四川省成都市清合教育集团2024-2025学年下学期八年级期中 数学试题（含解析）

这是一份四川省成都市清合教育集团2024-2025学年下学期八年级期中 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟总分：150分（A卷100分，B卷50分）
A卷
一、选择题（本大题共8小题，总分32分）
1. 已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
由无法用来判断，
∴A、B、D错误，故不符合要求；C正确，故符合要求；
故选：C．
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
3. 等腰三角形一边长为4，一边长9，它的周长是（ ）
A. 17B. 22C. 17或22D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为9和4，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：当腰为9时，周长＝9+9+4＝22；
当腰长为4时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；
根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为9，这个三角形的周长是22．
故选B．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分类进行讨论是解题的关键．
4. 如图，为等腰三角形，，为边上的中线，点P在上，连接，若，则的长为（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，勾股定理，先根据，为边上的中线，则，，利用勾股定理求出即可作答．
【详解】解：∵，为边上的中线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
5. 如图，把以点A为中心顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且恰好经过点C，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
根据旋转的性质得到，，，得出是等边三角形，得到，即可证明；不一定能得到，，，即可得到答案
【详解】解：∵以点A为中心顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且恰好经过点C，
，，
∴是等边三角形，
∴
∴，
∴
∴
故选项D正确，符合题意；
不一定能得到，，，
故选：D
6. 一部电梯的额定限载量为1000千克．两人要用电梯把一批重物从底层搬到顶层，这两人的身体质量分别为60千克和80千克，每箱货物的质量为50千克，设每次搬x箱重物，则下面所列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设可以搬运货物x箱．根据“额定限载量为1000千克”列出不等式即可．
【详解】解：设每次搬x箱重物，根据题意得，，
故选：B．
7. 关于的不等式组恰好有2个整数解，则满足的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式的解集，再根据不等式组恰好有2个整数解即可得到答案．
【详解】解：解不等式得，
∵关于的不等式组恰好有2个整数解，
∴，
故选：B．
8. 如图，在中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线交于点D，连接．
若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质，可求得的度数，又由题意可得为的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，则可求得的度数，据此即可解题．
【详解】解：，，
，
由题知，直线为的垂直平分线，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，总分20分）
9. 分解因式：
（1）___________，
（2）___________
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
（1）利用提公因式法分解因式即可；
（2）利用平方差公式因式分解即可．
【详解】（1）；
（2）．
故答案为：，．
10. 若点向上平移3个单位长度后得到点，则的值为____________．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了点的平移，熟练掌握该知识点是解题的关键．由点的平移规律“上加下减”可知点向上平移3个单位长度后的点坐标，从而知道．
【详解】解：点向上平移3个单位长度后得到点，
所以．
故答案为：7．
11. 在平面直角坐标系中，点A（2a＋4，6﹣2a）在第四象限，则a的取值范围是____．
【答案】a＞3
【解析】
【分析】根据点A（2a＋4，6﹣2a）在第四象限和第四象限点的坐标的特点，可以得到关于a的不等式组，从而可以得到a的取值范围．
【详解】解：∵点A（2a＋4，6﹣2a）在第四象限，
∴，
解得a＞3，
故答案为：a＞3．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、点的坐标，解答本题的关键是明确第四象限点的坐标的符号是（＋，−），列出相应的不等式组．
12. 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是 _____ ．
【答案】12．
【解析】
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵直线DE垂直平分BC，
∴，
∴△ABD的周长，
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13. 如图，在中，， ，的面积是16，边的垂直平分线分别交， 边于点E，F．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为_____．

