2025年中考数学压轴题型模型方与技巧(通用版)专题08含参不等式与方程问题及其应用(原卷版+解析)特训

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc190778176" 模块一 不等式（组）含参问题 PAGEREF _Tc190778176 \h 3
\l "_Tc190778177" 【题型1】 已知解集求参数的值或取值范围 PAGEREF _Tc190778177 \h 3
\l "_Tc190778178" 【题型2】 含参不等式与函数结合 PAGEREF _Tc190778178 \h 6
\l "_Tc190778179" 【题型3】 由不等式整数解求参数范围 PAGEREF _Tc190778179 \h 10
\l "_Tc190778180" 【题型4】 已知不等式有/无解求参数的取值范围 PAGEREF _Tc190778180 \h 13
\l "_Tc190778181" 【题型5】 不等式与方程综合求参数的取值范围 PAGEREF _Tc190778181 \h 15
\l "_Tc190778182" 【题型6】 与含参不等式（组）有关的新定义问题 PAGEREF _Tc190778182 \h 17
\l "_Tc190778183" 模块二 方程方程含参问题 PAGEREF _Tc190778183 \h 19
\l "_Tc190778184" 【题型1】 已知方程的解求参数 PAGEREF _Tc190778184 \h 19
\l "_Tc190778185" 【题型2】 由方程求代数式的值 PAGEREF _Tc190778185 \h 20
\l "_Tc190778186" 【题型3】 两个方程的解相同 PAGEREF _Tc190778186 \h 23
\l "_Tc190778187" 【题型4】 含参二元一次方程组与不等式 PAGEREF _Tc190778187 \h 24
\l "_Tc190778188" 【题型5】 已知分式方程的增根求参数 PAGEREF _Tc190778188 \h 28
\l "_Tc190778189" 【题型6】 方程有解、无解问题 PAGEREF _Tc190778189 \h 29
\l "_Tc190778190" 【题型7】 由方程解的正负求参数的取值范围 PAGEREF _Tc190778190 \h 31
\l "_Tc190778191" 【题型8】 方程的整数解问题 PAGEREF _Tc190778191 \h 35
\l "_Tc190778192" 【题型9】 分式方程与含参不等式综合 PAGEREF _Tc190778192 \h 38
\l "_Tc190778193" 【题型10】 由一元二次方程根的个数求参数的值或范围 PAGEREF _Tc190778193 \h 42
\l "_Tc190778194" 【题型11】 一元二次方程韦达定理的应用 PAGEREF _Tc190778194 \h 45
\l "_Tc190778195" 【题型12】 一元二次方程根的判别式与韦达定理综合 PAGEREF _Tc190778195 \h 48
\l "_Tc190778196" 【题型13】 与含参方程有关的新定义问题 PAGEREF _Tc190778196 \h 53
题型汇编
知识梳理与常考题型
一、不等式（组）含参问题
【题型解读】不等式、不等式组的参数问题主要涉及不等式(组)有解问题、无解问题、解的范围问题，解决此类问题，要掌握不等式组的解法口诀以及在数轴上熟练表示出解集的范围，已知不等式(组)的解售情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式(组)解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.
