2025年中考数学压轴题型模型方与技巧(通用版)专题04圆的常考模型汇总(原卷版+解析)特训

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc187080676" 【题型1】 弦切角定理与切割线定理 PAGEREF _Tc187080676 \h 24
\l "_Tc187080677" 【题型2】 中点弧模型 PAGEREF _Tc187080677 \h 28
\l "_Tc187080678" 【题型3】 内心模型 PAGEREF _Tc187080678 \h 32
\l "_Tc187080679" 【题型4】 线段和差问题（构造手拉手） PAGEREF _Tc187080679 \h 35
\l "_Tc187080680" 【题型5】 阿基米德折弦定理 PAGEREF _Tc187080680 \h 39
\l "_Tc187080681" 【题型6】 平行弦与相交弦，垂直线，割线模型 PAGEREF _Tc187080681 \h 44
\l "_Tc187080682" 【题型7】 垂径图 PAGEREF _Tc187080682 \h 47
\l "_Tc187080683" 【题型8】 等腰图 PAGEREF _Tc187080683 \h 50
\l "_Tc187080684" 【题型9】 双切图 PAGEREF _Tc187080684 \h 53
\l "_Tc187080685" 【题型10】 射影图 PAGEREF _Tc187080685 \h 57
\l "_Tc187080686" 【题型11】 切割图 PAGEREF _Tc187080686 \h 60
\l "_Tc187080687" 【题型12】 圆与三角函数综合 PAGEREF _Tc187080687 \h 64
\l "_Tc187080688" 【题型13】 圆与相似综合 PAGEREF _Tc187080688 \h 67
题型汇编
知识梳理与常考题型
圆的基本模型（一）：圆幂定理
1.弦切角与切割线
①是切线；②（弦切角定理）；③
以上三个结论知一推二
弦切角：弦和切线所夹的角等于它们所夹的弧所对的圆周角，即切线AP和弦AB所夹的∠1，等于它们所夹的弧 EQ \\ac(\S\UP7(⌒),AB)所对的圆周角∠2
2.圆幂定理
① 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
② 切割线定理：从圆外点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
③ 割线定理（推论）：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D，则有PA·PB=PC·PD。
【统一归纳】：过任意不在圆上的一点P引两条直线l1、l2，l1与圆交于A、B（可重合，即切线），l2与圆交于C、D（可重合），则有
【模型图解】
相交弦定理 割线定理 切割线定理 切线长定理

PA·PB=PC·PD PA·PB=PC·PD PA²=PC·PD PA =PC
统一叙述为：过一点P（无论点P在圆内，还是在圆外）的两条直线，与圆相交或相切（把切点看成两个重合的“交点”）于点A、B、C、D,则有
圆幂定理:过一个定点P的任何一条直线与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两条线段的乘积为定值（定值称做点P对的“幂”，等于点P到圆心的距离与半径的平方差的绝对值）
【问题】求证（点在圆外）
【证明】由切割线定理推论得：PA·PB=PC·PD，
又∵PC·PD=(PH―CH)(PH+CH)=PH²―CH²
=(OP²―OH²)―(r²―OH²)
= OP²―r²
【例题】如图，已知PAB是⊙O的割线，PO=14cm，PA=4cm，AB=16cm。求⊙O的半径。
【证明】由得，r²= OP²－PA·PB=132, ∴r=
圆的基本模型（二）：中点弧模型
点P是优弧AB上一动点，则
【以下五个条件知一推四】
点C是的中点
AC＝BC
OC⊥AB
PC平分∠APB
(即)
【简证】∠1＝∠2，∠PCB为公共角，子母型相似

【补充】⑥PE•PC＝PA•PB，注意：⑥不能反推出前五项

【例】如图，四边形内接于，对角线、交于点，且，若，，则 ．
易知，则，
圆的基本模型（三）：内心模型与等腰
【模型讲解】外接圆+内心⇒得等腰
如图，圆O是△ABC外接圆圆心，I是三角形ABC的内心，延长AI交圆O于D，则DI＝DC＝BD
 
【简证】∠1＝∠4＋∠5,∠4＝∠3，∠2＝∠5 ∴∠1＝∠2＋∠3
圆的基本模型（四）：线段和差问题（构造手拉手或阿基米德折弦定理）
1.中点弧与旋转
【模型解读】点P是优弧AB上一动点，且点C是的中点
邻边相等+对角互补 旋转相似模型，一般用来求圆中三条线段之间的数量关系.

