江西省抚州市第一中学2024-2025学年下学期八年级 数学期中考试试卷（含解析）

这是一份江西省抚州市第一中学2024-2025学年下学期八年级 数学期中考试试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选C．
2. 已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”即可得到答案．
【详解】解：由题意得，这两个不等式的解集分别为，
∴这个解集为，
故选：D．
3. 已知，下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了不等式的基本性质，易错在不等式的基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．不等式性质：基本性质1．不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变．基本性质2．不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．基本性质3．不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据性质逐一分析即可．
【详解】解：A．∵，
∴，故不符合题意；
B． ∵，
∴，
∴，故符合题意；
C．∵，
∴，故不符合题意；
D． ∵，
∴，故不符合题意．
故选：B．
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离为3.8，则BC的长为（ ）
A. 3.8B. 7.6C. 11.4D. 11.2
【答案】C
【解析】
【分析】过点D作于点E，由角平分线的性质解得，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，解得，据此解答．
【详解】解：过点D作于点E，
AD平分∠CAB，∠C＝90°，
故选：C．
【点睛】本题考查含30°直角三角形的性质、角平分线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
5. 下列因式分解：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查提公因式法，公式法，十字相乘法进行因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．根据因式分解的方法一一判断即可求解．
【详解】解：①，故原式错误；
②，故原式正确；
③，故原式错误；
④，故原式错误；
综上所述，正确的有②，共个，
故选：．
6. 如图,在不等边中,,垂足M,,垂足为N,且,点Q在AC上,,下列结论：
,
,
平分,
平分,
≌,其中正确的个数有( )
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
【答案】B
【解析】
【分析】利用“HL”证明△APM和△APN全等，根据全等三角形的性质可得：AN＝AM，∠PAM＝∠PAN，∠APM＝∠APN，再根据等边对等角可得∠PAN＝∠APQ，从而得到∠PAM＝∠APQ，然后根据内错角相等，两直线平行可得QP∥AM，故①②③④正确；而条件不足，无法证明△BMP≌△CNP，故⑤错误．
详解】解：∵PM⊥AB，PN⊥AC，
∴∠AMP＝∠ANP＝90°，
在Rt△APM和Rt△APN中，，
∴Rt△APM≌Rt△APN（HL），
∴AN＝AM，∠PAM＝∠PAN，∠APM＝∠APN，
∵PQ＝QA，
∴∠PAN＝∠APQ，
∴∠PAM＝∠APQ，
∴QP∥AM，故①②③④正确；
条件不足，无法证明△BMP≌△CNP，故⑤错误．
综上所述，正确的有4个，
故选B．
【点睛】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等边对等角的性质，比较复杂，熟记性质并准确识图是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形性质和三角形三边关系，分腰长为和两种情况，依据三角形三边关系，分类讨论即可得到答案．
【详解】解：当腰长为时，，三角形不存在；
当腰长为时，符合三角形两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为；
故答案为： ．
8. 关于x的方程的解是负数，则k的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据得，根据方程的解是负数，得到，解答即可．
本题考查了解方程，解不等式，熟练掌握解方程，不等式是解题的关键．
【详解】解：根据得，
又方程的解是负数，得到，
解得．
故答案为：．
9. 若，则的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据得到，解方程组，后代入解答即可．
本题考查了实数的非负性，解方程组，求代数式的值，熟练掌握解方程组是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
解方程组，得，
故，
故答案为：．
10. 分式的值为0，则x的值为_____．
【答案】1．
【解析】
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案．
【详解】∵分式的值为0，
∴|x|﹣1＝0且（x+2）（x+1）≠0，
解得：x＝1．
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
11. 如图，在△ABC中，AB=3，BC=5，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在边BC上时，则CD的长为________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据旋转的性质得AD=AB，由∠B=60°，于是可判断△ADB为等边三角形，根据等边三角形的性质得BD=AB=3，然后利用CD=BC-BD进行计算．
【详解】∵△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，
∴AD=AB，
∵∠B=60°，
∴△ADB为等边三角形，
∴BD=AB=3，
∴CD=BC−BD=5−3=2.
故答案为2.
【点睛】本题考查的知识点是旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质.
