2025年中考数学压轴题型模型方与技巧(通用版)专题03圆的综合训练(原卷版+解析)特训

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc187088802" 【题型1】 圆中利用勾股求线段长 PAGEREF _Tc187088802 \h 1
\l "_Tc187088803" 【题型2】 求圆中阴影面积 PAGEREF _Tc187088803 \h 4
\l "_Tc187088804" 【题型3】 圆与三角函数 PAGEREF _Tc187088804 \h 6
\l "_Tc187088805" 【题型4】 圆中截长补短构造手拉手模型 PAGEREF _Tc187088805 \h 10
\l "_Tc187088806" 【题型5】 圆与相似 PAGEREF _Tc187088806 \h 14
\l "_Tc187088807" 【题型6】 圆中的动点问题 PAGEREF _Tc187088807 \h 18
\l "_Tc187088808" 【题型7】 圆中的探究性问题 PAGEREF _Tc187088808 \h 23
\l "_Tc187088809" 【题型8】 圆的综合性问题 PAGEREF _Tc187088809 \h 28
\l "_Tc187088810" 【题型9】 圆中的定值问题 PAGEREF _Tc187088810 \h 34
题型汇编
知识梳理与常考题型
【题型1】 圆中利用勾股求线段长
【例题1】（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E．
(1)求证：；(2)若，，求的半径．
【巩固练习1】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．
(1)求证：；(2)若，，求的半径．
【巩固练习2】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点．
(1)求证：平分；(2)如果，，求的半径．
【巩固练习3】（2024·广东中山·三模）如图，已知以的边为直径作的外接圆，的平分线交于，交于，过作交的延长线于，，
(1)求证：是切线；(2)求；(3)求的值．
【巩固练习4】（2024·四川德阳·模拟预测）如图，在中，且点E为的中点，的平分线交于点M，点O在上，以点O为圆心，的长为半径的圆经过点M，交于点G，交于点F．
(1)求证：为的切线；(2)当时，求的半径；
(3)试探究线段和之间的数量关系．
【题型2】 求圆中阴影面积
【例题1】（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【例题2】（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习1】（2024·四川资阳·中考真题）如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ．
【巩固练习2】（2024·宁夏·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)连接，若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
【巩固练习3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【巩固练习4】（2024·广东惠州·三模）如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接．
(1)填空： °；(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积．
【题型3】 圆与三角函数
【例题1】（2024·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ．
【例题2】（2024·四川成都·模拟预测）如图，是的外接圆，为直径，平分交于点，交于点，连接交于点，连接．

(1)求证：；(2)若，，求和的长．
【例题3】（2024·山东济南·中考真题）如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，．
(1)求证：与相切；(2)若，求的长．
【巩固练习1】（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．

【巩固练习2】（2024·重庆·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是 ；的长度是 ．
【巩固练习3】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．

(1)求证：是的切线；(2)求的长．
【巩固练习4】（2024·西藏·中考真题）如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，，交延长线于点E．
(1)求证：是的切线；(2)若的半径为5，，求的长．
【巩固练习5】（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；(2)若，，求的直径．
【巩固练习6】（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，，O为上一点，F是上一点，经过点A，F的交于点E，并且切于点D，连接交于点．

(1)求证：；(2)若，，求的长．
【巩固练习7】（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E．
(1)求证：为的切线；(2)若，，求的半径．
【题型4】 圆中截长补短构造手拉手模型
【例题1】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ）
A．B．C．D．
【例题2】（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接AD、BD、CD．
【特殊化感知】
（1）如图1，若，点在延长线上，则与CD的数量关系为________；
【一般化探究】
（2）如图2，若，点、在AB同侧，判断与CD的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若，直接写出AD、BD、CD满足的数量关系．（用含的式子表示）
【巩固练习1】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，内接于，为的直径，平分交于．则的值为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】如图，在⊙O中AB=AC，点D是 EQ \\ac(\S\UP7(⌒),CMB)上一动点（点D不与C、B重合）连接DA、DB、DC，∠BAC=120°
（1）若AC=4，求⊙O的半径;（2）探究DA、DB、DC之间的关系，并证明。