由于对角互补，即，显然共线，且，通过导角不难得出相似.
2.常见结构
（1）圆内接等边三角形结论：，可构造做角平分线或构造手拉手模型
【简析】
（2）圆内接等腰直角三角形（正方形）
情况一：有角平分线
情况二：无角平分线
截长补短构造手拉手——旋转相似，一转成双
在AP上取一点Q，使BP=BQ,,
【旋转六法】
补充【托密勒定理】：秒杀！（选填可用）
3.阿基米德折弦定理
【模型解读】
【问题】：已知M为的中点，B为上任意一点，且MD⊥BC于D．求证：AB＋BD＝DC
证法一：(补短法)
如图：延长DB至F，使BF＝BA ∵M为中点 ∴＝， ∴∠1＝∠2－－－①
又∵ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),M C) ＝ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),M C)， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3－－－② 又∵∠3＋∠MBF＝180°－－－③
由圆内接四边形对角互补∴∠2＋∠MBA＝180°－－－④
由①②③④可得：∠MBA＝∠MBF，在△MBF与△MBA中 eq \B\lc\{(\a\al(BF＝BA,∠MBA＝∠MBF,MB＝MB))
∴△MBF≌△MBA (SAS) ∴MF＝MA， 又∵MC＝MA ∴MF＝MC
又∵MD⊥CF ∴DF＝DC ∴FB＋BD＝DC 又∵BF＝BA ∴AB＋BD＝DC (证毕)
证法二：(截长法——两种截取方式)
如图1：在CD上截取CG＝AB，则有DC＝CG＋DG，再证出BD＝DG即可
∵ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),BM)＝ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),BM) ∴∠1＝∠2－－－① 又∵M是 EQ \\ac(\S\UP7(⌒),AC)中点， ∴MA＝MC－－－②
由①②可知，在△MBA与△MGC中
∴△BMA≌△GMC (SAS) ∴BD＝GD 又∵MD⊥BG ∴BD＝DG ∴AB＋BD＝DC (证毕)

如图2：在CD上截取DB＝DG，再证明AB＝CG即可
简证：易知△MBG与△MAC均为等腰三角形，且∠1＝∠2，可知△MBG与△MAC构成手拉手模型，
∴△BMA≌△GMC (SAS) ∴AB＝CG
常规证明：∵MD⊥BG ∴MB＝MG ∴∠2＝∠MGD－－－①
又∵ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),MC) ＝ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),MC)， ∴∠1＝∠2－－② ∵M是中点，∴＝ ∴∠1＝∠MCA－－③
由①②③可得∠MGD＝∠MC， 而∠MGD＋∠MGC＝180°， ∠MCA＋∠MBA＝180°∴∠MGC ＝∠MBA
又∵＝， ∴＝
在△MBA与△MGC中， ∴△BMA≌△GMC (AAS) ∴AB＝GC
∴AB＋BD＝DC（证毕）
证法三：(翻折)——证共线
如图3：连接MB，MC，MA，AC，将△BAM沿BM翻折，使点A落至点E，连接ME，BE
∵△MBA与△MBE关于BM对称，所以△MBE≌△MBA ∴MA＝ME，∠MBA＝∠MBE－－①
又∵MA＝MC，∴ME＝MC， 又∵M，B，A，C四点共圆，∴∠MBA＋∠MCA＝180°－－②
又∵MA＝MC（已证）∴∠MAC＝∠MCA
又∵ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),MC)＝ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),MC)，∴∠MBC＝∠MAC ∴∠MBC＝∠MCA－－－③
由①②③得：∠MBC＋∠MBE＝180°∴E，B，C三点共线。又∵ME＝MC，MD⊥CE
∴DE＝DC，∴EB＋BD＝DC，又∵△MBE≌△MBA ∴AB＝EB
∴AB＋BD＝DC（证毕）

