河南省郑州市郑东新区外国语中学2024-2025学年下学期八年级 数学期中试卷（含解析）

这是一份河南省郑州市郑东新区外国语中学2024-2025学年下学期八年级 数学期中试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 以下是“双减”背景下学校社团拓展课程的相关图片，其中是中心对称图形的是（ ）
A. 剪纸B. 琵琶
C. 钢笔D. 乒乓球拍
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义依次判断即可．
本题主要考查了中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转度后，它能够与自身重合，这样的图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．判断一个图形是否是中心对称图形，关键是看能否找到对称中心．
【详解】A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
2. 若，下列选项中不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【详解】、∵，∴，此选项符合题意；
、∵，∴，此选项不符合题意；
、∵，∴，此选项不符合题意；
、∵，∴，此选项不符合题意；
故选：．
3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】分析：根据因式分解的意义即可判断．
详解：因式分解是指将一个多项式化为几个整式的乘积．
A．是多项式乘法，故A错误；
B．等式右边不是几个整式的乘积的形式，故B错误；
C、是因式分解，故C正确；
D、是整式乘法，故D错误．
故选C．
点睛：本题考查了因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型．
4. 在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体正向下运动，为了使所有图案消失，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失（ ）
A. 顺时针旋转，向右平移B. 逆时针旋转，向右平移
C. 顺时针旋转，向下平移D. 逆时针旋转，向下平移
【答案】A
【解析】
【详解】分析：运用旋转和平移性质可得.
详解：由已知可得，顺时针旋转90°，向右平移，能把右下角完全填补.只有选项A符合条件，其他选项不能符合条件.
故选A.
点睛：本题考核知识点：旋转和平移.解题关键点：理解旋转性质和平移性质，同时理解游戏规则即可.
5. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A. 若，则，
B. 有两个角都是60°的三角形是等边三角形
C. 对顶角相等
D. 同位角相等，两直线平行
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查逆命题和真假命题，对顶角相等，等边三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，能够写出命题的逆命题是解题的关键．
【详解】解：A. 逆命题为：如果，那么，是真命题，不符合题意；
B. 逆命题为：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形有两个角都是，真命题，不符合题意；
C. 逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，符合题意；
D. 逆命题为：两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意；
故选：C．
6. 如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cbb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论．
【详解】由示意图可知：和都是直角三角形，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
7. 如图，腰长为的等腰直角三角形绕直角顶点顺时针旋转得到，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转性质求出的值，根据勾股定理和阴影部分面积等于△ADB的面积减△BEF的面积，即可求得阴影部分的面积．
【详解】旋转，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
．
．
故选D．
【点睛】本题考查了阴影部分的面积问题，掌握旋转的性质和三角形的面积公式是解题的关键．
8. 下列各式与相等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查分式的基本性质，涉及因式分解、约分等知识，将各个选项分子分母分解因式，约分后比较结果与是否相等即可确定答案，熟练掌握分式的基本性质是解决问题的关键．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：B．
9. 如果一元一次不等式组的解集为＞3，则的取值范围是( )
A. ＞3B. ≥3C. ≤3D. ＜3
【答案】C
【解析】
【分析】由题意不等式组中的不等式分别解出来为x＞3，x＞a，已知不等式解集为x＞3，再根据不等式组解集的口诀：同大取大，得到a的范围．
【详解】解：由题意x＞3，x＞a
∵一元一次不等式组的解集为x＞3
∴a3
故选：C．
【点睛】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，将不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）逆用，已知不等式解集反过来求a的范围．
10. 风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2025秒时，点A的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查坐标规律探索，找出一般规律，是解题的关键．根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标．
【详解】解：如图．
，
在第一象限的角平分线上，
叶片每秒绕原点顺时针转动，
，，，，
点的坐标以每4秒为一个周期依次循环，
，
第时，点的对应点的坐标与相同，为．
故选：B．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 用反证法证明“三角形的内角中最多有一个角是直角”时应假设：_____．
【答案】三角形的内角中至少有两个角是直角
【解析】
【分析】在反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，可据此进行填空．
【详解】用反证法证明“三角形的内角中最多有一个角是直角”时应假设：三角形的内角中至少有两个角是直角．
故答案为：三角形的内角中至少有两个角是直角．
【点睛】本题考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，这里三角形中最多有一个是直角的反面是三角形中至少有两个角是直角．
12. 一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式：______．
【答案】(答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查多项式的因式分解．根据提取公因式、平方差公式或完全平方公式等知识解答即可．
【详解】解：∵一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，
设另一个因式为，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
13. 要使分式有意义，则x的取值应满足____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．
根据分母不为零即可求出答案．
【详解】∵分式有意义，
∴
解得．
故答案为：．
14. 如图，为上一点，连接，平分交于点，且，，，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由平分，，证明，可得，，再由等角对等边可得，代入数值进行计算即可得到答案．
【详解】解：平分，，
∴
∵
∴
，，
，
，
，
，
故答案为：．
15. 如图，已知平行四边形，，是边的中点，是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转至，连接，，，，则的最小值是____．
【答案】
【解析】
【分析】如图，作交于，连接、、作于，首先证明，因为，即可推出当、、共线时，的值最小，最小值．
【详解】如图，作交于，连接、、作于．
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
当、、共线时，的值最小，
最小值，
在中，，
，
在中，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了四边形的动点问题，掌握当、、共线时，的值最小，最小值是解题的关键．
三、解答题（共75分）
16. （1）因式分解：；
（2）解不等式组
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，求不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解答本题的关键．
（1）先提取公因式b，再用平方差公式二次分解；
（2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】解：（1）；
（2），
解①得，
解②得，
∴．
17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）将向右平移6个单位长度得到，请画出；
（2）画出关于点O的中心对称图形；
（3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查作图—旋转变换，平移变换等知识，解题关键是掌握旋转变换，平移变换的性质．
（1）利用平移变换的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可；
（2）利用中心对称的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可；
（3）结合图形并根据平移的性质、中心对称的性质求出点的坐标，连接，则的交点，即为旋转中心的坐标．
【小问1详解】
如图所示，
【小问2详解】
如图所示，
【小问3详解】
由图可知，，，
，，
则的中点为，即，
则的中点为，即，
的中点均为，
与 是以点为对称中心的中心对称图形，
旋转中心的坐标为．
18. 求证：等腰三角形两底角的平分线相等。根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在中，______，和是的角平分线．
求证：______
证明：
【答案】，，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由等腰三角形的性质推出．由等腰三角形的性质推出，由角平分线的定义得到，判定，推出．
【详解】解：已知：在中，，和是的角平分线．
求证：．
证明：，
，
和是的角平分线，
，，
，
在和中，
，
，
∴等腰三角形两底角的平分线相等．
19. 【主题】二元一次不等式的研究
【背景】创新小队发现学习一元一次不等式利用了数形结合的思想，通过观察函数图象，求方程的解和不等式的解集，从中体会了一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的内在联系．创新小队提出新的问题：二元一次不等式的解集如何确定？为此，他们进行了以下的任务探究：
任务一：探究发现
（1）已知二元一次不等式．
步棸1：特例感知
令时，可将此二元一次方程变形为一次函数：，请在图1的平面直角坐标系中画出此一次函数的图象；
步骤2：探究过程
探究①：
取点时，
当时，代入，得，
点在一次函数的图象上，
即．是二元一次方程的解．
探究②：
取点时，将代入得，
不等式成立，
即是二元一次不等式的解．

