湖北省随州市中学教联体2024-2025学年下学期期中质量监测八年级 数学试题（含解析）

这是一份湖北省随州市中学教联体2024-2025学年下学期期中质量监测八年级 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各式①；②；③；④；⑤（a为正整数），其中一定是最简二次根式的有（ ）
A. 4 个B. 3 个C. 2个D. 1个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行判定即可．
【详解】解：，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
（a为正整数）是最简二次根式；
故选C．
2. 下列计算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可．
【详解】解：，故选项A不符合题意；
，故选项B不符合题意；
，故选项C不符合题意；
，故选项D符合题意；
故选D．
3. 在中，，a、b、c分别为、、的对边，若，则的值为（ ）
A. B. C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理进行求解即可，熟练掌握勾股定理，确定斜边，是解题关键．
【详解】解：∵，，
∴；
故选A．
4. 如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形中位线的实际应用，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．利用三角形的中位线定理即可直接得出答案．
【详解】解：∵D，E分别是，的中点，
∴为的中位线，
∴
故选：B．
5. 实数a，b在数轴上的对应点A，B位置如图，化简的结果是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查绝对值的化简以及二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则以及数轴进行化简即可．
【详解】解：由题意可知，，，
故，
故．
故选：D．
6. 如图，四边形的对角线和交于点O，则下列不能判断四边形是平行四边形的条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行四边形判定。根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案。
【详解】解：∵，
∴能判断四边形是平行四边形，即A选项不符合题意，
∵，
∴能判断四边形是平行四边形，即B选项不符合题意，
∵，
∴不能判断四边形是平行四边形，即C选项符合题意，
∵，
∴能判断四边形是平行四边形，即D选项不符合题意，
故选：C.
7. 菱形的边长为4，有一个内角为，则较长的对角线的长为（ ）
A. B. 4C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质进行计算即可．
【详解】解：在菱形中，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
故选A．
8. 如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理以及三角形的面积，根据题意得出的面积等于正方形面积减去其他3个三角形的面积是解题的关键．根据勾股定理求出的长，再利用三角形的面积求出三角形的高即可．
【详解】解：设中边上的高为h，
由勾股定理，得，
∵，，
∴，
解得
∴中边上的高是．
故选：A．
9. 下列命题的逆命题成立的是（ ）
A. 矩形的对角线相等
B. 平行四边形的对角线互相平分
C. 菱形的对角线互相垂直
D. 正方形的对角线互相垂直且相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了判断一个命题逆命题的真假，矩形，平行四边形，菱形，正方形的判定，熟练掌握矩形，平行四边形，菱形，正方形的判定定理是解题的关键．
【详解】解；A、原命题的逆命题为：对角线相等的四边形是矩形，该逆命题是假命题，例如梯形的对角线也相等，不符合题意；
B、原命题的逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，该逆命题是真命题，符合题意；
C、原命题的逆命题为：对角线互相垂直的四边形是菱形，该逆命题是假命题，不符合题意；
D、原命题的逆命题为：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，该逆命题是假命题，不符合题意；
故选：B．
10. 如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接并延长交于，则下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据四边形ABCD是正方形，△EMC是等边三角形，得出∠BAM＝∠BMA＝∠CMD＝∠CDM＝(180°-30°)＝75°，再计算角度即可；通过做辅助线MD，得出MA＝MD，MD=MN，从而得出AM＝MN.
【详解】如图，连接DM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∵△EMC是等边三角形，
∴BM＝BC＝CM，∠EMC＝∠MBC＝∠MCB＝60°，
∴∠ABM＝∠MCN＝30°，
∵ BA＝BM， MC＝CD，
∴∠BAM＝∠BMA＝∠CMD＝∠CDM＝(180°-30°)＝75°,
∴∠MAD＝∠MDA＝15°, 故A正确；
∴MA＝MD，
∴∠DMN＝∠MAD+∠ADM＝30°，
∴∠CMN＝∠CMD-∠DMN＝45°，故B正确;
∵∠MDN＝∠AND＝75°
∴MD=MN
∴AM＝MN，故C正确；
∵∠CMN＝45°，∠MCN＝30°，
∴，故D错误，故选D.
