcsB+csC= 3212+12= 32，
故选：D
9.【答案】ABD
【解析】【分析】根据互斥事件以及相互独立事件的概率公式以及性质，即可结合选项逐一求解．
【详解】对于A，当A和B互斥时，PA∪B=PA+PB， A正确，
对于B，当A和B互斥时，PAB=1−P(A∪B)=1−PA−PB， B正确，
对于C，当A和B相互独立时，PAB=P(A)P(B)>0，故 C错误，
对于D，当A和B相互独立时，A和B也相互独立，故PAB=PAPB， D正确，
故选：ABD
10.【答案】BCD
【解析】【分析】抓住一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数“三个二次”的关系分析，结合图象即可一一判断．
【详解】对于A，由题意，结合二次函数y=ax2+bx+c的图象知，抛物线开口应向下，则a<0，故 A错误；
对于B，依题意，a<0，且一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为−2和3，
由韦达定理，−2+3=−ba−2×3=ca，故b=−a>0，c=−6a>0，即bc>0，故 B正确；
对于C，由上分析可得a+b=0，故 C正确；
对于D，由上分析可得a−b+c=a−(−a)+(−6a)=−4a>0，故 D正确．
故选：BCD．
11.【答案】BC
【解析】【分析】A选项，计算出zn=2n，故不存在一个正实数M，使得zn【详解】A选项，z1=fi=2i，z2=f2i=4i，……，zn=f2n−1i=2ni，
其中zn=2n，不存在一个正实数M，使得znB选项，z1=fi=11−i=1+i2，z2=f1+i2=11−1+i2=1+i，
z3=f1+i=11−1−i=i，
故此时z0，z1，z2，…，zn，…的周期为3，且z0=1,z1= 22,z2= 2，
不妨取M=2，满足要求， B正确；
C选项，z1=fi=i3=−i，z2=f−i=−i3=i，
故此时z0，z1，z2，…，zn，…的周期为2，且z0=1,z1=1，
不妨取M=2，满足要求， C正确；
D选项，z1=fi=i−12=i2−2i+1=−2i，
z2=f−2i=−2i−12=4i2+4i+1=−3+4i，
z3=f−3+4i=16i−12=16−32i+16i2=−32i，
z4=f−32i=−32i−12=1024i2+64i+1=−1023+64i，
z5=f−1023+64i=−210+26i2=220−217i+212i2=220−212−217i，
……，
依次计算，可以发现zn的实部和虚部的绝对值均趋向于+∞，
故不存在一个正实数M，使得zn故选：BC
【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：
(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念．
12.【答案】−1
【解析】【分析】先设幂函数的解析式，根据条件确定幂函数的解析式，再求值．
【详解】设fx=xa，由f2=8得2a=8⇒a=3，所以f−1=−13=−1．
故答案为：−1
13.【答案】34
【解析】【分析】利用平方法，结合完全平方公式进行求解即可．
【详解】由a12−a−12=2⇒a+a−1−2=4⇒a+a−1=6⇒a2+a−2+2=36⇒a2+a−2=34，
故答案为 ：34
14.【答案】7；4π
【解析】【分析】根据内切球在等边三角形PAB内的“正投影”求得内切球的半径，进而求得内切球的表面积，利用等体积法，即可求解BC．
【详解】由于平面PAB⊥平面ABCD，PA=3，PB=4，CD=5．▵PAB为 直角三角形，底面ABCD为矩形，
所以四棱锥P−ABCD的内切球在▵PAB的“正投影”是▵PAB的内切圆，
设▵PAB的内切圆半径为r，
则S▵PAB=12×(3+4+5)×r=12×3×4，
解得r=1，
所以内切球的半径为1，其表面积为4π×12=4π．
设BC=a，则平面PAB⊥平面ABCD，且交线为AB，BC⊥AB,BC⊂平面ABCD，
所以BC⊥平面PAB，同理AD⊥平面PAB，PA,PB⊂平面PAB，故BC⊥PB,AD⊥PA，故PC= a2+16,PD= a2+9，
由余弦定理可得cs∠CPD=a2+9+a2+16−522 a2+9 a2+16=a2 a2+9 a2+16，
进而可得sin∠CPD= 1−cs2∠CPD= 25a2+144 a2+9 a2+16，
由等体积法可得1312×3×4+12×3a+12×4a+5a+12 a2+9 a2+16× 25a2+144 a2+9 a2+16×1=VP−ABCD=2VP−ABC=2VC−PAB=2×13×12×3×4×a化简可得a2−7a=0，故a=7(a=0舍去)，
故答案为：7，4π
15.【答案】(1)
因为a/​/b，所以存在实数λ，使得a=λb，
即xe1−2e2=λe1−λxe2，
x=λ2=λx，所以x=± 2；
(2)
因为a+b⊥a−b，所以a+b⋅a−b=0，
即a=b，
所以xe1−2e22=e1−xe22
即x2e12−4xe1⋅e2+4e22=e12−2xe1⋅e2+x2e22
因为e1=e2=1，e1⋅e2=−12
所以x=−3．
所以b= e1+3e22= 7

【解析】(1)根据共线定理，即可列方程求解，
(2)根据垂直关系可得a=b，即可由模长公式求解x=−3，代入模长公式即可求解．
16.【答案】(1)
由题意得，A=2，T=π．
因fx=Acsωx+φ，则ω=2πT=2，fx=2cs2x+φ，
又因为fπ6=2csπ3+φ=0，且0<φ<π，所以φ=π6．
故fx=2cs(2x+π6)．
(2)
设z=2x+π6，因x∈0,2π3，则z∈π6,32π，
而y=csz在[π6,π]上递减，在[π,32π]上递增，
且csπ6= 32>cs3π2=0，故csz∈−1, 32，
所以函数fx的值域为−2, 3．

