河南省新乡市河南师范大学附属中学2024-2025学年八年级下学期4月期中 数学试题（含解析）

这是一份河南省新乡市河南师范大学附属中学2024-2025学年八年级下学期4月期中 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若式子有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，且，，则边的长度为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，，，的对边分别是，则满足下列条件但不是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．6B．12C．24D．48
7．如图，在中，D是的中点，，，则的长是（ ）
A．3B．6C．D．
8．如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在四边形ABCD中，，，，．分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A．B．4C．3D．
10．如图，在正方形中，E为对角线上一点，连结，过点E作，交延长线于点F，以、为邻边作矩形，连结．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．②③④B．①②③C．①②④D．①②③④
二、填空题（本大题共5小题）
11．若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为 ．
12．对于有理数为、，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且和为两个连续正整数，则 ．
13．如图，将有一边重合两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是，若以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点（点位于点右侧），则点表示的数为 ．

14．如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的面积为 ．
15．如图，在平行四边形中，，，，点E是线段上一个动点，将沿折叠到位置、再将沿行折叠到位置，当落在平行四边形边上时，则的长度为 ．
三、解答题（本大题共8小题）
16．计算：
(1)；
(2)．
17．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破．已知点与公路上的停靠站A的距离为米，与公路上另一停靠站的距离为米，且，如图，为了安全起见，爆破点周围半径米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
18．在中，延长边到点，使，连接、和，交于点，．求证：四边形是矩形．
19．如图，是的角平分线．
(1)作线段的垂直平分线，分别交于点；（用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法．）
(2)连接，求证：四边形是菱形．
20．如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①当AE= cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE= cm时，四边形CEDF是菱形；（直接写出答案，不需要说明理由）
21．请用无刻度的直尺完成画图，保留作图痕迹，不要求说明理由．
(1)在图1中，作中边上的中线；
(2)在图2中，作中边上的高；
(3)在图3中，找到点，连接，使得四边形为平行四边形，并且过点作直线使其平分平行四边形的面积．
22．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程：
步骤一：将正方形纸片（边长为4）对折，使得点与点重合，折痕为，再将纸片展开，得到图1．
步骤二：将图1中的纸片的右上角沿着折叠，点落到点的位置，连接，得到图2．
步骤三：在图2的基础上，延长与边交于点，连接，得到图3．
(1)求的度数；
(2)求线段的长度
23．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
(1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是______．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
(2)如图，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点．
①试探索与的数量关系，并说明理由；
②若线段的长度为，则的最小值是______．（不需要解答过程）
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
故选C．
2．【答案】C
【分析】根据二次根式的运算法则各选项判断即可．
【详解】解：A、和不属于同类二次根式，不能运算，故该选项不符合题意；
B、，故该选项计算错误，不符合题意；
C、，计算正确；该选项符合题意；
D、，故该选项计算错误；
故选C
3．【答案】A
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
故选．
4．【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理可判断A和C，根据勾股定理逆定理可判断B和D.
【详解】解：A、，，∴，∴ 是直角三角形；
B、，可设，那么，，，，
∴ 不是直角三角形；
C、，∴，∴ 是直角三角形；
D、∵，∴ 是直角三角形．
故选B．
5．【答案】B
【分析】（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法判断得出即可．
【详解】解：A、，，推出，，则能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意；
B、，，不能判定这个四边形是平行四边形，本选项符合题意；
C、由，推出，又，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意；
D、，，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意；
故选B．
6．【答案】C
【分析】由菱形的性质可得出BO=DO，AB=BC=CD=DA，再根据中位线的性质可得，结合菱形的周长公式即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BO=DO，AB=BC=CD=DA，
∵OE=3，且点E为CD的中点，
是的中位线，
∴BC=2OE=6．
∴菱形ABCD的周长为:4BC=4×6=24．
故选C．
7．【答案】A
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到等边三角形，据此求解即可．
【详解】解：∵在中，，D是的中点，∴，
∵，∴等边三角形，∴．
故此题答案为A．
8．【答案】A
【分析】根据勾股定理求得，进而得出，进而根据等面积法，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
在中，，
∴，
∵菱形的面积为，
∴，
故选A．
9．【答案】A
【分析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出．再根据ASA证明，那么，等量代换得到，利用线段的和差关系求出．然后在直角中利用勾股定理求出CD的长．
【详解】解：如图，连接FC，则．
，
．
在与中，
，
，
，
，．
在中，，
，
，
．
故选A．
10．【答案】B
【分析】①过E作于M点，过E作于N点，如图所示：根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，故①正确；
②利用已知条件可以推出矩形为正方形；根据正方形的性质得到，，推出，故②正确；
③根据②的结论可得，所以，故③正确；
④当时，点C与点F重合，得到不一定等于，故④错误．
【详解】解：①过E作于M点，过E作于N点，如图所示：
∵四边形是正方形，
，，
，
，
∴四边形为正方形，
∵四边形是矩形，
，，
，
又，
在和中，，
，
，
故①正确；
②∵矩形为正方形；
，，
∵四边形是正方形，
，，
，
在和中，，
，
故②正确；
③根据②得，
，
，
故③正确；
④当时，点C与点F重合，
不一定等于，
故④错误，
综上所述：①②③正确．
故选B．
11．【答案】10
【分析】根据非负数的性质求得a、b的值，然后利用勾股定理即可求得该直角三角形的斜边长．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∵直角三角形的两直角边长为a、b,
∴该直角三角形的斜边长=．
12．【答案】11
【分析】根据题意得到，由，即，得到，代入计算即可求解．
【详解】解：∵定义的含义为：当时，，已知，，
∴，
∵，即，
∴，
∴
13．【答案】
【分析】根据勾股定理可以求得和的长，再根据和，点表示的数为，即可写出点表示的数．
【详解】解：，，
，
，
，
，
点表示的数是，
点表示的数为
14．【答案】
【分析】过点作于，于，由题意易得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得，即可得到四边形是菱形，再解中根据直角三角形的性质，求出，即可求解，得出四边形是菱形
【详解】解：过点作于，于，如图所示：
则，
∵两张纸条的对边平行，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
又∵两张纸条的宽度相等，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
解得：，负值舍去，
∴四边形的面积为
15．【答案】或
【分析】如图，当落在上时，由对折可得：，，，，，记垂足为，再进一步可得答案；如图， 当，，此时重合，，，可得落在上，从而可得答案．
【详解】解：∵平行四边形，
∴，，，
如图，当落在上时，
∵由对折可得：，，，，
∴，记垂足为，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
如图，
当，，，
此时重合，，，
∴落在上，
∴，
综上：或．
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简各个二次根式，再计算乘法，然后合并即可得出结果；
（2）根据绝对值、二次根式的性质、零次幂化简各式，然后进行二次根式的加减运算即可得出结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．【答案】没有危险，因此AB段公路不需要暂时封锁．
【分析】判断点C到AB的距离是否小于400米，如果小于则有危险，大于则没有危险．因此过C作CD⊥AB于D，然后根据勾股定理在直角三角形ABC中即可求出AB的长度，然后利用三角形的公式即可求出CD，然后和400米比较大小即可判断需要暂时封锁．
【详解】解：如图，过C作CD⊥AB于D，
∵BC＝800米，AC＝600米，∠ACB＝90°，
∴米，
∵AB•CD＝BC•AC，
∴CD＝480米．
∵400米＜480米，
∴没有危险，因此AB段公路不需要暂时封锁．
18．【答案】见解析
【分析】由四边形是平行四边形，可得，，得到四边形为平行四边形，得到，，推出，即可得证．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，则，
又，
，
四边形为平行四边形，
，．
又，
，
是矩形．
19．【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）利用尺规作线段的垂直平分线即可．
（2）根据四边相等的四边形是菱形即可证明．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求．
（2）证明：连接，如图，
∵平分，
∴，
∴在和中
，
∴，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
20．【答案】（1）证明见解析；（2）① 当AE＝3．5cm时，四边形CEDF是矩形．② 当AE＝2cm时，四边形CEDF是菱形．
【详解】解：（1）∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ CF∥ED，
∴ ∠FCG＝∠EDG，
∵ G是CD的中点，
∴ CG＝DG，
在△FCG和△EDG中，
，
∴ △FCG ≌△EDG（ASA），
∴ FG＝EG，
∵ CG＝DG，
∴ 四边形CEDF是平行四边形；
(2)①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形，
理由是：过A作AM⊥BC于M，
∵∠B=60°，AB=3，
∴BM=1.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，
∵AE=3.5，
∴DE=1.5=BM，
在△MBA和△EDC中，

