新疆生产建设兵团第一中学2024-2025学年八年级下学期期中 数学试卷（含解析）

这是一份新疆生产建设兵团第一中学2024-2025学年八年级下学期期中 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列式子中，是二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的判断，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；因此此题根据二次根式的定义“形如（）”可进行求解．
【详解】解：由题意可知是二次根式；
故选：D．
2. 如图，在中，，则的长是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边长的平方，据此求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，
故选：D．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的加减乘除运算．利用二次根式的加减法的法则对A项和B项进行运算即可，利用二次根式的乘法和除法法则对C项和D项进行运算即可．
【详解】解：A、和，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
4. 如图所示，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的面积为（ ）
A. 20B. 48C. 24D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的面积公式，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．根据菱形面积公式计算即可得答案．
【详解】解：在菱形中， ，
菱形的面积，
故选：C．
5. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ）
A. 测量是否有三个角是直角B. 测量对角线是否相等
C. 测量两组对边是否分别相等D. 测量对角线是否互相垂直
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法，是解题的关键．
根据矩形的判定方法即可得到结论．
【详解】解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意；
B、测量对角线是否相等，不能判定形状；不符合题意；
C、测量两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；不符合题意；
D、测量对角线否互相垂直，不能判定形状；不符合题意．
故选：A．
6. 下列命题的逆命题中，是真命题的为（ ）
A. 矩形是对角线相等的四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 在中，如果三边满足，那么这个三角形是直角三角形
D. 全等三角形的对应角相等
【答案】B
【解析】
【分析】先把原命题的结论和题设互换写出对应命题的逆命题，再判断真假即可．
【详解】解：A、原命题的逆命题为对角线相等的四边形是矩形，该命题是假命题，例如等腰梯形的对角线也相等，但它不是矩形，不符合题意；
B、原命题的逆命题为菱形的对角线互相垂直，该命题是真命题，符合题意；
C、原命题的逆命题为直角三角形中，三边满足，该命题是假命题，只有c对应的边是斜边时才是真命题，不符合题意；
D、原命题的逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，该命题是假命题，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了判断一个命题逆命题的真假，菱形的性质，矩形的判定定理，勾股定理，全等三角形的判定等等，正确写出对应命题的逆命题是解题的关键．
7. 在中，与的角平分线交于边上一点，若，，则的周长是（ ）
A. 39B. 45C. 54D. 63
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，勾股定理，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键．根据题意可得，勾股定理求得，根据等腰三角形的性质可得，进而求得平行四边形的周长．
【详解】解：四边形是平行四边形，
∴，，，，
，
平分与
直角三角形
在中，，
，
的周长为．
故选：B．
8. 如图的三角形纸片中，，使B落在边上，且，那么的长为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查折叠的性质，三线合一，含30度角的直角三角形，分母有理化，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．过点D作于H，易得，进而求出，根据，进行求解即可．
【详解】解：过点D作于H，
∵折叠这个三角形，使B落在边AC上，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故选：C．
9. 如图，点是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为点，，连接，，给出下列四个结论：①；②；③；④一定是等腰三角形，其中正确的结论序号是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质．由正方形的性质证明，得出，由，证明四边形是矩形，得出，进而得出，①符合题意；由矩形的性质证明，得出，进而得出，②符合题意；由正方形的性质结合矩形的性质得出是等腰直角三角形，进而得出，③符合题意；只有或或时，才是等腰三角形，④不符合题意；即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，，，
，
，，
，，
，
四边形是矩形，
，
，故①符合题意；
四边形是矩形，
，，，
，
，
，故②符合题意；
四边形是矩形，
∴，，
，
，
是等腰直角三角形，
，故③符合题意；
点在上，
只有或或时，才是等腰三角形，故④不符合题意；
综上，①②③正确，共3个．
故选：C．
二、填空题（共6小题）
10. 要使式子 有意义，则x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数即可得出结论．
【详解】解：要使式子有意义，则
，
解得：．
故答案为：．
11. 购买一些铅笔，单价为元/支，总价y元随铅笔支数x变化，请写出y关于x的函数解析式为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据总价单价数量，可得函数关系式．
【详解】解：由题意得：
（x是正整数），
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数的表示，写函数的解析式是函数的表示方法之一，解题的关键是抓住题中的数量关系用自变量的代数式来表示因变量．
12. 如图，在中，，延长至点E，使，点F为的中点，连结．若，则的长为________ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长度，结合题意知线段是的中位线，即可求解．
【详解】解：在中，，
∵为中线，
∴．
∵F为中点，，
∴点B是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：．
13. 与最简二次根式能合并，则_____ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
能合并就是同类二次根式，都化成最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可．
【详解】解：由题可知，，
解得，
故答案为：．
14. 已知，如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若测得，之间的距离为，，之间的距离为，则线段的长为__________．
【答案】##5厘米
【解析】
【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，证得四边形是菱形是解题的关键．作于，于，连接，交于点，根据题意先证出四边形是平行四边形，再由得平行四边形是菱形，再根据勾股定理求出即可．
详解】解：如图，连接，交于点，