证法四：两次全等
如图4，连接MB ， MA ， MC， AC ，延长AB，过点M作MH⊥AB于点H，
∵M为 EQ \\ac(\S\UP7(⌒),A C)的中点 ∴AM＝MC，又∵ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),BM)＝ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),BM) ∴∠HAM＝∠DCM
又∵∠MHA＝∠MDC＝90 ∴在△MHA与△MDC中
∴△MHA≌△MDC (AAS) ∴CD＝AH－－① MD＝MH在Rt△MHB与RtT△MDB中
∴△MDB≌△MHB (HL) ∴BD＝BH 又∵AH＝AB＋BH，∴ AH＝AB＋BD－－②
由①②可得DC＝AB＋BD(证毕)
证法五：补短法（2）——两次全等
如图4，延长AB至H，使BH＝BD，则AB＋BD＝AH，先证△BHM≌△BDM (HL)，再证△MHA≌△MDC (HL)
圆的基本模型（五）：平行弦与垂直相交弦，割线定理
一、平行弦：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD，∴
二、相交弦：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等
即：在⊙O中，∵弦AC、BD相交于点G，则AG·CG=BG·DG
【模型构造】
1.当圆中有相互垂直的弦时
（I）经常作直径所对的圆周角，可以得到平行弦
（II）还可以构造相似
（III）当圆中有和弦垂直的线段时，还可以构造平行弦，可得
例题：弦CD⊥弦AB，过圆心O作OF⊥BC于F，证AD=2OF
练习：（深圳南山区模拟）如图，PC为圆的切线，弦CD⊥弦AB，AD=2,BC=6，求圆的半径
【简证】易知：AE∥CD，AD=EC=2,通过勾股定理可知直径EB
2.当圆中有相等的弦、弧时
（I）等弧时常作辅助线：（1）构造等弦或等角（2）构造平行
（II）等弦时常作辅助线：（1）构造等角（2）作弦心距（3）作平行
【小试牛刀】试一试看能写出几种证法
【证法1】，，，∴∠B=∠D
【证法2】
【证法3】
【证法4】
三、割线定理
割线PD、PC相交于点P，则
圆的基本模型（六）：垂径图
一、弧中点与垂径图
知1推5
AD平分∠CAB
D是的中点
DO⊥CB
二、垂径+相等的三段弧
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是的中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。
（1）证CO∥BD
（2）AD＝CE
（3）证：P是线段AQ的中点
（4）证：CP·CE＝AH·AB＝CQ·CB
（5）tan∠DBC＝
（6）若AD＝8，BD＝6，求AH的值
（7）若⊙O的半径为5，AQ＝，求弦CE的长.
【简证】
（1）
（2）
(3) 先利用弧相等导角证AP＝CP，再通过Rt△ACQ中的互余关系，得到PQ＝CP，
∴AP＝PQ＝CP
（4）CP＝AP，CE＝AD⇒CP•CE＝AP•AD，△APH∼△ABD⇒AP•AD＝AH•AB
（5）
（6）法一
（6）法二
（7）找到对应相似三角形是关键
补充拓展：垂径图导子母相似
如图弦CD⊥直径AB于点G，E是直线AB上一点（不与其他点重合），DE交圆O于F，CF交直线AB于点P
（1）证； （2）当点E在AB延长线上时，（1）的结论还成立吗？
圆的基本模型（七）：等腰图（直径在腰上）
直径在腰上：如图，已知AB是直径，AB=AC，则有
结论
（1）BD=CD=ED
（2）DO∥ AC
（3）知1推3：
【补充】
圆心在三线上：如图，已知AB是直径，AB=AC，则有

圆的基本模型（八）：双切图

补充：多切图
内切圆半径为r∠C＝90°⇒r＝a＋b-c2 内切圆半径为r∠C≠90°⟹(a＋b＋c)·r＝b·h(h可求)
BE，BC，GC与⊙O相切R为⊙O的半径⟹①BC＝BE＋CO②OB⊥OC,EF⊥FG③EF∥OC，OB∥GF④矩形OAFD⑤R＝OB·OCBC＝OB·OCBG＋CG·2R＝BC2-CG-BE2
圆的基本模型（九）：射影图

