2025年中考数学压轴专题汇编(江苏专用)压轴专题13四边形压轴(原卷版+解析)特训

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例题1如图，菱形中，，，点是线段上一点（不含端点），将沿翻折，的对应边与相交于点．
(1)当时，求的长；
(2)若是等腰三角形，求的长；
(3)若，求的取值范围．

1．（2024·江苏扬州·一模）已知菱形中，点E是对角线上一点，点F是边上一点，连接、、，
【特例探究】
(1)如图1，若且，线段、满足的数量关系是________；
(2)如图2，若且，判定线段、满足的数量关系，并说明理由；
(3)【一般探究】如图3，根据特例的探究，若，，请求出的值（用含的式子表示）；
(4)【发现应用】如图3，根据“一般探究”中的条件，若菱形边长为1，，点F在直线上运动，则面积的最大值为________，
2．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．

(1)∠EDC的度数为 ；
(2)连接PG，求△APG 的面积的最大值；
(3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
(4)求的最大值．
3．（2021·江苏扬州·中考真题）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为___________；
②面积的最大值为_________；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明；
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且．
①线段长的最小值为_______；
②若，则线段长为________．
4．矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；
（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．

5．（2023·江苏淮安·三模）如图，在中，，，，点是边上一动点，将沿着翻折，得到．直线和边所在直线交于点．
(1)如图①，当点恰好落在边上时，求的长．
(2)①如图②，当点落在内部时，试探索的数量关系，并说明理由．
②当点落在外部时，①中探索的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出新的数量关系．
(3)当点恰好落在边上时，点的位置记为．当点从点运动到点时，直接写出点的运动路径长．
6．（2024·江苏泰州·三模）如图，点分别在菱形的各边上．
【初步认识】
（1）如图，若，则四边形一定是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【变式探究】
（2）如图，若交于点，分别是上一点，，，的延长线分别交在于点，求证：四边形是矩形．
【深入思考】
（3）如图，若交于点，且，当满足什么条件时，可作出两个不同矩形，请直接写出你的结论．
（4）在（3）的条件下，设，请探索与满足的关系式．
7．（2024·江苏扬州·二模）如图，点E是边长为2的正方形边上一动点，连接，将射线绕点B顺时针旋转交边于点F，过点E作，垂足为点H，连接交于G，在点E从点A运动到点D运动过程中．
(1)直接写出的度数为_______ °；
(2)连接，
①的比值是否为定值，是定值求出该比值，不是定值请说明理由；
②当时，直接写出的长；
(3)在点E运动过程中，的面积记为，的面积记为，求出的最大值．
8．（2024·江苏镇江·二模）“折纸”是同学们经常做的手工活动．
如图1，矩形纸片，，点O为其对称中心，小明沿着过点 O 的直线将矩形纸片进行折叠，折痕交边于点 M、N，点A、B的对应点记为交边于点E．
(1)如图2，当点与点D重合时， ；
(2)在上述折叠过程中，求证：
①为等腰三角形；
② ；
(3)如图3，，连结交于点F，连接，则的面积为 ．
9．（2024·江苏南京·二模）用矩形纸片可以折叠出等边三角形，但折叠会损耗矩形纸片的面积．能否将整张矩形纸片无损耗地剪拼成一个等边三角形呢？
(1)有些矩形纸片很容易剪拼成等边三角形．如图两个矩形纸片只需剪1~2刀就可以拼成等边三角形，请画出分割线，并做必要标注．
(2)任意矩形要剪拼成等边三角形很难想到，不妨倒过来考虑，即研究将等边三角形纸片剪拼成矩形，图③是一种可行的分割方案：
①求证：；
②将图③中甲、乙、丙三部分进行平移或旋转可以拼出矩形，在原图中画出拼接矩形的示意图．
(3)如何将一张纸（如图④，，）剪拼成等边三角形？在图中画出分割线（标注必要的长度或角度，写出必要的文字说明）．
10．（2024·江苏盐城·一模）综合与实战
【问题情境】最完美的四边形是正方形，在“综合与实战”课上，老师和同学们一起对正方形进行了再探究：如图，正方形的对角线，相交于点．
【数学思考】老师首先提出了如下问题：
（1）如图，作关于的对称图形，连接交于点．试判断与的数量关系，并说明理由：
【深入探究】老师让同学提出新的问题：
（2）善思小组提出问题：如图，以为直径作，点为上的动点，连接，，若正方形的边长为，求面积的最大值；
（3）智慧小组提出问题：如图，以为直径作，点为上的动点，过点作对角线的垂线，垂足为，若正方形的边长为，求的取值范围．
11．（2024·江苏泰州·二模）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，轴．
(1)若菱形边长为5，对角线．
①若点，反比例函数的图像经过点B．求该反比例函数的表达式，并判断点A是否在这个反比例函数图像上；
②是否存在点，使得反比例函数的图像同时经过点A、B？若存在，求a、b满足的关系式；若不存在，说明理由．
(2)如图2，菱形的顶点A，B和边的中点E在反比例函数图像上，顶点C、D在反比例函数图像上，边与y轴的交点为F，
①求的值；
②若，则菱形的面积为 ．
12．（2024·江苏苏州·一模）数学实验活动：两个正方形纸片的摆放．
将两个边长为的正方形纸片、按图①方式进行摆放后，得到了8个阴影三角形，这些三角形的周长会有怎样的特点呢？数学实验小组经过探究，有了如下3个发现：
发现1：图①中的8个阴影三角形的周长之和是一个定值，这个定值为_______；
发现2：将两个正方形按图②方式进行摆放，其中经过点，且与、都相交，交点分别为、，则图中的阴影三角形（）的周长是一个定值，请你求出这个值；
发现3：在图②的情形下，按图③方式平移正方形纸片，使得分别与、相交于点、，分别与、相交于点、，则图中的2个阴影三角形（与）的周长之和也是一个定值，请你求出这个值．
13．（2024·江苏泰州·一模）【定义呈现】有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形，其中，这两个内角称为倍角．例如：如图1，在四边形中，，，那么我们就叫这个四边形是倍对角四边形，其中，称为倍角．
【定义理解】如图1，四边形是倍对角四边形，且，是倍角．求的度数；
【拓展提升】如图2，四边形是倍对角四边形，且，是倍角，延长、交于点A．在下方作等边三角形，延长、交于点G．若，，，四边形的周长记为．
（1）用的代数式表示；
（2）如图3，把题中的“”条件舍去，其它条件不变．
①求证：；
②探究是否为定值．如果是定值，求这个定值，如果不是，请说明理由．
14．（2024·江苏泰州·一模）已知，点是边长为(为常数)的正方形内部一动点，于， 于，连结，，，，记，，的面积分别为，，，令，．
(1)如图，点P在对角线上．
①求（用含、的代数式表示）
②是否存在实数，使的值与点在上的位置无关．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)若 ，当点在内部(不含边界)时(如图)．
①求的取值范围；
②试说明：的值随着的增大而增大．
15、在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变化规律和性质．
【操作探究】
(1)如图1，已知，，将绕着直角边中点G旋转，得到，当的顶点D恰好落在的斜边上时，斜边与 交于点H．

