2025年中考数学压轴专题汇编(江苏专用)压轴专题03二次函数(特殊四边形存在性问题)(原卷版+解析)特训

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例题1 如图，抛物线的对称轴为直线x=-1，与x轴交于两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，试判断的形状，并说明理由；
(3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)存在，
【分析】（1）将三点坐标分别代入抛物线中即可求出的值，从而得出抛物线的解析式；
（2）根据（1）中求出的抛物线解析式得出的坐标，通过两点间距离公式可求出的值，计算发现，根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形；
（3）利用平行四边形的性质：对角线互相平分，则对角线的中点为固定值进行分类讨论：两条对角线为时；两条对角线为，时；两条对角线为时，即可得出符合条件的的坐标．
【详解】（1）解：将代入抛物线中，
得，
可解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：应为直角三角形，
证明如下：
由（1）得：抛物线的解析式为，
且是抛物线的顶点，
，
又，
，
，
，
，
故根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形．
（3）解：存在，均可满足条件．
∵要使以为顶点的四边形为平行四边形，
且平行四边形中对角线互相平分，
∴对角线的中点为固定值．
∵在抛物线对称轴上，在抛物线上，
∴可设，
则可分为以下三种情况进行讨论：①两条对角线为时，
有，
解得，
即此时；
②两条对角线为时，
有，
解得，
即此时；
③两条对角线为时，
有，
解得，
即此时．
故满足条件的点有3个，分别为．
例题2如图，一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点B和点C，二次函数的图像经过B，C两点，并与x轴交于点A．点是线段上一个动点（不与点O、B重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图像和直线相交于点D和点E，连接．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，点M的坐标为或或．
【分析】（1）由一次函数求出B，C两点的坐标，代入二次函数中可求出b，c，从而可求出二次函数的解析式；
（2）当以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，讨论画出所有的情况，再利用菱形的四边相等，求解对应m的值，从而得到点M的坐标．
【详解】（1）解：将代入一次函数得：，
∴点C坐标，
将代入一次函数得：，
∴点B坐标，
将点B、C代入抛物线得，
，
解得，
∴抛物线．
（2）存在，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，需满足以下三种情况：
由（1）可得，点，，，
，
当时，，解得（舍去），（舍去），
此时点M的坐标为；
②当时，，解得或0（0舍去），
此时点M的坐标为；
③当时，，
解得（舍去），（舍去），此时点M的坐标为；
综合上述，存在，点M的坐标为或或．