【巩固练习3】在的内接四边形中，AB=6,AD=10，∠BAD=60°，点为弧的中点，则的长是 ．
【巩固练习4】（2024·山东济宁·二模）【初步感知】
如图1，点，，均在上，若，则锐角的大小为____；
【深入探究】
如图2，小聪遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接，，．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程．
【启发应用】
如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，，，若，则的值为______．
【题型5】 圆与相似
【例题1】（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，．
(1)求证：是的切线；(2)若的半径为6，点为线段的中点，，求的长．
【例题2】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，为的直径，点D为上一点，，延长至E，使得．
(1)求证：是的切线；(2)若，求的长．
【例题3】（2024·重庆·中考真题）如图，以为直径的与相切于点，以为边作平行四边形，点D、E均在上，与交于点，连接，与交于点，连接．若，则 ． ．
【巩固练习1】（2024·四川眉山·中考真题）如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为 ．
【巩固练习2】（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使．
(1)若，为直径，求的度数．(2)求证：①；②．
【巩固练习3】（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长和的直径．
【巩固练习4】（2024·四川泸州·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，过点B作的切线与的延长线交于点D，点E在上，，交于点F．
(1)求证：；(2)过点C作于点G，若，，求的长．
【巩固练习5】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接．
(1)求证：是的切线；(2)若，求和的长．
【巩固练习6】（2024·四川凉山·中考真题）如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)连接并延长，分别交于两点，交于点，若的半径为，求的值．
【题型6】 圆中的动点问题
【例题1】（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．