12. 在中，，，，D为中点，E为边上一动点，当构成的四边形有一组邻边相等时，则的长可以是_______．
【答案】2或3或
【解析】
【分析】分三种情况考虑，当时，由即可求出的长度；当时，过点D作于F，通过解直角三角形可得出的长度，再根据等腰三角形的三线合一即可得出的长度；当时，过点D作于F，设，则，利用勾股定理表示出的值，结合即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，进而即可得出的长度．综上即可得出结论．
【详解】解：在中，，，
，
，
∵D中点，
，
当构成的四边形有一组邻边相等时，由以下三种情况．
（1）如图1，当时，
，
；
（2）如图2，当时，作，垂足为点F，
，，
，
在中，，
；
；
（3）如图3，当时，作，垂足为点F，
，
设，则，
在中，，，，
，即，
解得：，
即，
。
故答案为：2或3或．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形以及解一元一次方程，分三种情况寻找的长度是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分）
13. 因式分解
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）提取公因式a，再根据平方差公式进行二次分解；
（2）先用平方差公式，再用完全平方公式进行因式分解．
【小问1详解】
原式
．
【小问2详解】
原式
．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14. 利用数轴确定不等式组的解集．
【答案】数轴表示见解析，
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出两个不等式的解集，最后根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
数轴表示如下：
∴原不等式组的解集为．
15. 证明：能被7整除．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，乘法分配律的逆运算，根据同底数幂乘法的逆运算法则可得，再根据乘法分配律的逆运算法则可得原式，据此可证明结论．
【详解】证明：
，
∵能被7整除，
∴能被7整除．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE．
（1）若∠A＝35°，则∠CBE＝ °；
（2）若AE＝3，EC＝1，求△ABC的面积．
【答案】（1）20； （2）
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，进而得到∠EBA＝∠A＝35°，计算即可；
（2）根据勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【小问1详解】
解：∵∠C＝90°，∠A＝35°，
∴∠ABC＝90°﹣35°＝55°，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝35°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣EBA＝55°﹣35°＝20°，
故答案为：20；
【小问2详解】
解：∵EB＝EA＝3，EC＝1，
∴BC＝ ，AC＝AE＋EC＝4，
∴△ABC的面积＝×AC×BC＝4．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的面积计算，掌握垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．把绕点A按逆时针方向旋转后的图形，之后再向下平移3个单位作出
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平移和旋转作图，先根据旋转作出点B、C的对应点，，然后顺次连接即可得出；先根据平移作出平移后的对应点、，，然后顺次连接即可得出．
【详解】解：如图，为所求作的旋转图形，为所求作的平移图形．
四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
18. 直线和直线分别交y轴于A、B两点，两直线交于点．

（1）求m，k的值；
（2）求的面积；
（3）根据图像直接写出当时x的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求两直线围成图形面积，根据两直线的交点求不等式的解集等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式以及A、B的坐标是解题的关键．
（1）把点C坐标代入中求出点C坐标，再把点C坐标代入中求出k的值即可；
（2）求出当时，两个函数的函数值，从而得到A、B的坐标，进而求出的长，再根据进行求解即可；
（3）只需要找到当直线的图象在函数的图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案．
【小问1详解】
解：把代入中得：，
∴，
把代入中得：，
∴；
【小问2详解】
解：当时，，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由函数图象可知，当直线的图象在函数的图象上方时，自变量的取值范围为，
∴当时x的取值范围，
故答案为：．
19. 阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，还能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为换元法．
例如：因式分解：．
解：将“”看成整体，令，
则原式
将A换元，得原式
请你应用换元法对下列多项式因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，则原式化为，分解因式解答即可；
（2）设，则原式化为，则，分解因式解答即可．
本题考查了换元法因式分解，熟练掌握换元思想是解题的关键．
【小问1详解】
设，
则，
故．
【小问2详解】
解：设，则原式化为，则，
设，则，
故
．
20. 如图，和都是等腰直角三角形，其中．