1、如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形为正方形时，线段的长为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质以及正方形的性质是解题的关键．代入求得抛物线解析式为，设E点坐标为，进而表示出F、C点坐标，利用列出方程求解即可．
【详解】解：代入到抛物线，得，
解得：，
抛物线解析式为：，
设E点坐标为，由抛物线的对称性得F点坐标为，
轴，
点坐标为，
四边形为正方形，
，
即，
解得：（舍去），
，
．
故选：D．
2、如图，在正方形中，点、的坐标分别是、2,0，点在抛物线的图象上，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特点，利用一线三等角，构造全等三角形，证明对应边相等，利用，坐标，即可得出点坐标，代入，即可得出的值
【详解】作轴于，于，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，
，
，，
设，
点、的坐标分别是、2,0，
，解得，
，
在抛物线的图像上，
，
，
故答案为：．
3．如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限内抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，当四边形是正方形时，求点的坐标；
(3)如图2，连接，，过点作交线段于点，连接，，，记与面积分别为，，设，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，利用二次函数求最值等，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识是解题的关键；
（1）把，，代入，即可求得答案；
（2）设，根据四边形是正方形，可得，即，解方程即可得出答案；
（3运用待定系数法求出直线的解析式，由，则，可得，设，则，可得，再由，再运用二次函数的最值求得答案；
【详解】（1）解：把，，代入得，
，
解得：，，，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设，
四边形是正方形，
，
即，
解得：，
，
，
∴当四边形是正方形时，点的坐标；
（3）解：如图，连接，过点作轴交于点．
设直线的解析式为．
把，代入，得，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
，
，
由题意，得，
当时，达到最大值为；
4．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，且，点为线段上一动点（不与点重合），过点作矩形，点在轴上，点，在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当矩形的周长最大时，求矩形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查待定系数法求解析式，矩形的性质，函数思想求最大值；
（1）先求出点的坐标，由，可推出点坐标，将点坐标代入可求出的值，即可写出抛物线的解析式；
（2）设点，用含的代数式表示出矩形的周长，用函数的思想求出取其最大值时的值，即求出点的坐标，进一步可求出矩形的面积；
解题关键是用含的代数式表示出矩形的周长并用函数的思想求最大值．
【详解】（1）解：在抛物线中，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
将代入，得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）设，
∵抛物线的解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴点到对称轴的距离为，点到轴的距离为：，
由抛物线的对称性可得，
∴矩形的周长为：，
即，
∵，
∴当时，矩形周长存在最大值，
此时，
∴，，
∴，
∴矩形的面积为．
5．（24-25九年级上·江苏宿迁·模拟练习）如图所示，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．
(1)则点的坐标为 ；顶点的坐标为 ；
(2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)若直线（）分别交直线和抛物线于点，点为平面内任意一点，当点构成的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)；
(2)最大值是，点的坐标为
(3)或或或
【分析】（）令x=0可得点的坐标，将抛物线的解析式配方后可得点的坐标；
（）如图，连接，设点的坐标为，根据计算后配方即可解答；
（）先根据待定系数法可求得直线的解析式为，设，则，分三种情况：①如图，当时，；②当为对角线时，点与的中点在轴上；③如图，当时，分别列方程可解答即可求解．
【详解】（1）解：当x=0时，，
∴；
∵，
∴顶点的坐标为；
故答案为：；；
（2）解：如图，连接，
设点的坐标为，
令时，则，
解得，，
∴，
∴，
由（）知：，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值是，
此时点的坐标为；
（3）解：设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，，
分三种情况：
①如图，当时，，
∴或，
解得（不合，舍去），，，
∴点的坐标为或；
②当为对角线时，
∵，四边形是菱形，
∴的中点在轴上，
∴，
解得，（不合，舍去），
∴；
③如图，当时，则，
∴，
∴，
解得（不合，舍去），，
∴；
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积，菱形的性质等知识，本题综合性较强，掌握二次函数的图象和性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
6．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)E是直线上方抛物线上的一动点，当三角形面积最大时，求点E的坐标；
(3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)点E的坐标为；
(3)点的坐标为或或．
【分析】（1）根据直线解析式求得的坐标，代入求解即可；
（2）过点作轴的平行线，交于点，设，则，则，利用得到关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解；
（3）分为对角线和边两种情况，利用平行四边形的性质，求解即可．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
则，，
将，代入抛物线解析式可得：
，
解得，
即；
（2）解：过点作轴的平行线，交于点，如图，
设，则，
∴，
∴
，
∵，∴当时，有最小值，最小值为3；
此时点E的坐标为；
（3）解：存在，由抛物线可得对称轴为，即，
当为边时，点到点的水平距离是4，
∴点到点的水平距离也是4，
∴点的横坐标是5或，
代入抛物线解析式可得，，，
即点的坐标为或，
当为对角线时，点到点的水平距离是3，
∴点到点的水平距离也是4，
∴点的横坐标是3或（与前一种情况重复，舍去），
则，即点的坐标为，
综上，点的坐标为或或．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求二次函数，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数与平行四边形的性质，学会利用分类讨论的思想求解问题．
7．如图，已知二次函数的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点，抛物线的顶点A坐标为），连接．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，点P在直线下方抛物线上的一个动点，过点P作交于点Q，过点P作轴交于点E，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点M在新抛物线对称轴上运动，点N是平面内一点，若以B、P、M、N为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】(1)
(2)的最大值为，此时点P的坐标为
(3)
【分析】（1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法可得直线CD的解析式为设，可表示出，利用等腰直角三角形性质可将表示的长，进而用点坐标将表示成函数，借助二次函数求最值的方法即可求得的最大值．
（3）菱形的存在性问题先转化为求以为边的等腰三角形的存在性问题，然后根据平行四边形存在性问题的处理方法写出第四点N即可．
【详解】（1）解：由题意得抛物线解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴抛物线解析式为
（2）解：在中，当时，解得或，
∴
设直线CD的解析式为，
则
解得：，
∴直线CD的解析式为，
设，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，点E的纵坐标与点P的纵坐标相同，
∴，
∴，
∴
∴
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
∵
∴当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为；
（3）解：依题意，抛物线沿射线平移个单位即抛物线向右平移2个单位，向上平移2个单位．
∴平移后抛物线解析式为：，
∴平移后的抛物线对称轴为直线．
故设点，
又∵，
∴，
，
，
由题意知，以BM为腰的等腰三角形有两种情况：
如图1，当时，