(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长．
【例题2】2024·山东日照·中考真题）如图1，为的直径，是上异于的任一点，连接，过点A作射线为射线上一点，连接．
【特例感知】
（1）若．则_______．
（2）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形；
【深入探究】
若在点C运动过程中，始终有，连接．
（3）如图2，当与相切时，求的长度；
（4）求长度的取值范围．
【巩固练习1】（2024·四川德阳·中考真题）已知的半径为5，是上两定点，点是上一动点，且的平分线交于点．
(1)证明：点为上一定点；
(2)过点作的平行线交的延长线于点．
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若为锐角三角形，求的取值范围．
【巩固练习2】（2024·云南昆明·一模）如图，是的两条直径，且，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接并延长交的延长线于点F，点P在上，且，连接分别交于点M，N，连接，设的半径为．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求证：；
(3)在点E的移动过程中，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【巩固练习3】（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角．
①的度数为_________；
②连接，若的半径为5，求线段的长；
【拓展提升】
（2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？
【巩固练习4】（2024·江苏泰州·二模）如图，四边形内接于，为的一条定直径，于点F．设，，．
【初步认识】
（1）①求证：；
②若，求的值．
【特值探究】
（2）若，，，求长；
【逆向思考】
（3）点D为上右侧的任意一点，总有成立，试判断的形状并说明理由．
【题型7】 圆中的探究性问题
【例题1】（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图①
小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由：
【实践探究】
连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值．
请求出当．时，长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段DE所成的比始终相等．请予以证明．
【巩固练习1】（2024·山东济宁·二模）【初步感知】
如图1，点，，均在上，若，则锐角的大小为____；
【深入探究】
如图2，小聪遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接，，．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程．
【启发应用】
如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，，，若，则的值为______．
【巩固练习2】（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角．
①的度数为_________；
②连接，若的半径为5，求线段的长；
【拓展提升】
（2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？
【巩固练习3】（2024·江苏泰州·二模）如图，四边形内接于，为的一条定直径，于点F．设，，．
【初步认识】
（1）①求证：；
②若，求的值．
【特值探究】
（2）若，，，求长；
【逆向思考】
（3）点D为上右侧的任意一点，总有成立，试判断的形状并说明理由．
【巩固练习4】（2024·山东滨州·模拟预测）【问题探究】
如图，为的外接圆，是直径，，点是直径左侧的圆上一点，连接，，，将绕点逆时针旋转得到，若，求四边形的面积；
【问题解决】
如图，为等边的外接圆，半径为，点在弧上运动（不与点，重合）．连接，，．设线段的长为，四边形的面积为．求与的函数关系式，是否有最大值，若有，求出其最大值；若没有，说明理由．
【题型8】 圆的综合性问题
【例题1】（2024·贵州·中考真题）如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，．
(1)写出图中一个与相等的角：______；(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【例题2】（2024·四川广安·模拟预测）如图，四边形内接于为的直径，点D为的中点，过点的直线l交的延长线于点M．交的延长线于点N，且．
(1)求证：是的切线；(2)求证：；
(3)当时，求的长．
【例题3】（2024·内蒙古·中考真题）如图，内接于，直径AB交CD于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若．
①求DE的长；②求的半径．
【例题3】（2024·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点．
(1)求证：；
(2)延长至点，使，连接．
①求证：是的切线；②若，，求的半径．
【巩固练习1】（2024·四川巴中·中考真题）如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线．(2)求证：．(3)若，，求的长．
【巩固练习2】（2024·四川雅安·中考真题）如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，．
(1)求证：是的切线；(2)若，求证：；
(3)若于D，，，求的长．
【巩固练习3】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，为的内接三角形，AB为的直径，将沿直线AB翻折到，点在上．连接CD，交AB于点，延长BD，CA，两线相交于点，过点作的切线交于点．
(1)求证：；(2)求证：；(3)若，．求的值．
【巩固练习4】（2024·广西·中考真题）如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；(2)求证：与相切；
(3)若，，求的半径．
【巩固练习5】（2024·广东中山·模拟预测）如图，线段是的直径，弦于点H，点M是上任意一点，，．
(1)求的半径r的长度；(2)求
(3)直线交直线于点，直线交于点，连接交于点，求的值
【巩固练习6】（2024·广东韶关·二模）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，于点F，延长至点Q，连接，，
(1)求证：是的切线；
(2)若点P是上的一点，连接．
①求的值；②若为的角平分线，求的长．
【巩固练习7】（2024·山东烟台·中考真题）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，．
(1)若，求的度数；
(2)找出图中所有与相等的线段，并证明；
(3)若，，求的周长．
【题型9】 圆中的定值问题
【例题1】（23-24九年级下·浙江杭州·期中）如图，已知AB是的弦，点、是上的两个点，AD交于点，连结DB，．
(1)求证：点是的中点．
(2)若，求的值．
(3)若，则的值是否为定值？如果是，请求出其值；如果不是，请说明理由．
【例题2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是等边的外接圆，P点是劣弧上的一个动点(不与点A，B 重合)．
(1)求的度数；(2)若，，求的长；
(3)若，点P在劣弧上运动的过程中，
①的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围．
②试探究的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围．
【巩固练习1】（浙江杭州·二模）如图，，是的两条直径，AB⊥CD，点E是上一动点（点E不与B，D重合），，分别交，G，连接．设的半径为r，．
​
(1) （用含α的代数式表示）；
(2)当时，求证：；
(3)判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【巩固练习2】（2024·广东珠海·模拟预测）如图1，点为轴正半轴上一点，交轴于两点，交轴于两点，点为劣弧上一个动点，且．
(1)如图1，连结，取中点，连结，则的最大值为________；
(2)如图2，连接．若平分交于点，求的长；
(3)如图3，连接，当点运动时（不与两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．
【巩固练习3】已知内接于．
(1)如图1，过点作于点，交于点，过点作于点，交于点，试探究与的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，在（1）的条件下，过点作于点，试证明：；
(3)如图3，作的角平分线交圆于点，若点为劣弧上一动点，连接，过点作于点，试猜想的值是否是定值，如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由．
【巩固练习4】（2024·广东佛山·二模）综合运用
如图，直线与y轴、x轴分别交于A、B两点，点C的坐标为，点P是线段上一点且点P与点O不重合．过A、O、P三点的圆与直线交于点D．连接交圆于点E．
(1)求的度数；
(2)当和相似时，求点P的坐标；
(3)设点P的横坐标为m，的值是定值吗？若是，求出该定值；若不是，用含m的式子表示．