河北省保定市第十七中学2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试卷（含解析）

这是一份河北省保定市第十七中学2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法不一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．8x2 y3＝2x2⋅4 y3B．（ x+1）（ x﹣1）＝x2﹣1
C．3x﹣3y﹣1＝3（ x﹣y）﹣1D．x2﹣8x+16＝（ x﹣4）2
4．数轴是认识数形结合的重要工具．如图，完整的数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（ ）
A．B．C．D．
5．最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ）
A．40cmB．C．D．
6．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于”时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于B．每一个内角都大于等于
C．有一个内角大于等于D．每一个内角都小于
7．将直角边长为的等腰直角绕点逆时针旋转后得到△，则图中阴影部分的面积( )
A．B．C．D．
8．若是完全平方式，则m的值是（ ）
A．7或B．C．7D．7或
9．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A．B．3C．4D．5
12．风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第时，点的对应点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题）
13．用适当的符号表示：m的2倍与n的差是非负数： ．
14．长和宽分别为，的矩形的周长为，面积为，则的值为 ．
15．如图，在中，，的角平分线交于点，于点，如果与的周长分别为13和3．那么的长为 ．
16．对于m，n定义一种新运算T，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算．
若关于x的不等式的最大整数解为，则 ．
三、解答题（本大题共8小题）
17．因式分解：
（1）；
（2）；
（3）．
（4）利用因式分解进行简便计算：；
18．（1）解不等式组：
（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
任务一：
①以上解题过程中，第二步是依据______（运算律）进行变形的；
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
任务二：请直接写出该不等式的正确解集：______．
19．【新情境】
图1是一个平分角的仪器，其中，．
（1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是的平分线吗？请判断并说明理由；
（2）如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，求的面积．
20．在如图平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）将绕原点O顺时针旋转，请画出旋转后的；
（2）将平移后得到，若点A对应点坐标为，
①请画出平移后的；
②若内部一点P的坐标为，则点P的对应点的坐标是______；（用字母a、b表示）．
（3）将绕某一点E旋转可得到，直接写出点E的坐标是______；
（4）若点P是网格中第二象限内的格点，且满足，这样的点P在网格中有______个．
21．【发现】两个连续奇数的平方差是8的整数倍．
【验证】（1）求的结果是8的几倍？
【证明】（2）证明两个连续奇数与（n为整数）的平方差是8的整数倍；
【延伸】（3）两个连续偶数与（m为整数）的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数k，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出k的最小值．
22．综合实践
23．某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数．如表是y与x的几组对应值：
其中，______；
（2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
（3）观察函数图象发现：
该函数图象的最低点坐标是______；当时，y随x的增大而______；
（4）进一步探究：
①不等式的解集是______；
②若关于x的方程只有一个解，则k的取值范围是______；
（5）拓展延伸：①请在平面直角坐标系内画出函数的图象；
②直接写出不等式的解集：______．
24．综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片．
（1）【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了．
根据以上信息，请填空：
①；
②线段，，之间的数量关系为__________；
（2）【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立，若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明；
（3）【拓展应用】如图3，已知，，，小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出的长．
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选D．
【关键点拨】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形；将一个图形绕某点旋转，能与本身重合，这样的图形是中心对称图形．
2．【答案】C
【详解】解：A．在不等式的两边同时加上c，不等式仍成立，即，说法正确；
B．在不等式的两边同时减去c，不等式仍成立，即，说法正确；
C．当c=0时，若，则不等式不成立；
D．在不等式的两边同时除以不为0的，该不等式仍成立，即，说法正确.故此题答案为C．
【知识归纳】等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．
3．【答案】D
【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解.