①猜想： _________
②证明：．
【问题解决】
(2)在（1）的条件下，已知，，求的长．
【拓展提升】
(3)如图2，在菱形中，，， 将菱形绕着中点M顺时针旋转，得到菱形，当菱形的顶点E分别恰好落在菱形的边和对角线上时，菱形的边与边相交于点 N， 请直接写出的长．

16、综合与探究．
【特例感知】
（1）如图（a），是正方形外一点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，．求证：；
【类比迁移】
（2）如图（b），在菱形中，，，是的中点，将线段，分别绕点顺时针旋转得到，，交于点，连接，，求四边形的面积；
【拓展提升】
（3）如图（c），在平行四边形中，，，为锐角且满足．是射线上一动点，点，同时绕点顺时针旋转得到点，，当为直角三角形时，直接写出的长．
17．已知矩形中，，，点E、F分别在线段上，把沿直线翻折，点B落在点
(1)当点E与点A重合时，
①如图1，连接，射线交于点G，求证：点G在折痕的垂直平分线上；
②如图2，连接，若是直角三角形，则______；
③在点F运动变化过程中，试判断能否平分矩形的面积？若能，求出的值；若不能，则说明理由；
(2)如图3，若时，连接、，求四边形面积的最小值．
18、（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，
①若，过作交于点，求证：；
②若时，则______．

（2）如图，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值．

（3）如图，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长．

19、我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，是的中线，，垂足为P．像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，．

(1)[特例探索]
如图1，当，时，______，______；
如图2，当，时，______，______．
(2)[归纳证明]
请你观察（1）中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系．
(3)[拓展应用]
利用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形中，为对角线中点，分别为线段，的中点，连接并延长交于点．分别交于点，如图4所示，求的值．
知识考点与解题策略
本专题主要知识点比较基础，但需要结合相等、模型构造、分类讨论、相似等多个知识点综合来进行分析，所以整体难度才会比较大。本质还是根据相关性质推理出三角形相关的问题。
模型01 平行四边形的性质与判定
性质/图形
平行四边形
边
两组对边平行且相等
角
对角相等、邻角互补
对角线
互相平分
对称性
中心对称图形
判定方法：
（1）与边有关的判定：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
模型02 菱形的性质与判定
性质/图形
菱形
边
四条边相等
角
对角相等、邻角互补
对角线
对角线互相垂直且平分
对称性
既是轴对称，又是中心对称
判定方法：
（1）先证平行四边形，再证一组邻边相等；
（2）先证平行四边形，再证对角线互相垂直；
（3）证四条边都相等的四边形；
（4）证对角线互相垂直且平分的四边形；
模型03 矩形的性质与判定
性质/图形
矩形
边
对边平行且相等
角
四个角都是90°
对角线
相等且互相平分
对称性
既是轴对称，又是中心对称
判定方法：
（1）先证平行四边形，再证一个内角是直角；
（2）先证平行四边形，再证对角线相等；
（3）证三个角为直角；
模型04 正方形的性质与判定
性质/图形
正方形
边
四条边相等
角
四个角都是90°
对角线
对角线互相垂直、平分且相等
对称性
既是轴对称，又是中心对称
判定方法：
由菱形到正方形（1）有一个内角是直角的菱形是正方形；
（2）对角线相等的菱形是正方形；
由矩形到正方形：（1）邻边相等的矩形是正方形；
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形。
已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考：
（1）这样的点唯一吗？
（2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？