【点睛】本题考正方形的性质、等边三角形的性质等知识，灵活应用正方形以及等边三角形的性质，通过计算角度得出等腰三角形是关键.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．
12. 如图，已知一货轮以30海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一集装箱船以40海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距______海里．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：设轮船向东北航行到，向东南方向航行到，
由题意得，海里，
海里，
，
故答案为：．
13. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，点A到的距离为6，则图中阴影部分的面积是_____．
【答案】18
【解析】
【分析】本题考查平行四边形性质，全等判定及性质．根据题意证，再利用三角形面积公式及平行四边形性质可得本题答案．
【详解】解：∵平行四边形，
∴，，，
∴在和中，
，
∴，
∵，点A到的距离为6，
∴阴影部分的面积为：，
故答案为：．
14. 如图，在矩形中，，，将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，设与相交于点F，则的长为______．

【答案】
【解析】
分析】本题考查勾股定理，全等三角形判定及性质等．根据题意证明，再设，则，再利用勾股定理列式计算即可．
【详解】解：∵矩形，将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则
∴，解得：，
故答案为：．
15. 如图，已知正方形边长为8，点O为对角线的交点，四边形为正方形，F、H在边上，且，则正方形的面积是______．
【答案】10
【解析】
【分析】过点O作于M，连接，根据正方形的性质和勾股定理求出，证明是等腰直角三角形，进一步可得到；过点E作于P，过点O作交延长线于Q，则四边形是矩形，可得，；证明，得到；再证明是等腰直角三角形，得到，设，则，则，根据，得到，解方程得到，再利用勾股定理求出即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点O作于M，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
如图所示，过点E作于P，过点O作交延长线于Q，则四边形是矩形，
∴，；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴正方形的面积为10，
故答案为；10．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式混合计算，求一个数的绝对值，求一个数的立方根，二次根式化简等．
（1）先将每项化简，后从左到右依次计算即可；
（2）先将括号内计算好，再计算乘法和除法，最后计算减法即可．
小问1详解】
解：，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
．
17. 如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，则梯子的底部向外滑多少米？
【答案】
【解析】
【分析】在直角三角形ABC中运用勾股定理求出BC的长，进而求得CE的长，再在直角三角形EDC中运用勾股定理求出DC的长，最后求得AD的长即可．
【详解】解：∵在中，
∴
∴
∵在中
∴
∴．
答：梯子的底部向外滑0.8米.
【点睛】本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，灵活利用勾股定理解直角三角形成为解答本题的关键．
18. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC，
求证：四边形ABED是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来证明，题中已经给了一组平行的对边，只需要证明另一组对边平行即可．
【详解】证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，能够根据题中所给的条件选择合适的判定方法时解决本题的关键．
19. 已知，．
（1）求的值；
（2）若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，无理数的整数部分与小数部分的含义，掌握运算法则是解本题的关键；
（1）由，得，，把变形为，再整体代入计算即可；
（2）先判断，，再代入计算即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，；
∴；
【小问2详解】
∵a的小数部分是x，
∴，
∵b的整数部分是y，
∴，
∴．
20. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）的长为2
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质得，，再由三角形中位线定理得，得四边形是平行四边形，然后证明即可得出结论．
（2）由三角形的中位线定理得，再由矩形的性质得，，，然后由勾股定理求出的长，即可得出的长．
【小问1详解】
证明：四边形是菱形，
，，
是的中点，
是的中位线，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
【小问2详解】
四边形是菱形，
，
由（1）得：，四边形是矩形，
，，，
是的中点，
，
在中，由勾股定理得：
，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理．熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理，证明四边形为矩形是解题的关键．