探究③：
取点时，
在图1中的直角坐标系中描出点，
点在一次函数图象下方，
，即满足；
即是二元一次不等式的解．
步骤3：验证猜想
通过学习步骤2的探究过程，请先判断下列选项中，______（填序号）是二元一次不等式的解；
① ② ③
再写出一组满足二元一次不等式解：______；（备注：若所写的答案是上述题目中已出现过的解，不给分）
步骤4：发现结论
二元一次不等式的解集可以表示为直线______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的区域．
任务二：结论应用
（2）已知不等式组，请在图2的平面直角坐标系中，用阴影部分表示出不等式组的解集所在的区域，并求出该阴影部分的面积．
任务三：拓展升华
（3）在（2）的条件下，若点是阴影部分的一动点，记，则的最大值为______．

【答案】（1）画图见解析；步骤3：①，（答案不唯一）；步骤4：下方；（2）画图见解析；面积为；（3）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与不等式问题，一次函数交点问题，与坐标轴围成的三角形的面积，一次函数的平移；
（1）任务一：根据题意画出直线，结合题意，得出二元一次不等式的解集可以表示为直线下方的所有点组成的区域；
任务二：（2）分别画出，的图象，根据题意画出不等式组的解集所在的区域，进而根据三角形的面积公式，求得面积；
（3）依题意，是直线上的一点，则的值即为与轴的交点的纵坐标，进而观察图形可得当与点重合时，值最大，进而将点代入，即可求解．
【详解】任务一：一次函数：，当时，，当时，过点，画出一次函数解析式，如图所示，