【解析】(1)由题意分别求出A,ω，代入点π6,0求出φ，即得解析式；
(2)设z=2x+π6，由x∈0,2π3求出z∈π6,32π，结合余弦函数的图象，根据函数单调性即可求得函数值域．
17.【答案】(1)
x=0.05×2×3+0.075×2×5+0.15×2×7+0.2×2×9+0.025×2×11=7.3，
即男生一周运动时长的平均数为7.3小时；
中位数为第50百分位数，运动时长为2,6的概率为0.05×2+0.075×2=0.25，
运动时长为2,8的频率为0.05×2+0.075×2+0.15×2=0.55，
所以中位数落在区间6,8内，
由0.25+0.15×y−6=0.5，得到y=233，即中位数为233．
(2)
该班级全体学生一周内运动时长的平均数x=3030+20×9+2030+20×6.5=8，
所以该班级全体学生一周内运动时长的方差
s2=3030+202+9−82+2030+204+6.5−82=4.3

【解析】(1)根据频率分布直方图中平均数的计算公式以及中位数的计算公式即可求解，
(2)根据方差的计算公式即可求解．
18.【答案】(1)
由题可知▵A′DE为正三角形，取DE中点M，连接A′M，CM
则A′M= 3，且A′M⊥DE，
在▵DMC中，DM=1，CD=4，∠CDM=π3，CM2=DM2+CD2−2⋅DM⋅CDcs∠CDM，所以CM= 13，
所以在▵A′MC中，A′M2+CM2=3+13=A′C2，所以A′M⊥MC，
因为DE∩MC=M，DE,MC⊂平面平面BCDE，所以A′M⊥平面BCDE，
又因为A′M⊂平面A′DE，所以平面A′DE⊥平面BCDE．
(2)
①取CD中点N，连接NB，NF，
在▵A′DC中，因为F，N分别为A′C，DC的中点，
所以FN//A′D，
因为FN⊄平面A′DE，A′D⊂平面A′DE，
所以FN//平面A′DE，
而DN//EB，且DN=EB，所以四边形DEBN为平行四边形，
所以ED//BN，
因为BN⊄平面A′DE，ED⊂平面A′DE，
所以BN//平面A′DE，
又因为FN∩BN=N，FN,BN⊂平面FNB，所以平面FNB//平面A′DE，
因为BF⊂平面FNB，所以BF//平面A′DE．
②过F作FP//A′D交DC于点P，过P作PQ/​/DE交BE于Q，
设PQ与CM交于点S，连接DS，FS，DF，
同①，易证平面A′DE//平面FPQ，
又因为平面A′MC∩平面A′DE=A′M，平面A′MC∩平面FPQ=FS，
所以FS//A′M，
由(1)可知A′M⊥平面BCDE，所以FS⊥平面BCDE，
所以∠FDS就是直线DF与平面BCDE所成的角，
所以sin∠FDS=FSDF= 3010，
因为A′F=λA′C，所以A′F=4λ，
在▵A′DC中，cs∠DA′C=22+42−422×2×4=4λ2+22−DF22⋅4λ⋅2，
所以DF= 16λ2−4λ+4，
在▵A′MC中，CFCA′=FSA′M，所以4−4λ4=FS 3，
所以FS= 31−λ，
所以FSDF= 31−λ 16λ2−4λ+4= 3010，
解得λ=13或λ=−3，
因为0<λ<1，故λ=13．

【解析】(1)利用余弦定理求解长度，即可由勾股定理求解垂直，根据线线垂直求证线面垂直，进而可得面面垂直，
(2)(i)根据中位线以及平行四边形可得线线平行，即可求证线面平行，进而由面面平行的判定即可求证，
(ii)由线面角的定义可得∠FDS就是直线DF与平面BCDE所成的角，即可三角形相似以及余弦定理求解．
19.【答案】(1)
因为fx为奇函数，所以f−x=−fx，
所以−x−x+a=−xx+a⇒a=0．
(2)
(i)①若a≤−2，则fx=xx+a,x≥−a−xx+a,2≤x<−a,
当x≥−a时，对称轴x=−a2<−a，所以fx在−a,+∞上单调递增，
当x<−a时，若−a2<2，即−4如图：
所以fxmin=f−a=0．
若−a2=2，即a=−4，则fxmin=f4=0，
若−a2>2，即a<−4时，
如图：
则fx在2,−a2上单调递增，在−a2,−a上单调递减，
所以fxmin=minf2,f−a=min−4−2a,0=0，
②若−2如图：
所以fx在2,+∞上单调递增，
所以fxmin=f2=4+2a，
综上，Ma=0,a≤−24+2a,−2(ii)若a≤−2，则fx0∈0,+∞,gx=x+a22+4−a24
所以4−a24≥0，所以−4≤a≤−2，
若−2所以−2综上，a的取值范围为−4,0

【解析】(1)根据奇函数的定义可直接求参数a的值．
(2)(i)分情况去掉绝对值符号，结合二次函数的单调性，求函数fx的最小值，可得Ma的解析式；(ii)问题转化为gx的值域是fx值域的子集，根据集合之间的关系求参数的取值范围．
关键点点睛：该题的最后一问，要把问题转化成gx的值域是fx值域的子集，根据集合之间的关系求参数的取值范围．