圆的基本模型（十）：切割图（切线和割线垂直）


【题型1】 弦切角定理与切割线定理
【例题1】（2024·四川眉山·中考真题）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结．
(1)求证：是的切线；(2)当时，求的长．
【例题2】(四川泸州中考)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC．
（1）求证：∠ACF＝∠B；（2）若AB＝BC，AD⊥BC于点D，FC＝4，FA＝2，求ADAE的值．
【例题3】（湖北·黄石中考）如图，是的直径，点D在的延长线上，C、E是上的两点，，，延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；(2)若，求弦的长．
【例题4】（湖北·十堰中考）如图，中，，以为直径的交于点，点为延长线上一点，且．
(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径．
【巩固练习1】如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，且．
(1)求证：是的切线；(2)若直径，求的长．
【巩固练习2】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接．
(1)求证：是的切线；(2)若，求和的长．
【巩固练习3】（2024·四川雅安·中考真题）如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求证：；
(3)若于D，，，求的长．
【巩固练习4】（成都中考）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为，△ABC的面积为，求CD的长；
(3)在(2)的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若，求BF的长．
【题型2】 中点弧模型
【例题1】(苏州·中考)如图，是的直径，、为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接、、．
（1）证明：；（2）设交于点，若，是的中点，求的值．
【例题2】(深圳·中考)如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将EQ \\ac(\S\UP7(⌒),CD)沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC
（1）求CD的长；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）点G为EQ \\ac(\S\UP7(⌒),ADB)的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交EQ \\ac(\S\UP7(⌒),BC)于点F（F与B、C不重合）．问GE·GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．
【拓展】（4）在（3）的条件下，当CF∥AB时，求FE·FG的值
【巩固练习1】如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB：（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径；
（3）若BD＝6，DF＝4，求AD的长
【巩固练习2】（山东枣庄·中考）如图，为的直径，点C是的中点，过点C做射线的垂线，垂足为E．

(1)求证：是切线；
(2)若，求的长；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有的式子表示）．
【巩固练习3】（2024·四川巴中·中考真题）如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线．
(2)求证：．
(3)若，，求的长．
【巩固练习4】(江苏无锡·中考)如图，是的直径，与相交于点．过点的圆O的切线，交的延长线于点，．
(1)求的度数；(2)若，求的半径．
【巩固练习5】（2024·云南昆明·一模）如图，是的两条直径，且，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接并延长交的延长线于点F，点P在上，且，连接分别交于点M，N，连接，设的半径为．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求证：；
(3)在点E的移动过程中，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【题型3】 内心模型
【例题1】（2024·山东烟台·中考真题）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，．
(1)若，求的度数；
(2)找出图中所有与相等的线段，并证明；
(3)若，，求的周长．
【例题2】(广东省·中考)如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．
（1）求证：ED＝EC；
（2）求证：AF是⊙O的切线；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC·BE＝25，求BG的长．
【巩固练习1】已知：如图，在中，E是内心，延长AE交的外接圆于点D，弦AD交弦BC于点F．
求证：；
当点A在优弧BC上运动时，若，，，求y与x之间的函数关系．
【巩固练习2】(湖北·孝感中考)如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG∥CA；
（2）求证：AD＝ID；
（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
【题型4】 线段和差问题（构造手拉手）
【例题1】在的内接四边形中，，，，点为弧的中点，则的长是 ．
【例题2】（2024·山东济宁·二模）【初步感知】
如图1，点，，均在上，若，则锐角的大小为____；
【深入探究】
如图2，小聪遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接，，．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程．
【启发应用】
如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，，，若，则的值为______．
【例题3】如图，已知是的弦，点是弧的中点，是弦上一动点，且不与、重合，的延长线交于点，连接、，过点作，垂足为，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长；
（3）当点在弦上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值．

【巩固练习1】如图，在⊙O中AB=AC，点D是 EQ \\ac(\S\UP7(⌒),CMB)上一动点（点D不与C、B重合）连接DA、DB、DC，
∠BAC=120°
（1）若AC=4，求⊙O的半径
（2）探究DA、DB、DC之间的关系，并证明。