验证猜想，通过学习步骤2的探究过程，
取点，，

在图中的直角坐标系中描出点只有在一次函数图象下方，
，即满足；
即是二元一次不等式的解．
故答案为：①．
观察图象，再写出一组满足二元一次不等式的解：（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）．
步骤4：发现结论，二元一次不等式的解集可以表示为直线下方的所有点组成的区域．
故答案为：下方．
任务二：（2）依题意，对于一次函数，，当时，，则，
对于，当时，，则
联立
解得：，则
如图所示，即为不等式组的解集所在的区域，

（3）在（2）的条件下，若点是阴影部分的一动点，记，
即
∴是直线上的一点，则的值即为与轴的交点的纵坐标，
观察图形可得，当与点重合时，值最大

解得：
故答案为：．
20. 如图，已知，，请结合下述要求完成作图并回答相应问题：
（1）如图1，点在线段的延长线上且，请使用不含刻度的直尺与圆规过点作射线，使得（不写作法，保留作图痕迹并书写相应结论）；
（2）如图2，将线段水平向右进行平移个单位得到线段，请使用不含刻度的直尺与圆规过点作射线的垂线，与交于点（不写作法，保留作图痕迹并书写相应结论），若点在点的左侧，，，则______．
【答案】（1）见解析 （2）图见解析，
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定和性质．
（1）作，利用“同位角相等，两直线平行”即可得到；
（2）利用尺规作图即可作出过点作射线的垂线，再证明四边形和是平行四边形，据此列式计算即可求解．
【小问1详解】
解：如图，射线即为所作：
；
【小问2详解】
解：如图，射线即为所作：
连接，
∵将线段水平向右进行平移个单位得到线段，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
由作图知，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
21. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）；
（2）已知a、b、c分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）是等边三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定，用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，平方差公式及完全平方公式，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点．
（1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解．
（2）等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于的形式，利用非负数的性质求出、、的关系即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：由可得：
∴，
∴
根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于才成立，
∴，，
∴．
∴的形状是等边三角形．
22. 2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元．销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元．
（1）求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？
（2）甲用不小于2750元，但不超过2850元资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求共有几种符合条件的方案？
（3）在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）、型品牌小电器每台进价分别为15元、20元
（2）共种符合条件的方案
（3）型30台，型120台，最大利润是570元．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组解法和应用以及一次函数的图象和性质等知识，搞清这些知识之间的相互联系是解决问题的前提和必要条件．
（1）列方程组即可求出两种风扇的进价，
（2）列一元一次不等式组求出取值范围即可，
（3）再求出利润和自变量之间的函数关系式，根据函数的增减性确定当自变量为何值时，利润最大，由关系式求出最大利润．
【小问1详解】
设、型品牌小电器每台的进价分别为元、元，根据题意得：
，解得：，
答：、型品牌小电器每台进价分别为15元、20元．
【小问2详解】
解：设购进型品牌小电器台
由题意得：，
解得，
∴共有种符合条件的方案
答：种符合条件的方案．
【小问3详解】
设获利为元，由题意得：，
∵所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元
∴
解得：
∴
随的增大而减小，
当台时获利最大，最大元，
答：型30台，型120台，最大利润是570元．
23. 我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．
（1）如图1，是等边三角形，在上任取一点D（B、C除外），连接，我们把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形______（选择是或不是）等补四边形．
（2）如图2，等补四边形中，，，若，求的长．
（3）如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）是 （2）4
（3）8
【解析】
【分析】本题主要考查了利用旋转作全等三角形，三角形和四边形的面积，等补四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用旋转作辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）根据旋转的性质得：，，再证明四边形有一对角互补，根据等补四边形的定义可得结论；
（2）如图2，将绕点顺时针旋转得，先证明三点共线，根据旋转的性质可知：，根据三角形的面积公式可得的长；
（3）如图3，作辅助线：将绕点逆时针旋转的大小，得，先证明三点共线，则，当时，的面积最大，从而得结论．
【小问1详解】
解：由旋转得：，，
∵，
∴，
∴四边形是等补四边形，
故答案为：是；
【小问2详解】
如图2，∵，，
∴将绕点顺时针旋转得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴三点共线，
∵，
∴，
∴，
∴（负值舍去）；
【小问3详解】
∵，
∴将绕点逆时针旋转的大小，得，如图3，
∴，
∵，
∴，
∴三点共线，
∴，
当时，的面积最大，为，
则四边形面积的最大值为8．