2025年高考数学二轮热点题型归纳与演练(上海专用)专题02函数(九大题型)(原卷版+解析)特训

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27194" 题型01 证明函数的单调性、奇偶性1
\l "_Tc22731" 题型02 函数的值域、最值问题2
\l "_Tc394" 题型03 函数中的解不等式、比较大小问题2
\l "_Tc1766" 题型04 恒成立问题3
\l "_Tc8506" 题型05 有解问题5
\l "_Tc6010" 题型06 零点、实数根等问题5
\l "_Tc22452" 题型07 函数与数列5
\l "_Tc5641" 题型08 函数的其他应用6
\l "_Tc5641" 题型09 函数的实际应用6
【解题规律·提分快招】
题型01 证明函数的单调性、奇偶性
【典例1-1】．（2024·上海·三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求的解析式；
(2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.
【变式1-1】．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知为实数，设.
(1)若，求函数，的最小值；
(2)判断函数，的奇偶性，并说明理由.
【变式1-2】．（2022·上海浦东新·一模）已知函数，.
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数，写出函数的单调递增区间并用定义证明.
【变式1-3】．（2021·上海徐汇·二模）已知函数．
（1）若，求函数f（x）的零点；
（2）针对实数a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性．
题型02 函数的值域、最值问题
【典例2-1】．（22-23高三上·上海杨浦·阶段练习）已知函数f(x)是定义在区间上的奇函数，当时，.
(1)求时f(x)的解析式；
(2)求函数的值域.
【变式2-1】．（21-22高三上·上海黄浦·阶段练习）已知二次函数的值域为．
（1）若此函数在上是单调减函数，求实数a的取值范围；
（2）求在上的最小值，并求的值域．
【变式2-2】．（24-25高三上·上海金山·期末）已知常数，函数的表达式为
(1)证明：函数是奇函数；
(2)若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值．
【变式2-3】．（21-22高三上·上海徐汇·开学考试）已知函数.
(1)求的取值范围，使在闭区间上是单调函数；
(2)当时，函数的最小值是关于的函数.求的最大值及其相应的值.
题型03 函数中的解不等式、比较大小问题
【典例3-1】．（24-25高三上·上海·阶段练习）设函数，且.
(1)求的值；
(2)判断函数的奇偶性和单调性（不用说明理由），并据此求解关于的不等式
【典例3-2】．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数.
(1)证明函数在上严格增；
(2)若函数在定义域上为奇函数，求不等式的解集.
【变式3-1】．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）设函数（为实数）.
（1）若，解不等式；
（2）若当时，关于的不等式成立，求的取值范围.
【变式3-2】．（20-21高三上·上海奉贤·期中）已知
（1）若函数在的最大值为，求的值；
（2）若，求不等式的解集.
【变式3-3】．（23-24高三上·上海长宁·期中）已知函数，其中常数且.
(1)判断上述函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论；
(2)若，利用上述函数在区间上的单调性，讨论和的大小关系，并述理由.
题型04 恒成立问题
【典例4-1】．（2022·上海徐汇·三模）已知为实数，函数，．
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)若对任意，恒成立，求的取值范围．
【典例4-2】．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求的解析式；
(2)存在，使得成立，求实数的取值范围.
【变式4-1】．（24-25高三上·上海杨浦·期中）已知函数为奇函数．
(1)求的值并直接写出的单调性（无需说明理由）；
(2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围．
【变式4-2】．（23-24高三上·上海浦东新·期末）已知函数，其中．
(1)是否存在实数，使函数是奇函数？若存在，请写出证明．
(2)当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【变式4-3】．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数，，
(1)求的单调区间和值域；
(2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围．
【变式4-4】．（23-24高三上·上海·期中）已知函数（，）．
(1)若时，判断函数在上的单调性，并说明理由．
(2)若对于定义域内一切x，恒成立，求实数m的值．
【变式4-5】．（2021·上海黄浦·三模）已知函数为实常数.
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）当为奇函数时，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.
【变式4-6】．（22-23高三下·上海·阶段练习）已知，其中．
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)当时，对任意非零实数c，不等式均成立，求实数t的取值范围．
【变式4-7】．（22-23高三下·上海宝山·阶段练习）已知 （实数为常数）．
(1)当时，求函数的定义域，判断奇偶性，并说明理由；
(2)若不等式当时均成立，求实数的取值范围．
【变式4-8】．（20-21高三下·上海闵行·开学考试）已知关于的方程在复数集内有两个根，且满足，
(1)求实数的值；
(2)若，存在实数，使得不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【变式4-9】．（2022·上海虹口·二模）已知函数是定义域为的奇函数.
(1)求实数的值，并证明在上单调递增；
(2)已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围.
题型05 有解问题
【典例5-1】．（24-25高三上·上海·期中）已知函数是定义域为R的偶函数.
(1)求实数a的值；
(2)已知关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围.