【巩固练习2】（吉林长春·中考）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连结，
四边形是的内接四边形，
．
，
．
是等边三角形．
，
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________．
【巩固练习3】（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接AD、BD、CD．
【特殊化感知】
（1）如图1，若，点在延长线上，则与CD的数量关系为________；
【一般化探究】
（2）如图2，若，点、在AB同侧，判断与CD的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若，直接写出AD、BD、CD满足的数量关系．（用含的式子表示）
【题型5】 阿基米德折弦定理
【例题1】如图，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是⊙O的一条折弦），BC＞AB，M是 EQ \\ac(\S\UP7(⌒),ABC)的中点，过点M作MD⊥BC垂足为D，求证：CD=AB+BD.（阿基米德折弦定理）
【例题2】己知:如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于E,易证得:AE=BE,从圆上任意
一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦。
(1) 如图2，PA、 PB组成⊙O的一条折弦，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于E,
求证: AE=PE+PB
(2)如图3，PA、PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于E,则AE、PE、PB
之间存在怎样的数量关系?写出结论，并证明。
【巩固练习1】如图，已知等边三角形ABC内接于⊙O，AB=2，点D为弧AC上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于E，求△BDC的周长。


【巩固练习2】如图，△ABC内接于⊙O，AC＜BC,点D为 EQ \\ac(\S\UP7(⌒),ACB)的中点，求证AD²=AC·BC+CD²



【巩固练习3】已知⊙O是等边△ABC的外接圆，P是⊙O上一点，求证PA+PB≤AC+BC

【巩固练习4】（山西中考）古希腊数学家阿基米德提出并证明了“折弦定理”．如图1,AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦),BC>AB,M是优弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．
（1）请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
证明：如图2，在CB上截取CG=AB，
连接MA,MB,MC和MG．
∵M是 EQ \\ac(\S\UP7(⌒),ABC)的中点，
∴ EQ \\ac(\S\UP7(⌒),MA)= EQ \\ac(\S\UP7(⌒),MC)
∴MA=MC．
（2）如图(3),已知等边△ABC内接于⊙O,AB=2，D为⊙O上一点,∠ABD=45°,AE⊥BD,垂足为E，请你运用“折弦定理”求△BDC的周长．

【巩固练习5】（深圳·中考）如图,△ABC内接于⊙O,BC=2,AB=AC，点D为EQ \\ac(\S\UP7(⌒),AC)上的动点，且cs∠ABC=．
（1）求AB的长度；
（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD﹒AE的值是否变化？若不变，请求出ADAE的值；若变化，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD,求证：BH=CD+DH．
（4）拓展：求DA,DB,DC之间的数量关系

【巩固练习6】已知：如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=DC+CB．过D作AC的垂线交△ABC的外接圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N．求证：MN为△ABC外接圆的直径．

【巩固练习7】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，BD平分∠ABC交⊙O于点D，连接AD、CD。作AE⊥BD与点E，若AE=3，DE=1，求△ACD的面积

【巩固练习8】如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC=3，cs∠ABC=，D是劣弧AC上一点，且AD=2CD，求BD的长为.