（1）如图1，与有何关系，请说明理由．
（2）如图2，将绕着C点顺时针旋转一定度数，则（1）中结论还成立吗？请说明理由．
【答案】（1），
（2）仍然成立，见解析
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定定理证明，根据全等三角形的性质解答；
（2）证明根据全等三角形的性质证明即可．
【小问1详解】
证明：，．证明如下：
∵，，，
∴，
∵
∴，
∴，，
延长交于点M，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故，．
【小问2详解】
证明：仍然成立．证明如下：
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，，
设交于点N，交于点F，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故，．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，对等角相等，垂直的定义，等量代换思想，熟练掌握性质是解题的关键．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）
21. 如果两个不等式存在公共解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”．
（1）在不等式①，②，③中，与不等式互为“友好不等式”的是________；（填序号）
（2）若关于的不等式与不是“友好不等式”，求的取值范围；
（3）若，关于的不等式与不等式互为“友好不等式”，求的取值范围．
【答案】（1）②③ （2）
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
（1）根据“友好不等式”的定义即可求解；
（2）解不等式可得，解不等式得，再根据“友好不等式”的定义可得，解不等式即可求解；
（3）分两种情况讨论根据“友好不等式”的定义得到含a的不等式，解得即可．
【小问1详解】
解：①的解集为，②，③的解集为，
不等式和没有公共解，故①不是不等式的“友好不等式”；
不等式不等式和有公共解，故②是不等式的“友好不等式”；
不等式不等式和有公共解，故③是不等式的“友好不等式”；
故答案为：②③；
【小问2详解】
解不等式可得，
解不等式得，
∵关于x的不等式不是的“友好不等式”，
∴，
解得，
故m的取值范围是；
【小问3详解】
解不等式，得到；解不等式，得到
①当时，即时，依题意有，即，故；
②当时，即时，始终符合题意，故；
综上，a的取值范围为或．
22. 某文具商店销售功能相同的两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元．
（1）求这两种品牌计算器的单价；
（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售．设购买个ｘ个A品牌的计算器需要ｙ1元，购买ｘ个B品牌的计算器需要ｙ2元，分别求出ｙ1、ｙ2关于ｘ的函数关系式；
（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．
【答案】（1）30元，32元（2）（3）当购买数量超过5个而不足30个时，购买A品牌的计算机更合算；当购买数量为30个时，购买两种品牌的计算机花费相同；当购买数量超过30个时，购买B品牌的计算机更合算.
【解析】
【分析】（1）根据“购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元”和“购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元”列方程组求解即可.
（2）根据题意分别列出函数关系式.
（3）由、、列式作出判断.
【详解】解：（1）设A品牌计算机的单价为ｘ元，B品牌计算机的单价为ｙ元，则由题意可知：
，解得.
答：A，B两种品牌计算机的单价分别为30元，32元.
（2）由题意可知：，即.
当时，；
当时，，即.
（3）当购买数量超过5个时，.
①当时，，解得，
即当购买数量超过5个而不足30个时，购买A品牌的计算机更合算；
②当时，，解得，
即当购买数量为30个时，购买两种品牌的计算机花费相同；
③当时，，解得，
即当购买数量超过30个时，购买B品牌的计算机更合算.
六、解答题（本大题12分）
23. 问题发现
（1）初一数学兴趣小组的同学在研究等边三角形时，发现了含有角的直角三角形的性质．如图1，在等边中，于点，则，若设，则， ，与的数量关系为 ．
接着同学们还证明了：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于．
问题探究
（2）如图2，在等腰中，，是边上一点，以为边在右侧作等腰，，连接．若，，求的面积．
问题解决
（3）如图3，长方形是植物园中一个郁金香种植区的平面示意图．米，米，点，分别在，边上，米，，内部为白色郁金香种植区．点是的中点，点在上，下方的等边内部为黄色郁金香种植区，和的内部分别为红色和粉色郁金香种植区．请探究和的面积之和是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）是定值，（米）
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，含有角的直角三角形三边关系，全等三角形判定及性质，等边三角形性质，平行线之间的距离处处相等知识内容．
（1）根据题意利用勾股定理即可得到本题答案；
（2）根据题意证明，继而得到，再利用三角形面积公式即可得到本题答案；
（3）先证明，再得，分别求出，以及再相加即可作答．
【详解】解：（1）∵等边，，，
又∵，，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）∵等腰和等腰，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴的面积：；
（3）∵以为边作等边三角形，连接，，，

∵，是等边三角形
∴
∴
∴
∴，
∴和的面积之和等于和的面积之和
即
过点D作，过点E作
∵是的中点
∴（米）
∵是等边三角形
∴
∴
∵
∴（米）
∴（米）
∵
∴，
∵
∴
∵
∴（米）
∴（米）
∵
∴平行线之间的距离处处相等
即（米）
∴（米）