【题型梳理】
1.已知解集求参数的值或取值范围：根据不等式（组）的解集，反推参数的取值。
2.已知整数解的情况求参数的值或取值范围：依据整数解的个数、范围等条件，确定参数的取值。
3.含参不等式与函数结合:含参不等式与函数结合
4.已知不等式有、无解求参数的取值范围：根据不等式的性质和求解方法，确定使不等式有解或无解的参数范围。
5.不等式与方程综合求参数的取值范围：结合方程的解和不等式的解集，列出关于参数的不等式组求解。
6.与含参不等式（组）有关的新定义问题：按照新定义的运算或规则，结合不等式知识求解。
二、方程含参问题
【题型梳理】
1.已知方程的解求参数：将方程的解代入原方程，得到关于参数的等式，进而求解参数。
2.已知方程的解求代数式的值：先根据方程的解求出参数，再将参数代入所求代数式求值。
3.同解方程：两个方程的解相同，先求出一个方程的解，再代入另一个方程求参数。
4.根据方程解满足的情况求解：如解满足某种大小关系等条件，据此列出关于参数的不等式或等式求解。
5.方程整数解问题：在方程的解集中找出整数解，结合条件确定参数的取值。
6.方程有解、无解问题：对于一元一次方程、一元二次方程等，根据其性质判断有解或无解的条件，进而确定参数范围。
7.已知分式方程的增根求参数：先确定增根（使分母为0的值），将分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程求参数。
8.利用方程解的范围求参数的取值范围：根据已知解的范围，列出关于参数的不等式组求解。
9.根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围：利用判别式判断根的情况（两个不同实根、两个相同实根、无实根等），进而确定参数。
10.不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值：常利用韦达定理（ 在一元二次方程中，两根、有，）求解。
11.根的判别式与韦达定理综合：结合判别式判断根的情况和韦达定理中两根关系，求解参数或与方程相关的问题。
12.与含参方程有关的新定义问题：根据新定义的规则，结合方程知识进行求解。
【题型解读】
1).一次方程组的含参问题一是方程组与不等式的联系时，产生的未知数的正数解或解的范围，解决这类问题是把所给的参数作为常数，利用二元一次方程组的解法代入消元法、加减消元法，先求出二元一次方程组的解，再结合所给的条件转化为对应的不等式问题;二是利用整体思想，求代数式的值，结合所给的已知条件和所求问题，找到两者之间的联系，利用整体思想和转化思想加以解决
2).分式方程的参数问题主要是分式方程无解、有正数解或负数解、整数解的问题，解决此类问题的关键是化分式方程为整式方程，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等干0的值，不是原分式方程的解.
3).一元二次方程的参数问题主要是含有参数的一元二次方程的解一元二次方程的解的情况、一元二次方程的公共解，针对一元二次方程的参数，常利用韦达定理、根的判别式来解决，同时注意二次项系数不能为零.若关于x的一元二次方程有两个根分别为x1、x2，则注意运用根与系数关系的前提条件是，知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有的式子，再运用根与系数的关系求解.
模块一 不等式（组）含参问题
【题型1】 已知解集求参数的值或取值范围
【例题1】（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第一个不等式的解集，根据口诀：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”即可确定的范围．
【详解】解：解不等式得，
解不等式得，
∵解集是，
∴，
解得
【例题2】（2024·内蒙古兴安盟·二模）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式组，依据不等式组的解集为列出关于的不等式是解题的关键．先求得不等式的解集，然后依据不等式组的解集为可判断出的取值范围．
【详解】解：解不等式得，
解不等式得：．
不等式组的解集为，
．
解得：．
【例题3】（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先分别求出不等式的解集，再根据题意列出关于的不等式，求解即可得．
【详解】解：，
，
，
．
解不等式得：，
∵不等式任意一个解都比关于的不等式的解大，
∴，
解得，
故答案为：；．
【巩固练习1】（2023·湖北鄂州·中考真题）已知不等式组的解集是，则（ ）
A．0B．C．1D．2023
【答案】B
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得，再结合已知可得，，然后进行计算可求出，的值，最后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∵不等式组的解集是，
∴，，
∴，，
∴
【巩固练习2】（2023·江苏南通·中考真题）已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意和一次函数的性质可得到，然后求解即可．
【详解】解：一次函数，
随的增大而增大，
对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，
，
解得．
故答案为：．
【巩固练习3】（2024·宁夏银川·三模）不等式的正整数解为1和2，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定a的范围，是解答本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先确定不等式组的解集，利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】解：解不等式，得：，
∵不等式组整数解为1和2，
则，∴
【巩固练习4】（2023·四川宜宾·中考真题）若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为 ．
【答案】或
【分析】根据题意可求不等式组的解集为，再分情况判断出的取值范围，即可求解．
【详解】解：由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为：，