【巩固练习9】如图， PA⊥x轴于点A，点B在y轴正半轴上，PA＝PB，OA=6，OB=2,，点C是线段PB延长线上的一个动点，△ABC的外接圆⊙M与y轴的另一个交点是D．
（1）证明：AD=AC
（2）试问：在点C运动的过程中，BD﹣BC的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请给出合理的解释．
【题型6】 平行弦与相交弦，垂直线，割线模型
【例题1】如图，半圆O的直径，延长到A，直线AD交半圆于点E，D，且，求的长．
【例题2】（2024·广东中山·模拟预测）如图，线段是的直径，弦于点H，点M是上任意一点，，．
(1)求的半径r的长度；
(2)求
(3)直线交直线于点，直线交于点，连接交于点，求的值
【巩固练习1】（苏州·中考）如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【巩固练习2】如图，和是的半径，并且，是上任意一点，的延长线交于点，点在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；（2）当时，试确定的取值范围；
（3）求证：
【巩固练习3】如图，线段是的直径，弦于点H，点是弧上任意一点（不与B，C重合），，．延长线段交的延长线于点E，直线交于点N，连结交于点F，则 ， ．
【巩固练习4】（湖南张家界·中考）如图，四边形内接于圆，是直径，点是的中点，延长交的延长线于点．
(1)求证：；(2)若，，求的长．
【题型7】 垂径图
【例题1】如图，为的直径，，为圆上的两点，，弦，相交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【例题2】如图，是的直径，为弦的中点，连接并延长交于点，连接交于点，延长至点，使得，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为5，，求的长．
【巩固练习1】如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为EQ D, \\ac(\S\UP7(⌒),AC)＝EQ \\ac(\S\UP7(⌒),CE)．
（1）求证：AF＝CF；（2）若⊙O的半径为5，AE＝8，求EF的长．
【巩固练习2】（2024·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点．
(1)求证：；
(2)延长至点，使，连接．
①求证：是的切线；②若，，求的半径．
【巩固练习3】（四川绵阳·中考）如图，是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为，连接交于点，连接，，．
（1）求证：；（2）若，求的长．
【题型8】 等腰图
【例题1】（成都·中考）如图，以的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接．
(1)求证：；(2)若，求和的长．
【例题2】（四川宜宾·中考）如图，线段经过的圆心O，交于A、C两点，，为的弦，连接，，连接并延长交于点E，连接交于点M．
（1）求证：直线是的切线；（2）求的半径的长；（3）求线段的长．

【巩固练习1】（黄冈·中考）如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点．
(1)求证：；(2)若，求的长．
【巩固练习2】（辽宁营口·中考）如图，在中，，以为直径作与交于点D，过点D作，交延长线于点F，垂足为点E．
(1)求证：为的切线；(2)若，，求的长．
【巩固练习3】（江苏无锡·校联考一模）如图所示，在中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．
(1)求证：EF是⊙O的切线．(2)若EB＝6，且sin∠CFD＝，求⊙O的半径与线段AE的长．
【巩固练习4】（广西玉林·中考）如图，在中，，，以AB为直径作⊙O分别交于AC，BC于点D，E，过点E作⊙O的切线EF交AC于点F，连接BD．
（1）求证：EF是△的中位线；（2）求EF的长．
【巩固练习5】（四川眉山·中考）如图，中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．
(1)求证：是的切线；(2)若，求的长．
【巩固练习6】（孝感·中考）如图，中，，以为直径的交于点，交于点，过点作于点，交的延长线于点.
（1）求证：是的切线；（2）已知，，求和的长.
【巩固练习7】（湖南娄底·一模）如图，在中，平分，交于点．是的直径，连接、过点作，交于点，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；(2)求证：；
(3)若的半径为5，，求的长．
【题型9】 双切图
【例题1】（2024·湖北·中考真题）如图，在中，，点在上，以CE为直径的经过AB上的点，与交于点，且．
(1)求证：AB是的切线；(2)若，，求的长．
【例题2】（武汉·中考）如图，PA为⊙O的切线，A为切点.过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E.
(1)求证：PB为⊙O的切线；(2)若tan∠ABE=，求sinE的值.
【例题3】如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作O的切线交CD的延长线于点E，若BC=6，tan∠CDA=，求BE的长
【巩固练习1】（四川泸州·中考）如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．
（1）求证：DF∥AO；（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．
【巩固练习2】（四川乐山·中考）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC＝6，．求BE的长．
【巩固练习3】（广东省·中考）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；
（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．
【巩固练习4】（四川·乐山中考）如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．
（1）求证：AC∥PO；
（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ＝2，求的值．
【巩固练习5】（四川遂宁·中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．
（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求证：＝；
（3）若sin∠ABC═，AC＝15，求四边形CHQE的面积．
【巩固练习6】（武汉·中考）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB，
（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若∠APC=3∠BPC，求的值．
【题型10】 射影图
【例题1】如图，已知，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过圆心O作AC的平行线OE，交BC于点E，连接DE并延长交AB的延长线于点F．
(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若BF＝1，DF＝3，求⊙O的半径；(3)若DC＝DE＝1，求AD的长．
【例题2】（安徽·统考一模）如图，中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接．
（1）求证：与相切；（2）求证：；（3）若，求的长．
【巩固练习1】（成都·一模）如图，在中，，以AB为直径的圆交AC于点D,E是BC的中点，连接DE.

