江苏省连云港市新海实验中学2024-2025学年八年级下学期 数学期中试卷　（含解析）

这是一份江苏省连云港市新海实验中学2024-2025学年八年级下学期 数学期中试卷　（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，则此项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
故选：C．
2. 四边形中，，对角线、交于点，增加下列条件不能使四边形为平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质．根据平行四边的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：A、由，，能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、由，可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
C、由，，能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3. 下列分式从左到右变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式性质：分子和分母同时除以或乘上同一个数（不为0），分式的值不变．据此逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D．
4. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先确定图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小再根据性质判定大小即可．
【详解】解：∵反比例函数，
∴反比例函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
∵，
∴点A在第三象限，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：C．
5. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】该题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出等量关系．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两队合作小时完成，可得出方程．
【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，
依题意得，
故选：C．
6. 关于的方程的解为正数．则的取值范围为（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数等知识点，解分式方程的验证环节是解题的关键．
先解分式分式方程，然后根据分式方程的解为正数，列出关于a的不等式求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
检验，当，即方程无意义，故，
∵关于的方程的解为正数，
∴，即．
综上，的取值范围为且．
故选B．
7. 如图，已知正方形的面积为9，它的两个顶点B，D是反比例函数的图象上两点，且轴，轴，若点D的坐标是，则的值为（ ）
A. B. C. 3D. －3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，正方形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．利用正方形的性质求得点B坐标是，根据点D、点B在反比例函数上，列式计算即可求解．
【详解】解：∵正方形的面积等于9，
∴，
∵轴，轴，点D坐标是，
∴点A坐标是，点B坐标是，
∵点D、点B在反比例函数上，
∴，
∴，
∴，故D正确．
故选：D．
8. 如图1，菱形中，点A为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒1个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图2，若，则的值为（ ）
A. 6B. C. 8D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】当l落在位置时，与菱形交于D，M，，当|l落在位置时，，得，得，得，解得，即得．
【详解】解：如图所示，当l落在位置时，与菱形交于D，M，
此时，
当l落在位置时，与菱形交于N，B，
此时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∵，
∴点C到y距离为，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了动点与图形面积问题．熟练掌握菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式，动点函数图象，分类讨论，是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零成为解题的关键．
根据分式有意义的条件列不等式求解即可．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，解得：．
故答案为：．
10. 若双曲线位于第一、三象限，则任意写出一个符合要求的a的值______．
【答案】2（不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限；根据反比例函数的图象和性质可得，即可得解．
【详解】解：双曲线位于第一、三象限，
，
，
故答案为：2（不唯一）．
11. 若关于x的分式方程有增根，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：，
去分母，得：，
由分式方程有增根，得到，
解得：，
把代入，可得：，
解得：．
故答案为：．
12. 研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，其图象如图所示．学生小雪原来佩戴的眼镜焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗，加之注意用眼卫生，小雪的镜片焦距调整到0.5米，则其近视眼镜的度数减少了______度．
【答案】200
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．设函数的解析式为，由时，可求k，进而可求函数关系式，然后把及代入解析式，即可求得答案．
【详解】解：设函数的解析式为，
∵500度近视镜片的焦距为0.2米，
∴，
解得，
∴函数的解析式为，
∴当时，，
∴当时，，
，
∴小雪的近视眼镜的度数减少了200度．
故答案为：200．