所有整数解的和为，
①整数解为：、、、，
，
解得：，
为整数，
．
②整数解为：，，，、、、，
，
解得：，
为整数，
．
【题型2】 含参不等式与函数结合
【例题1】（2024·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系中，一次函数，，无论x取何值，始终有，则m的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查一次函数的图象与性质、解不等式，根据题意可得直线与直线平行，且直线在直线的上方，进而得出，根据列不等式，解不等式即可．
【详解】解： ∵无论x取何值，始终有，
∴直线与直线平行，且直线在直线的上方，
∴，
∴，
∴
【例题2】（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，分类讨论，是解决问题的关键．
可知过原点，当过点时， ；当与平行时，，由函数图象知， ．
【详解】解：可知过原点，
∵中，时，，
∴当过点时，，
得；
当与平行时，
得．
由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，a的取值范围为：．
故答案为： ．
【例题3】（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）

A．随的增大而增大
B．
C．当时，
D．关于，的方程组的解为
【答案】C
【分析】结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、随的增大而增大，故选项A正确；
B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项B正确；
C、由图象可知：当时，，故选项C错误；
D、由图象可知，两条直线的交点为，
∴关于，的方程组的解为；
故选项D正确；
故选C．
【巩固练习1】（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知点在直线上，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点在直线上，且，先算出的范围，再对不等式变形整理时，需要注意不等号方向的变化．
【详解】解：点在直线上，
，
将上式代入中，
得：，
解得：，
由，得：，
（两边同时乘上一个负数，不等号的方向要发生改变），
故选：D．
【巩固练习2】（2024·贵州遵义·三模）已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（ ）

A．①④B．①③C．②④D．②③
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是利用数形结合的思想解决问题．根据一次函数中的，与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，可解决此题．
【详解】解：①的图象过第二、三、四象限，
观察图象可知，，．
所以．
故①正确．
②将分别代入和得，
，．
观察图象不难发现点在点的上方，
所以．
故②不正确．
③观察图象发现，与交点的横坐标为．
当时，两者的函数值相等．
，
故③正确．
④，是直线上不重合的两点，
由的图象可知，当时，，则．
当时，，则．
故④不正确．
【巩固练习3】（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质，结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：①、随的增大而增大，故选项①正确；
②．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项②正确；
③．由图象可知：当时，，故选项③错误；
④．由图象可知，两条直线的交点为，
∴关于，的方程组的解为；故选项④正确；
故正确的有①②④共三个
【题型3】 由不等式整数解求参数范围
【例题1】（2023·四川眉山·中考真题）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可．
【详解】解：，
由②得：，
解集为，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，，
∴，
∴；
故选：A．
【例题2】（2023·黑龙江·中考真题）关于的不等式组有3个整数解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】解不等式组，根据不等式组有3个整数解得出关于m的不等式组，进而可求得的取值范围．
【详解】解：解不等式组得：，
∵关于的不等式组有3个整数解，
∴这3个整数解为，，，
∴，
解得：，
故答案为：．
【巩固练习1】（2023·黑龙江大庆·中考真题）若关于的不等式组有三个整数解，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组有三个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于的不等式组求得的范围．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有三个整数解，
不等式组的整数解为，0、1，
则，
解得．
故答案为：．
【巩固练习2】（2022·湖南邵阳·中考真题）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】分别对两个不等式进行求解，得到不等式组的解集为，根据不等式组有且只有三个整数解的条件计算出的最大值．
【详解】解不等式，
，
∴，
∴，
解不等式，
得，
∴，
∴的解集为，
∵不等式组有且只有三个整数解，
∴不等式组的整数解应为：2，3，4，
∴,
∴的最大值应为5
【巩固练习3】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组4-2x≥012x-a>0恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】-12≤a0恰有3个整数解，即可得到关于a的不等式组，然后求解即可．
【详解】解：由4-2x≥0，得：x≤2，
由12x-a>0，得：x>2a，
∵不等式组4-2x≥012x-a>0恰有3个整数解，
∴这3个整数解是0，1，2，
∴-1≤2a