【详解】①是单项式的变形，不是因式分解；
②是多项式乘以多项式的形式，不是因式分解；
③左侧是多项式加减，右侧也是多项式加减，不是因式分解；
④符合因式分解的定义，结果是整式的积，因此D正确；
故选D．
4．【答案】A
【分析】根据题意得到，解得，再逐项判断即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，
解得：，
在中只有
∴的值可以是，
故选A．
5．【答案】D
【分析】连接，过B作于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：连接，过B作于D，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即机器狗正常状态下的高度为，
故选D．
6．【答案】B
【详解】解：用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于”时，
应先假设这个三角形中每一个内角都不小于，即每一个内角都大于或等于．
故选．
7．【答案】A
【分析】根据旋转的性质，旋转角∠CAC=15∘，则∠BAC=45∘−15∘=30°，可见阴影部分是一个锐角为30°的直角三角形，且已知直角边AC=3厘米，根据勾股定理或者三角函数求出另一直角边即可解答．
【详解】解：设与交于点，
根据旋转性质得，而，
，
又，，
，
阴影部分的面积．
故选．
8．【答案】D
【分析】完全平方公式：这里首末两项是和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和4积的2倍，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴在中，，
解得：或．
故选D．
9．【答案】A
【分析】根据程序运算进行了3次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组：，解之即可得出x的取值范围．
【详解】解：依题意，得：
，
由①得：
，
由②得：＞，
＞
＞，
所以不等式组的解集为：．
故选A
10．【答案】C
【分析】设购买篮球个，则购买排球个，再结合题意列出不等式组即可．
【详解】解：设购买篮球个，则购买排球个，
由购买资金不超过3600元，可列，
由购买篮球的数量不少于排球数量的一半，可列，
即可列不等式组为．
故选C．
11．【答案】D
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选D．
12．【答案】B
【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、4s时，点A的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点A的对应点的坐标．
【详解】解：∵，
∴A在第一象限的角平分线上，
∵叶片每秒绕原点顺时针转动，
∴，，，，
∴点A的坐标以每4秒为一个周期依次循环，
∵，
∴第时，点A的对应点的坐标与相同，为．
故此题答案为B．

13．【答案】2m-n≥0.
【详解】数m的2倍为2m，与n的差为：2m-n；
则m的2倍与n的差是非负数可表示为：2m-n≥0．
14．【答案】
【详解】解：根据题意得：，，
∴.
15．【答案】
【分析】先由角平分线的定义和性质得到，，再由三角形周长计算公式得到；接着证明得到，据此根据线段的和差关系求解即可．
【详解】解：∵的角平分线交于点，，，
∴，，
∵与的周长分别为13和3，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
16．【答案】/
【分析】根据题意列出一元一次不等式，解不等式得到，再根据关于的不等式的最大整数解为进行求解即可．
【详解】解：由题意可得，，
∴
解得，
∵关于的不等式的最大整数解为，
∴
解得
∵为最大整数，
∴.
17．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】（1）直接提取公因式即可；
（2）先化为，再利用完全平方公式分解因式即可；
（3）先化为，再提取公因式结合平方差公式分解因式即可；
（4）先化为，再结合完全平方公式计算即可；
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
18．【答案】（1）；（2）任务一：①乘法分配律；②三，移项没有变号；任务二：
【分析】（1）先求出各不等式的解集，再求出公共部分的解集，即可得到不等式组的解集；
（2）任务一：①根据乘法分配律即可解答；②根据小明同学的解题过程即可解答；任务二：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解．
【详解】解：（1），
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解集为．
（2）解：任务一：
①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（运算律）进行变形的．
②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项没有变号．