【答案】10
【解析】
【分析】连接、，利用三角形的性质得到，进而得到，再根据垂直平分线的性质得到，最后利用两点间线段最短即可得到答案．
【详解】解：连接、，
是等腰三角形，点D是边的中点，
，
，
，
是线段的垂直平分线，
，
，
的长为的最小值，
的周长最短，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，两点间线段最短，解题关键是作掌握垂直平分线的性质．
三、解答题（总分48分）
14. （1）分解因式：
（2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）；（2），数轴表示见解析
【解析】
【分析】此题考查了因式分解，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示即可．
【详解】（1）
；
（2）
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：．
数轴表示如下：
15. 如图，中，，D在边上，，求度数．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理三角形外角性质，熟练运用有关定理是解答本题的关键．
根据等腰三角形的性质、三角形外角性质及三角形内角和定理求解即可．
【详解】在中，，，
，
，
，
，
．
16. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．
（1）把向上平移5个单位后得到对应的，画出，并写出的坐标；
（2）以原点O为对称中心，画出与关于原点对称的，并写出点的坐标；
（3）求出三角形的面积．
【答案】（1）见解析，
（2）见解析，
（3）6
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移和中心对称，求三角形面积，
（1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律找到A、B、C对应点的位置，在顺次连接，并写出对应点坐标即可；
（2）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到对应点的坐标，再顺次连接即可；
（3）利用三角形面积公式求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求，
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求．
∴．
【小问3详解】
解：三角形的面积．
17. 已知关于的方程组（实数是常数）．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，化简：
【答案】（1）
（2）
（3）7
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程组的解；解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）先将方程组中的两个方程相加，得，再将代入，得到关于m的方程，解方程即可求出实数m的值；
（2）先将方程组中的两个方程相减，得，再解不等式组，即可求出m的取值范围；
（3）先根据绝对值的定义去掉绝对值的符号，再合并同类项即可．
【小问1详解】
解：
得，
∴，
，
，
解得；
【小问2详解】
解：
得，，
，
，
解得；
【小问3详解】
，
．
18. 如图，在四边形中，，相交于点为边上一点，且．
（1）求证：；
（2）求的度数（用含的代数式表示）；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）首先得到垂直平分线段，然后结合，即可得到；
（2）首先得到，然后利用三角形内角和定理求解即可；
（3）如图，连接、过点作于点，首先证明出，然后利用勾股定理求出，得到，然后利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：，
垂直平分线段，
，
又，
；
【小问2详解】
解：垂直平分线段，
，
，
，
，，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图，连接、过点作于点，
垂直平分线段，
，
设，则，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
解得：，（舍去），
，
，
又，
．
【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，等角对等边，勾股定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
B卷
一、填空题．（每题4分，共20分）
19. 如图，AD=13，BD=12，∠C=90°，AC=3，BC=4.则阴影部分的面积=________.
【答案】24
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出AB，然后利用勾股定理的逆定理判断出△ABD是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，相减即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：在Rt△ABC中，AB==5，
∵AD=13，BD=12，
∴AB2+BD2=AD2，即可判断△ABD为直角三角形，
阴影部分的面积=AB×BD -BC×AC=30-6=24．
答：阴影部分的面积=24．
故答案为24．
【点睛】此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，属于基础题，解答本题的关键是判断出三角形ABD为直角三角形．
20. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围是___________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握确定不等式组解集的方法是解题的关键．
先求出不等式组的解集，然后根据不等式组无解得出a的取值范围．
【详解】解：
解得
∵关于的不等式组无解
∴．
故答案为：．
21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为___________．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，轴对称，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，先证出四边形是矩形，由点C的坐标和轴对称变换可证出，再由勾股定理即可得出的长，进而即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解决此题的关键．