∴△MBA≌△EDC(SAS)，
∴∠CED=∠AMB=90°，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是矩形，
故答案为3.5；
②当AE=2时，四边形CEDF是菱形，
理由是：
∵AD=5，AE=2，
∴DE=3，
∵CD=3，∠CDE=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE=DE，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是菱形
21．【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）取格点，连接，交于点，则点为的中点，连接，则即为所求；
（2）取格点，连接，则，取格点，连接，交于点，构造，则，即为边上的高；
（3）取格点，连接，与交于点，过点作直线即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，为边上的高；
（3）解：如图，点，直线即为所作；
22．【答案】(1)度
(2)
【分析】（1）利用折叠得到全等三角形，通过角的关系求出的度数；
（2）借助全等得出边的关系，再在直角三角形中运用勾股定理求出线段的长度．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，，
由翻折的性质可知，，，，
，
，
又，，
，
，，
；
（2）解：正方形纸片的边长为4，则，
设，则，，
在中，根据勾股定理得，
，解得，
．
23．【答案】(1)D
(2)①，见解析；②
【分析】（1）由正方形对角线相等且互相垂直可得答案；
（2）①如图，记、的中点分别为、，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论．
②令与的交点为，连接、，当点在上(即、、共线)时，最小，最小值为的长，得到，，再根据①可知，从而计算的最小值，进而求解；
【详解】（1）解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，正方形的对角线相等且互相垂直，
∴一定是“中方四边形”的是正方形；
故选D；
（2）解：①如图，记、的中点分别为、，连接，，，
∵四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点，
∴四边形是正方形，
，，
，
，分别是，的中点，
，
；
②令与的交点为，连接、；
由①可知，；
当点在上(即、、共线)时，最小，最小值为的长，
的最小值，
由题意可知；为正方形；
，
，，
，
，分别是，的中点，
，，
，
的最小值，
即时，最小，即最小；
线段的长度为，
则；
故；
故答案为：