（1）求证：DE是的切线；（2）设的半径为r，证明；
（3）若，求AD之长.
【巩固练习2】如图，在中，，以为直径的交于点，是的中点，连接．

(1)求证：是的切线；(2)连接，若，，求的长．
【巩固练习3】（湖南永州·中考）如图，以为直径的是的外接圆，延长到点D．使得，点E在的延长线上，点在线段上，交于N，交于G．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长；
(3)若，求证：．
【巩固练习4】（四川广安·中考）如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，点是的中点，连接．
(1)求证：是的切线；(2)若，求的长；(3)求证：．
【题型11】 切割图
【例题1】（四川凉山州中考倒数第二题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求S△BDE．
【例题2】（云南中考倒数第二题）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC．
（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若，BE＝3，求DA的长．
【巩固练习1】（2024·山东东营·中考真题）如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；(2)若，，求线段的长．
【巩固练习2】（2024·四川凉山·中考真题）如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)连接并延长，分别交于两点，交于点，若的半径为，求的值．
【巩固练习3】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线乖直，垂足为点D，AD交⊙O于点E.
(1)求证：AC平分∠DAB；
(2)直线BE交AC于点F，若cs∠CAD＝，求的值.
【巩固练习4】如图1，△ABC内接于以AB为直径的⊙O，点D在⊙O上，过点C的切线CE⊥BD于点E，直径DF交AC于点M.
(1)求证： ＝ ；
(2)如图2，若＝，求tan∠BAC的值.
【巩固练习5】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点O在AB上，以OA为半径的⊙O经过点D，与AB交于点E.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若cs∠ABC＝，AE＝4，求CD的长.
【巩固练习6】如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接BD.
(1)求证： ＝；
(2)若cs∠CAD＝，求tan∠BDC的值.
【巩固练习7】如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为半圆上的一点，AD垂直于经过点C的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E，AC与OD相交于点G.
(1)求证：＝；(2)若＝，求tan∠ODE的值.
【题型12】 圆与三角函数综合
【例题1】(四川自贡中考)如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，AE⊥CD于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD.
(1)求证:∠DAE=∠DAC；(2)求证:；
(3)若，，求EF的长.

【巩固练习1】(2023·新疆 )如图，是的直径，点，是上的点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点．

(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．
【巩固练习2】(四川遂宁·中考)如图，四边形内接于，为的直径，，过点的直线l交的延长线于点，交的延长线于点，且．

(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)当，时，求的长．
【巩固练习3】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，为的内接三角形，AB为的直径，将沿直线AB翻折到，点在上．连接CD，交AB于点，延长BD，CA，两线相交于点，过点作的切线交于点．
(1)求证：；(2)求证：；(3)若，．求的值．
【巩固练习4】（2024·广西·中考真题）如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；(2)求证：与相切；
(3)若，，求的半径．
【题型13】 圆与相似综合
【例题1】（2024·四川广安·中考真题）如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，．
(1)求证：是的切线；
(2)点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长．
【例题2】（山东泰安中考最后1题）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
(1)求证：CD＝ED ;
(2)AD与OC，BC分别交于点F，H．
①若CF＝CH，如图2，求证：；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3．求AC的值．

图1图2 图3
【巩固练习1】（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长和的直径．
【巩固练习2】（2024·四川泸州·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，过点B作的切线与的延长线交于点D，点E在上，，交于点F．
(1)求证：；(2)过点C作于点G，若，，求的长．
【巩固练习3】（2024·广东揭阳·模拟预测）如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点．
(1)求证：是切线；(2)求证：；
(3)若是中点，求的长．
【巩固练习4】（2024·广东中山·三模）如图，已知以的边为直径作的外接圆，的平分线交于，交于，过作交的延长线于，，
(1)求证：是切线；(2)求；(3)求的值．
【巩固练习5】（2024·四川德阳·二模）如图，以为直径的上有两点E，F．点E是弧的中点，过点E作直线交的延长线于点D，交的延长线于点C．过点C作平分交于点M，交于点N．
(1)求证：是的切线；(2)求的度数；(3)若点N是的中点，且，求的长．