湖南省湘潭市2024-2025学年高一上学期期末考试 数学试卷（解析版）

这是一份湖南省湘潭市2024-2025学年高一上学期期末考试 数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，则．
故选：C.
2. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】依题意，解得或或，
所以原函数定义域为.
故选：B.
3. 下列函数是偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】均是奇函数，是偶函数．
故选：B.
4. 已知是三角形的一个内角，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，因为，所以，
即不等式的解集为．
故选：C.
5. “”是“关于的不等式有解”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件D. 充分不必要条件
【答案】D
【解析】若关于的不等式有解，则，得．
由“”可以推出“”，由“”不能推出“”，
所以“”是“关于的不等式有解”的充分不必要条件．
故选：D.
6. 已知，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以．
故选：D.
7. 如图，这是一块扇形菜地，是弧的中点，是该扇形菜地的弧所在圆的圆心，D为和的交点，若米，则该扇形菜地的面积是（ ）
A. 平方米B. 平方米C. 平方米D. 平方米
【答案】A
【解析】如图，连接．因为是弧的中点，所以，米．
因为，所以，所以，
所以是等边三角形，则．
因为米，所以米，米，
则该扇形菜地的面积是平方米．
故选：A.
8. 已知，则的最小值为（ ）
A. 5B. 4
C. 3D. 2
【答案】C
【解析】由题意得，则，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最小值为3．
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】由题意得，
所以．
故选：BCD.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C
D. 将图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象
【答案】AB
【解析】由图可知，由，得，则，A，B正确．
因为，所以，
得，又，所以，C错误．
由题意得，D错误．
故选：AB.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若在上单调递增，则的值可以为
C. 存在，使得在上单调递减
D. 若的值域为，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】由题意得，得，得，A正确．
若在上单调递增，则，解得，B正确．
若在上单调递减，则，不等式组无解，C错误．
若的值域为，则，得在上单调递增．
当时，在上单调递增，则，
得，即．
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则，得恒成立，即．
综上，的取值范围为，D正确．
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的值为__________．
【答案】
【解析】．
13. 已知函数则__________．
【答案】
【解析】因为，所以．
14. 如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为__________时，总运费最低．
【答案】
【解析】设当地到地距离为时，铁路每公里运费为，公路每公里运费为．
由题意得，
则总运费，
要使总费用最低，只需最小即可．
设，则，
得，则，得．
当时，总费用最低，则，得，
所以当地到地的距离为时，总运费最低．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）求值：（为正数）．
（2）若，且，求的值．
解：（1）.
（2）依题意，，
由，得，则，即，
所以．
16. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）由，
得，所以.
（2）.
17. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在上的值域；
（3）若函数在上的零点个数为2，求的取值范围．
解：（1）．
由，得，
所以的单调递增区间为．
（2）令，由，得，则．
由正弦函数的性质可知在上单调递增，在上单调递减，
则，
因为，所以．
故在上的值域为．
（3）令，得，即，
则在上的零点个数即的图象与直线在上的公共点个数．
由（2）可知，所以，即的取值范围为．
18. 已知是偶函数，，且在上单调递增．
（1）比较与2的大小；
（2）求不等式的解集；
（3）若函数，且，且不等式在上恒成立，求的取值范围．
解：（1）因为是偶函数，所以．
又在上单调递增，所以在上单调递减，
则，即．
（2）由，得，
得，解得或，
即不等式的解集为．
（3）当时，在上单调递减，在值域为，
所以不等式不恒成立．
当时，在上单调递减，在上单调递增，
要使不等式在上恒成立，则，得，得，即．
综上，的取值范围为．
19. 已知函数的定义域为．若且，则称是凹函数；若且，则称是凸函数．
（1）已知函数．
①求的解析式；
②判断是凹函数还是凸函数，根据凹函数，凸函数的定义证明你的结论．
（2）讨论函数在定义域上的凹凸性.
解：（1）①根据题意，，
所以；
②是凹函数；
，且，
则
，
因为，所以，
所以，即，
故是凹函数.
（2），
则
，
因为，
所以，
所以当时，，
即，函数在定义域上为凸函数，
当时，，
即，函数在定义域上为凹函数.