13. 如图，在平行四边形中，以为圆心，长为半径画弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接交于点，过点作于点．若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了作图基本作图——作角平分线，平行四边形判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是综合运用以上知识．
由作图可知，平分，即，，证明四边形是平行四边形，又，则四边形是菱形，由菱形性质可得，，，，通过勾股定理求出，最后利用即可求解．
【详解】解：由作图可知，平分，即，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，若平行四边形的面积为4，则实数的值为__．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
延长交y轴于点D，根据平行四边形面积可求出，继而可得点A坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可．
【详解】解：如图，延长交y轴于点D，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，则经过___________秒时，四边形是矩形．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题关键．设经过秒时，四边形是矩形，先根据平行四边形的性质可得，，再分两种情况：①和②，证出四边形是平行四边形，根据矩形的判定可得要使平行四边形是矩形，则需，即，由此即可得．
【详解】解：设经过秒时，四边形是矩形，
由题意得：，
∵，
∴点从点运动到点所需时间为秒；当点相遇时，，
解得，此时，点在点相遇，
∵四边形是平行四边形，，
∴．
①如图1，点相遇前，即，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
要使平行四边形是矩形，则需，即，
∴，
解得，符合题设；
②如图2，在点相遇后，即，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
要使平行四边形是矩形，则需，即，
∴，
解得，符合题设；
综上，经过或秒时，四边形是矩形，
故答案为：或．
16. 如图，在矩形中，，，点M是平面内任意一点，连接，点N是的中点，连接，若，则的最大值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】如图，延长到J，使得，连接，，证明，求出的最大值可得结论．
【详解】解：如图，延长到J，使得，连接，，
，，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
的最大值为，
的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，三角形三边关系，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的混合运算．
（1）先通分并利用同分母分式的减法法则计算，再因式分解，约分得到最简结果即可；
（2）将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 解分式方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）无解
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，
（1）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．
【小问1详解】
解：，
在方程两边同乘以，得：
，
解得：，
检验：将代入，得：，
∴是原分式方程的解；
【小问2详解】
，
在方程两边同乘以，得：
，
解得：，
检验：将代入，得：，
∴是原分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
19. 如图，在平行四边形中，点E、F分别在、上，．求证：．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，得，从而可证，于是得证四边形是平行四边形，所以．
【详解】解：∵在平行四边形中，且，
又∵
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定；掌握相关性质和判定定理是解题的关键．
20. 如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）菱形BCFE的面积为24
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质和定理；
（1）根据三角形的中位线可得，，可证四边形是平行四边形，再由即可得证；
（2）根据菱形的性质可得，， ，，再根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求解即可．
【小问1详解】
证明： ∵D、E分别是、的中点，
，，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：连接，交于O，
四边形是菱形，
，， ， ，
，
在中，，
，
，
菱形的面积为．
21. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点．

（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）画出反比例函数的图象；
（3）将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离为多少？
【答案】（1）
（2）作图见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数综合以及反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键．
（1）将A点坐标代入即可求解；
（2）分别找出三个整数点即可画出函数图象；
（3）由，当时，，从而得到平移距离．
【小问1详解】
解：∵反比例函数 的图象经过点，
将代入得解析式得，
∴，
∴这个反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：三个整数点，如图所示：
【小问3详解】
解：由题意可知，
当时，，
将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数图象上时，平移的距离为．
22. 如图，中，交于P，的平分线分别交于E、F．
（1）求证：；
（2）当与的交点P在的什么位置时，四边形是矩形，说明理由；
（3）在（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形．（不需要证明）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）当是直角三角形，，四边形是正方形
【解析】
【分析】本题考查等角对等边，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握平行加角平分线会出现等腰三角形，以及矩形和正方形的判定方法，是解题的关键：