则，
解得：

由平行四边形对角线互相平分可知：
∴
②如图2，当时，

则
解得：
∴
∴
综上：使以BM为边的菱形的N点有：．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
8．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”．
(1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是 ；
(2)如图②，已知点，是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点．连接，，，求的面积；
(3)在（2）的条件下，点为抛物线上一点，点为平面内一点，是否存在点、，使得以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，或
【分析】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，菱形的性质，理解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键．
（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或边上；
（2）根据“梦之点”的定义和二次函数的解析式，求得，的坐标；根据二次函数的顶点式，求出抛物线的顶点，点的坐标，抛物线的对称轴，根据，即可求得答案；
（3）设，由以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形可得，利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案．
【详解】（1）∵矩形的顶点坐标分别是，，，，
∴设矩形的“梦之点”为，满足，，
∴点，，中，是矩形“梦之点”为点，．
故答案为：，．
（2）∵，是抛物线上的“梦之点”
∴点，是直线上的点，
∴，
∴，，
∴，；
∵，
∴二次函数的顶点，二次函数的对称轴为，
设抛物线的对称轴交于，
∴M1,1，
∴
∴
．
（3）存在，理由如下：
设，
∵以为对角线，以、、、为顶点的四边形是菱形，
∴，
∴，
解得：，
当，，
∴点；
当，，
∴点；
综上所述，点的坐标为：或者．
9．（24-25九年级上·江苏宿迁·模拟练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点，顶点为点，连接、，点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点．
(1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标；
(2)当的值最大时，求点的坐标及的最大值；
(3)如图2，在（2）的条件下，是此抛物线对称轴上长为2的一条动线段（点在点上方），连接、，当四边形周长取最小值时，求点的坐标；在此条件下，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标．
【答案】(1)；
(2)；最大值为
(3)、、
【分析】（1）由待定系数法求出抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可；
（2）作交直线于点，作交直线于点，得：，得到，，待定系数法求出直线的表达式，点N的坐标是，求出，求的最大值，就是求的最大值，即的最大值，设，，得PQ＝，进而求出答案；
（3）先说明最小，就是最小；作，且，连接，如图4，则；作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点，则点运动到点时，最小；待定系数法求出直线的表达式，得到，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，得出答案．
【详解】（1）解：由抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点得：
，
解得：，
∴；
对称轴：直线，
∴，
∴点G的坐标为．
（2）解：如图3，作交直线于点，作交直线于点，得：，
∴，
∴，
设直线的表达式为，
∴，
解得，
即；
∵，
∴把x＝﹣2代入得y＝，
∴点N的坐标是，
∴；
∴求的最大值，就是求的最大值，即求的最大值；
设，，
∴
；
当时，最大值时3，，
∴的最大值的最大值；
（3）解：∵在中，，
∴；
∴，
∴最小，就是最小；
作，且，连接，如图4，
∴四边形是；
∴，
∴；
作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点，则点运动到点时，最小；
设直线的表达式为，
∴，
解得，
即；
∴；
以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，
∴、、．
【点睛】此题是二次函数与几何综合题，考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的图像和性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，作出正确的辅助线是解题的关键．
10．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）求出点A的坐标和点D的横坐标；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】（1）A（﹣1，0），点D的横坐标为4；（2）a；（3）能，P（1，）或P（1，﹣4）
【分析】(1)令抛物线y=0，即可求出A点和B点坐标，再根据CD=4AC得到D点横坐标为A点横坐标的绝对值的4倍，由此求解；
(2) 过E作EF∥y轴交直线l于F，设E(x，ax2-2ax-3a)，得到F(x，ax+a)，求出EF=ax2-3ax-4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
(3)令ax2-2ax-3a=ax+a，即ax2-3ax-4a=0，得到D(4，5a)，设P(1，m)，分类讨论：①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．
【详解】解：(1) 当y=ax2-2ax-3a=a(x+1)(x-3)=0时，得A(-1，0），B(3，0)，
∵直线l：y=kx+b过A(-1，0)，
∴0=-k+b，即k=b，
∴直线l：y=kx+k，
∵CD=4AC，
∴D点横坐标为A点横坐标的绝对值的4倍，
∴点D的横坐标为4，
故答案为：A(-1，0)，点D的横坐标为4；
(2)D的横坐标代入二次函数得到：D(4,5a)，
如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F，
设E(x，ax2﹣2ax﹣3a)，
∵直线l：y=kx+b过A（-1，0），
∴0=-k+b，即k=b，
∴直线l：y=kx+k，
则F(x，ax+a)，EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，
∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF(ax2﹣3ax﹣4a)(x+1)(ax2﹣3ax﹣4a)x(ax2﹣3ax﹣4a)
，
∵E是直线l上方的抛物线上的动点，
∴时，△ACE的面积的最大值为时，
∵△ACE的面积的最大值为，
∴，解得a，
故答案为：a；
(3)以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，理由如下：
D（4，5a），
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴设P（1，m），
分类讨论：
情况一：如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边，
∵A点横坐标在D点横坐标左边5个单位，
∴Q点横坐标在P点横坐标左边5个单位，即Q横坐标为：1-5=-4，
将x=-4代入二次函数解析式中求得Q纵坐标为21a，
∴Q(-4，21a)，
∴m=21a+5a=26a，则P(1，26a)，
∵四边形ADPQ是矩形，
∴∠ADP=90°，
∴AD2+PD2=AP2，
∴52+(5a)2+32+(26a-5a)2=22+(26a)2，
解得a²=，又a