由题意知，，，
四边形是平行四边形．
，，
两张纸条等宽，
过点作，于点，，
．
，
，
平行四边形是菱形，
．
在中，，，
．
故答案为：
15. 如图，在中，，，，按下列步骤作图：
①在和上分别截取、，使．
②分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于
③作射线交于点．若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是________________ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的作法和性质，锐角三角函数，直角三角形的性质，线段之和最小等知识点，解题的关键是熟练掌握角平分线的作法和锐角三角函数．
利用角平分线的性质得出，作于点，找到线段之和最小值时点的位置，利用三角函数比即可求解．
【详解】解：由作图可知，是的平分线，且，
，
如图，作于点，
，
，
∴当、、三点共线，的值最小为，
故答案为：．
三、解答题（共8小题）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先化简二次根式，再合并计算即可；
（2）先化简二次根式，再合并计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 先化简，再求值，其中
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式的混合运算，解题的关键是掌握分式运算的法则．
利用分式的混合运算对原式进行化简，将代入求值即可．
【详解】解：
将代入上式，
原式．
18. 如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且AF＝CE．
求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】只要证明AF＝CE，AF∥CE即可．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判断方法
19. 如图，在海面上有两个疑似漂浮目标，接到消息后，两艘搜救艇同时从港口出发赶往目的地．一艘搜救艇以海里/时的速度沿北偏东的方向向目标前进，同时另一艘搜救艇以海里/时的速度向目标前进，小时后，他们同时分别到达目标，此时，他们相距海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？
【答案】北偏西
【解析】
【分析】根据题意可得海里，海里，海里，即可得，则，进而可得，从而可得出答案，本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理、方向角是解答本题的关键．
【详解】解：一艘搜救艇以海里/时的速度沿北偏东的方向向目标前进，同时另一艘搜救艇以海里/时的速度向目标前进，行驶时间为小时，
∴（海里），（海里），
∴，
∵（海里），
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴第二艘搜救艇的航行方向是北偏西．
20. 高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间（单位；s）和高度（单位：m）近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）．
（1）从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？是的多少倍？
（2）从高空抛出物体经过落地，所抛物体下落高度是多少？
【答案】（1），，倍；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，乘二次根式除法运算的实际应用，掌握运算法则是解题的关键．
（）先把时，时，代入，然后根据二次根式的性质化简，再进行二次根式除法运算即可；
（）当时，则，然后然后根据二次根式的性质化简即可．
【小问1详解】
解：当时，；
当时，．
∴，
∴是的倍；
【小问2详解】
解：当时，，
解得，
∴所抛物体下落的高度是．
21. 如图，正方形网格中每个小正方形边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．以格点为顶点按下列要求画图：
（1）请你在图1中画一个直角三角形满足它是轴对称图形；
（2）请你在图2中画一个以格点为顶点，为直角边的直角三角形；
（3）若点A的坐标为．请你在图3中建立平面直角坐标系，找出格点D，使以四个点为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的D点的坐标是：_______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）点的坐标是：或或
【解析】
【分析】本题考查作图-轴对称变换，勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）画一个等腰直角三角形即可；
（2）根据要求作出图形即可；
（3）根据点的坐标，确定平面直角坐标系，画出平行四边形，可得结论．
【小问1详解】
解：如图1中，取格点，依次连接三点，

由格点可知，，，
∴是等腰直角三角形，又是轴对称图形，
∴就是所求的三角形．
【小问2详解】
解：如图2中，取格点，依次连接三点，
由格点可知，，，，
∵，
∴是为直角边的直角三角形，
∴就是所求的三角形．
【小问3详解】
解：如图3，
以为邻边，取格点，则为平行四边形，点的坐标为：，
以为邻边，取格点，则为平行四边形，点的坐标为：，
以为邻边，取格点，则为平行四边形，点的坐标为：，
∴点的坐标是：或或．
22. 如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F，
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键．
（1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可．
（2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【小问1详解】
证明：，，
，
在和中，
，
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
解：由（1）得：四边形是矩形，
，，
，
在直角三角形中，，
．
23. 如图1，在平面直角坐标系中，点，．平移至（点与点对应，点与点对应），连接．
（1）点的坐标为______；
（2）点，分别是，边上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．当，分别在，上运动时，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图，三角形是等腰直角三角形，为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，试猜想，，三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）；
（2）存在最小值，的最小值为；
（3），理由见解析．
【解析】
【分析】（）根据点平移到点的方式与点平移到点的方式相同，只需要求出点平移到点的方式即可求出点的坐标；
（）连接，由中位线定理可得，，当取得最小值时，即时，的值最小，然后通过勾股定理和等面积法即可求解；
（）连接，由三角形是等腰直角三角形和三角形是等腰直角三角形得，证明，然后通过全等三角形的性质和勾股定理即可求证．
【小问1详解】
解：∵点与点对应，点与点对应，点，
∴向右平移个单位，再向上平移个单位得，
∴向右平移个单位，再向上平移个单位得，
故答案：；
【小问2详解】
解：存在最小值，的最小值为，理由：
连接，过作轴于点，如图，
∵，分别为，的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∴取得最小值时，即时，的值最小，
由（）知：，
∴当时，，
∴，
∴，
∴的最小值为；
【小问3详解】
解：，，三者之间有怎样的数量关系为：，理由：
连接，如图，
∵三角形是等腰直角三角形，
∴，，
∵三角形是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形变化—平移，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．