【详解】∵，轴，，
∴四边形是矩形，
∵点C的坐标为，
∴，，
∴由轴对称变换可知，，，
又∵，
∴，
∴，
∴在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
22. 如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为____________．
【答案】18
【解析】
【分析】连接BF，由△BDE是等边三角形、点F是DE的中点，可得∠DBF=∠DBE=30°，再由∠ABC=30°，可得∠CBF=60°，即射线BF的位置是固定的，再根据点到直线的距离垂线段最短可得到当CF⊥BF时，CF最短，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质列方程求出BD，最后求周长即可．
【详解】解：解：如图，连接BF，
∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点，
∴∠DBF=∠DBE=30°，
又∵∠ABC=30°，
∴∠CBF=60°，
∴即射线BF的位置是固定的，
∴当CF⊥BF时，CF最短，此时∠BFC=90°，∠BCF=180°-90°-60°=30°，
∴BF=BC.
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，
∴AB=2AC=12，BC=，
∴BF=，
设BD=2x，则DF=x，
∴，即，解得x=3
∴BD=6
∴的周长为18．
故填：18．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，说明射线BF的位置不会随着点D的移动而改变，而点C是射线BF外一点，由此可得当CF⊥BF时，CF的长度最小成为解答本题的关键．
23. 如图，等腰中，，，于．过作于，交于，于，交于，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是__．
【答案】①②⑤
【解析】
【分析】①作于M，由角平分线的性质得出，由三角形面积公式即可得出①正确；
②证明得出是等腰直角三角形，得出，，证出，②正确；
③由AH=CB，得出AH=2BD≠2CH，③不正确；
④由，得出，从而，④不正确；
⑤证出，得出，进而可得出，⑤正确．
【详解】解：①作于，
，，
平分，
于，
，
，，
，①正确；
②于，于，，
和是等腰直角三角形，，
，，，
，
，，
，
和中，，
，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，②正确；
③，
，③不正确；
④，
，
，
，④不正确；
⑤平分，
，
，，
，
，
，⑤正确；
正确是①②⑤；
故答案为：①②⑤．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
二、解答题
24. 某电信公司最近开发A、B两种型号的手机，一经营手机专卖店销售A、B两种型号的手机，上周销售1部型3部型的手机，销售额为8400元．本周销售2部型1部型的手机，销售额为5800元．
（1）求每部A型和每部B型手机销售价格各是多少元？
（2）如果某单位拟向该店购买A、B两种型号的手机共6部，发给职工联系业务，购手机费用不少于11200元且不多于11600元，问有哪几种购买方案？哪种方案费用最少？
【答案】（1）每部A型手机售价1800元，每部B型手机售价2200元
（2）方案一：购买A型手机4部，购买B型手机2部；方案二：购买A型手机5部，购买B型手机1部；方案二费用最少
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，根据不等关系，列出不等式组．
（1）设每部型手机售价元，每部型手机售价元，根据销售1部型3部型的手机，销售额为8400元，销售2部型1部型的手机，销售额为5800元，列出方程组即可；
（2）设购买型手机部，则购买型手机部，根据购手机费用不少于11200元且不多于11600元，列出不等式组，解不等式组即可．
【小问1详解】
解：设每部型手机售价元，每部型手机售价元．根据题意，
得
解得：
答：每部A型手机售价1800元，每部B型手机售价2200元．
【小问2详解】
解：设购买型手机部，则购买型手机部，
根据题意，得：
解得：
故共有两种方案：
方案一：购买A型手机4部，购买B型手机2部，费用（元）；
方案二：购买A型手机5部，购买B型手机1部，费用（元）；
∴方案二费用最少．
25. 如图所示，点，的坐标分别为，，直线与坐标轴交于，两点．
（1）求直线与交点坐标．
（2）请直接写出当时，的取值范围．
（3）求四边形的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标等知识点，
（1）先求出直线的解析式，与构成方程组，求出方程组的解即可；
（2）根据点的坐标和函数的图象即可得解；
（3）求出点、坐标，再求出和的面积，即可求出答案．
【小问1详解】
解：∵直线：过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式是，
解方程组，
得：，
∴点的坐标是；
【小问2详解】
由图象可知：当时，的图象在的图象的上方，
∴不等式的解集；
【小问3详解】
对于直线，
当时，；当时，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，点到轴的距离为，
∴，
∴四边形的面积为．
26. 已知中，，过点作直线，是边上一点，连接，将射线绕点顺时针旋转交直线于点，为线段延长线上点．

（1）求证：平分；
（2）求证：；
（3）若，，，求的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质可得，可得结论；
（2）在上取点，使，连接，由“”可证，可得；
（3）过点作于，由全等三角形的性质可得，，由勾股定理可列方程，可求的长，由三角形的面积公式可求解．
【小问1详解】
证明：，
，
直线，
，
，
平分；
【小问2详解】
证明：如图，在上取点，使，连接，

，
，
，
，
，
将射线绕点顺时针旋转交直线于点，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图，过点作于，

，，
，
，
，，
，，
，
，
，，
．