21. 超速行驶是引发交通事故的主要原因．某周末，张三同学在青年路尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到公路的距离为的处．这时，一辆车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为，并测得，．
（1）求的长；
（2）试判断该车是否超过了的限制速度．（参考数据：）
【答案】（1）
（2）该车超过了的限制速度
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键．
（1）根据含30度角直角三角形的性质，即可求解；
（2）根据勾股定理可得，再由等腰直角三角形的判定可得，可求出，即可求解．
【小问1详解】
解：在中，
，，
，
．
【小问2详解】
解：在中，
，，
．
在中，
，，
，
，
，
该车的速度为，
该车超过了的限制速度．
22. 如图，在中，，点是中点，连接，过点作，过点A作，，交于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接交于点，交于点，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）的长是
【解析】
【分析】本题考查菱形判定及性质，平行四边形判定及性质，等边三角形判定及性质，含的直角三角形三边关系等．
（1）根据题意先证四边形是平行四边形，后得本题答案；
（2）由菱形性质得，，后得四边形是平行四边形，再得到四边形是菱形，三角形是等边三角形， 继而得到，再得到．
【小问1详解】
解：证明：，点是的中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是菱形，三角形是等边三角形，
∴，，，，
，
，则
∴，
的长是．
23. 综合运用材料一：形如，二次根式的被开方数（式）中含有二次根式的式子叫双重二次根式．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点的“横负纵变点”为 ，点的“横负纵变点”为 ；
（2）化简：；
（3）已知a为常数，点，且，点是点M的“横负纵变点”，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义即可得到答案；
（2）由题意得到，即可得到答案；
（3）根据题意得到，，进行化简即可．
【小问1详解】
解：，故，
的“横负纵变点”为，
，故，
点的“横负纵变点”为，
故答案为：；；
【小问2详解】
解：，
；
【小问3详解】
解：，
，
，
，
，
，
点的坐标为．
24. 情景呈现： 小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系．
（I）提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？
（II）探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度：
①正方形的边长为，则______；
②矩形中，，，则_______；
③在菱形中，，，则_______；
再通过几何图形一般化具体分析找规律：
④如图1，在正方形中，，则 ；（请用含a的代数式表示）
⑤如图3，在矩形中，，，则 ．（请用含a、b的代数式表示）
（III）猜想并证明：
如图4，在中，，，大胆猜想与、的数量关系为_____，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决．请选择其中一种方法写出证明过程．
（IV）解决问题：如图4，在中，，，，将线段绕点旋转，在旋转的过程中，当时，请直接写出此时线段的长．
【答案】（II）①64；②50；③100；④，⑤； （III），证明见解析，（IV）或．
【解析】
【分析】（II）利用正方形、矩形、菱形的性质结合勾股定理求解即可．
根据菱形的性质，得，，根据勾股定理得，变形得，整理得．
（III）方法一：过点A作于，过点D作交延长线于，利用平行四边形的性质，矩形判定和性质，勾股定理证明即可．方法二：如图，四边形为平行四边形，以点为原点，以边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据两点之间的距离公式计算即可．
（IV）根据题意，得到，证明，再根据前面的结论得，求出得到，旋转时，当时，当对应点在点上方和下方时两种情况计算，构造直角三角形求解即可．
【详解】（II）解：①如图①，
∵正方形的边长为，，
∴，，
∴；
②如图③∵矩形中，
∴，，，
∴，，
∴；
③如图②，∵在菱形中，，，
∴，，
根据勾股定理得，
∴，
∴，
④如图①，
∵正方形的边长为，，，
∴，
∴；
⑤如图③∵矩形中，
∴，，，，
∴，
∴；
（III）结论：，理由如下：
方法一：采用几何法：
如图，过点A作于，过点D作交延长线于，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴
设，则，，
∵，，
∴
同理可得：，
∴．
方法二：如图，四边形为平行四边形，以点为原点，以边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，
由平行四边形性质，点C的坐标为：
∴，，，
∴
（IV）解：∵在中，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据前面的结论得，
∴，
∴，
∴，（不合题意舍去），
∴，
点B绕点O旋转，当对应点在点上方时，设点B的对应点为，
∴，
过点D作于点H，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴；
当对应点在点下方时，设点B的对应点为，
同理可得：
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，矩形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．