（1）平行结合角平分线得到，进而得到，即可得证；
（2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，以及有一个角为直角的平行四边形为矩形，进行判断即可；
（3）根据有一个角是直角的菱形是正方形，得到当，即：时，四边形是正方形即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵分别平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
当点P是的中点时，四边形是矩形，
理由如下：∵点P是的中点，
∴，
由（1）知：，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
即：，
∴四边形是矩形；
【小问3详解】
当是直角三角形，，四边形是正方形．
当时，
∵，
∴，
∴，
由（2）可知，四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形．
23. 随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时．
（1）求人工每人每小时分拣多少件；
（2）若该快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为16小时，求至少需要安排多少台这样的分拣机．
【答案】（1）人工每人每小时分拣60件
（2）至少需要安排5台这样的分拣机
【解析】
【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出分式方程和一元一次不等式，是解题的关键：
（1）设人工每人每小时分拣x件，根据由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时，列出方程进行求解即可；
（2）设需要安排y台分拣机，根据题意，列出不等式进行求解即可．
【小问1详解】
解：设人工每人每小时分拣x件，则每台机器每小时分拣20x件，
根据题意得，，解得，
检验：当时，，
∴是方程的解，且符合题意，
答：人工每人每小时分拣60件．
【小问2详解】
解：设需要安排y台分拣机，
由题意，得：，解得，
∵y为正整数，
∴y的最小值为5，
答：至少需要安排5台这样的分拣机．
24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，点在轴正半轴上，点，连接，四边形为菱形．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出不等式的解集；
（3）在直线上是否存在点，且，若存在求点的坐标，若不存，请说明理由．
【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）或；
（3）存在，点的坐标为或．
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数与几何的综合应用，待定系数法求函数解析式、菱形的性质及三角形的面积，利用数形结合的思想和分类讨论的思想是解题的关键．
（）连接，交轴于点，由菱形的性质可知关于轴对称，可求得点坐标，把点坐标分别代入两函数解析式可求得和值；
（）求出点坐标，再根据图象即可得出不等式的解集；
（）根据菱形的性质可求得点坐标，可求得菱形面积，设点坐标为，根据条件可得到关于的方程，可求得点坐标．
【小问1详解】
解：如图，连接，交轴于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵点，
∴，，
∴，，
∴，
将代入直线可得，解得；
将代入反比例函数可得，解得：；
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：由（）得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，
联立得：，
解得：或，
∴点，
∴不等式的解集为或；
【小问3详解】
解：存在，理由如下，
∵，，
∴，
∵，
∴，S△OAP＝2，
设点坐标为，与轴相交于，则，
∴，
∴，
当在的左侧时，，
∴，，
∴；
当在的右侧时，，
∴，，
∴；
综上所述，点的坐标为或．
25. 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，
从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若，求代数式值．
解：，
，即，
．
根据材料回答问题：
（1）已知，求的值；
（2）解分式方程组；
（3）已知、、为实数，，，，求分式的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的求值，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．
（1）仿照题意求出的值即可得到答案；
（2）先把原方程组化为，令，则，解方程组即可得到答案；
（3）先由得到，同理可得，据此可得，则可得到的值，进而可得答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
令，则，
解得，
∴，
经检验，是原方程组的解；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
∴．
26. 【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转．
【问题发现】
（1）①线段，之间的数量关系是________．
②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）①，②，理由见解析；（2），证明见解析；（3）或．
【解析】
【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得到，从而可得；②由①的结论及勾股定理即可得到三线段间的数量关系；
（2）由矩形的性质可证明，则有；再由矩形的性质及线段垂直平分线的性质可得；在中，由勾股定理及等量代换可得
；
（3）分两种情况：点E在边上；点E在延长线上；由（2）的结论及勾股定理即可解决．
【详解】（1）解：①∵四边形、四边形均为正方形，
∴，，，
∴；
在与中，
，
∴，
∴；
②在中，，
而，，
∴；
（2）解：三线段间的数量关系为：；
证明如下：
∵四边形、四边形均为矩形，矩形中心为O，
∴，，，
∴；
在与中，
，
∴，
∴；
∵，
∴；
在中，由勾股定理得：，
∴；
（3）解：①当点E在边上时；
由（2）的结论知：；
另一方面，在中，由勾股定理得：，
即；
设，则，而，
∴，
解得：，
即；
②当点E在延长线上时，如图；
把补成矩形，延长交延长线于点P，连接，
与（2）证法相同，同样有，
另一方面，在中，由勾股定理得：，
即；
设，则，而，
∴，
解得：，
即；
综上，的长为或．
【点睛】本题是四边形的综合，考查了矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等知识，证明三角形全等是问题的关键．