【变式5-1】．（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中.
(1)求证：是奇函数；
(2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围.
题型06 零点、实数根等问题
【典例6-1】．（2023·上海·模拟预测）函数，且.
(1)判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明；
(2)，且在上有零点，求的取值范围.
【典例6-2】．（2021·上海闵行·二模）已知函数.
（1）证明在区间上是增函数；
（2）若函数在区间上存在零点，求实数m的取值范围.
【变式6-1】．（2021·上海松江·二模）已知函数(为常数，).
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）当为偶函数时，若方程在上有实根，求实数的取值范围.
【变式6-2】．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数，其中.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）解关于x的不等式：；
（3）若函数有三个不等实根，求实数a的取值范围.
【变式6-3】．（21-22高三上·上海虹口·阶段练习）已知函数，其中，且．
(1)当时，若，求实数的取值范围；
(2)若存在实数使得方程有两个实根，求实数的取值范围．
题型07 函数与数列
【典例7-1】．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且，
(1)计算的值；
(2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值.
【变式7-1】．（2024·上海·模拟预测）若．
(1)过，求的解集；
(2)存在使得成等差数列，求的取值范围．
题型08 函数的其他应用
【典例8-1】．（24-25高三上·上海·开学考试）已知为常数.
(1)若为偶函数，求的值；
(2)设，若函数为减函数，求实数的取值范围.
【变式8-1】．（20-21高三上·上海闵行·阶段练习）已知函数.
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）对任意，当函数的图像恒在函数图像的下方时，求实数的取值范围.
【变式8-2】．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）设常数，已知函数．
(1)判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
(2)证明：不存在负实数使得．
题型09 函数的实际应用
【典例9-1】．（2021·上海嘉定·一模）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．一般情况下，隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）满足关系式：研究表明，当隧道内的车流密度达到120辆/千米时会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．
(1)若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围；
(2)隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足．求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时）及隧道内车流量达到最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．（参考数据：）
【变式9-1】．（2022·上海金山·二模）经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量（百件）与时间第天的关系如下表所示：
未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润（元）与时间第天的函数关系式为，且为整数，而后15天此商品每天每件的利润元与时间第天的函数关系式为（，且为整数）.
(1)现给出以下两类函数模型：①（为常数）；②为常数，且.分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式；
(2)若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由.
【变式9-2】．（2022·上海奉贤·一模）图1是某会展中心航拍平面图，由展览场馆､通道等组成，可以假设抽象成图2，图2中的大正方形是由四个相等的小正方形（如）和宽度相等的矩形通道组成.展览馆可以根据实际需要进行重新布局成展览区域和休闲区域，展览区域由四部分组成，每部分是八边形，且它们互相全等.图2中的八边形EFTSHQMG是小正方形中的展览区域，小正方形中的四个全等的直角三角形是休闲区域，四个八边形是整个的展览区域，16个全等的直角三角形是整个的休闲区域.设的边长为300米，的周长为180米.
(1)设，求的面积关于的函数关系式；
(2)问取多少时，使得整个的休闲区域面积最大.(，长度精确到1米，利用精确后的长度计算面积，面积精确到1平方米)
一、解答题
1．（2023·上海杨浦·一模）设函数，.
(1)求方程的实数解；
(2)若不等式对于一切都成立，求实数的取值范围.
2．（2021·上海浦东新·三模）已知.
（1）解不等式：；
（2）若在区间上的最小值为，求实数a的值.
3．（2021·上海金山·一模）已知定义域为的函数.
（1）试判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
4．（2021·上海虹口·二模）设且，，已知函数.
（1）当时，求不等式的解；
（2）若函数在区间上有零点，求的取值范围.
5．（2023·上海·模拟预测）函数
(1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数；
(2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围.
6．（2023·上海青浦·一模）上海各中学都定期进行紧急疏散演习：当警报响起，建筑物内师生马上有组织、尽快地疏散撤离．对于一个特定的建筑物，管理人员关心房间内所有人疏散完毕（房间最后一个人到达安全出口处）所用时间．数学建模小组准备对某教学楼第一层楼两间相同的教室展开研究．为此，他们提出如下模型假设：
1.疏散时所有人员有秩序地撤离建筑物；
2.所有人员排成单列行进撤离；
3.队列中人员的间隔是均匀的；
4.队列匀速地撤离建筑物．
(1)上述模型假设是否合理，请任选两个模型假设说明理由；
(2)如图，设第一间教室（图中右）的人数为，第二间教室（图中左）的人数为，每间教室的长度为，其中，都是正整数，，忽略教室门的宽度及忽略教室内人群到教室门口的时间．请再引入适当的变量，建立两个教室内的人员完全撤离所用时间的数学模型．
1、确定函数单调性的四种方法：
(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
2、判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
3、利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
4、求解与指数、对数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
5、求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；
(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
第天
1
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10
30
日销售量（百件）
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