任务二：
，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
该不等式的正确解集为．
19．【答案】（1）是的平分线，见详解
（2）12
【分析】（1）利用证明来得到即可．
（2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用面积计算公式解题即可．
【详解】（1）解：是的平分线，
理由如下：
在和中，
，
，
平分；
（2）解：过点作于点，
平分，
，
，
．
20．【答案】（1）见详解
（2）①见详解；②
（3）
（4）9
【分析】（1）绕原点O顺时针旋转，旋转前后对应点的横纵坐标互为相反数，据此描出，再顺次连接即可；
（2）①根据点A和点的坐标，可判断出平移方式，进而确定的坐标，描出，再顺次连接即可；②根据平移方式即可得到带你的坐标；
（3）可证明四边形是平行四边形，则点E即为四边形对角线的交点，据此根据两点中点坐标计算公式求解即可；
（4）由可知，点P到直线的距离等于点B到直线的距离的一半或点P到直线的距离等于点C到直线的距离的一半或点P到直线的距离等于点A到直线的距离的一半，据此根据网格的特点作图求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：①如图所示，即为所求；
②∵将平移后得到，点对应点坐标为，
∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，
∵内部一点P的坐标为，
∴点P的对应点的坐标是；
（3）解：由平移和旋转的性质可得，
∴四边形是平行四边形，
∵将绕某一点E旋转可得到，
∴点E即为四边形对角线的交点，
∵，
∴，即；
（4）解：如图所示，到即为所求，
∴一共有9个点P符合题意．
21．【答案】（1）是8的8倍；（2）见详解；（3）两个连续偶数的平方差是4的倍数，不是8的倍数，若使得最后的结果是8的整数倍，加上正整数的最小值为4．
【分析】（1）通过计算即可得出答案；
（2）应用因式分解的方法计算，据此可得出结论；
（3）首先设两个连续的偶数分别为：，，再计算，据此可得出答案．
【详解】（1）解：∵
，
∴是8的8倍；
（2）证明：
，
∴两个连续奇数，的平方差是8的倍数；
（3）解：两个连续偶数的平方差是4的倍数．
理由如下：
设两个连续的偶数分别为：，，
∵
，
∴两个连续偶数的平方差是4的倍数，不是8的倍数，
∵
∴若使得最后的结果是8的整数倍，加上正整数的最小值为4．
22．【答案】任务1：A款亚运盲盒的销售单价为元，B款亚运盲盒的销售单价为元；
任务2：；；
任务3：购买A款盲盒的数量在范围内时，线下购买方式更合算.
【分析】任务1：根据题意找到等量关系，并列出二元一次方程组求解即可；
任务2：根据线上和线下销售活动规则分别列式表示即可；
任务3：根据题意列出不等式求解即可．
【详解】解：任务1：设A款盲盒销售单价为元，B款盲盒单价为元，
根据题意得，解得，
答：该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒单价为元，B款亚运盲盒单价为元.
任务2：若在线下商店购买，共需要元，
若在线上淘宝店购买，共需要元.
任务3：由题意可得，
解得，
答：购买A款盲盒的数量在范围内时，线下购买方式更合算．
23．【答案】（1）
（2）画见详解
（3）①，②减小
（4）①或；②或；
（5）①画见详解；②
【分析】（1）根据函数，计算出当对应的函数值，从而可以求得的值；
（2）根据（1）中表格的数据，可以画出相应的函数图象；
（3）根据函数图象即可求得答案；
（4）观察函数图象，①根据函数图象即可求得答案；②先画出，的图象，再根据函数图象即可求得的取值范围；
（5）①如图，把向下平移2个单位长度可得：的图象；②把化为，再结合函数图象可得答案．
【详解】（1）解：当时，，
∴；
（2）解：画出该函数图象的另一部分如图；
；
（3）解：观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是；
当时，随的增大而减小；
（4）解：观察图象，①不等式的解集是或；
②如图，
当关于的方程只有一个解，
则函数与函数的图象只有一个交点，
则的取值范围是或；
（5）解：①如图，把向下平移2个单位长度可得：的图象；
②∵，
∴，
结合图象可得：；
24．【答案】（1）①；②
（2）仍然成立，见详解
（3）或
【分析】（1）①根据旋转的性质得到，由等腰直角三角形的性质，继而得到，即可得解；
②根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，然后根据线段的和差求解即可；
（2）将绕点旋转顺时针得，与重合，根据题意证明出，得到，进而求解即可；
（3）根据题意分两种情况讨论：和，首先根据旋转的性质构造全等三角形，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：①∵绕点顺时针旋转得到，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴.
②绕点顺时针旋转得到，，
∴，，，
∴，即，，三点共线，
∵，，
∴，
在和中，
，
∵，
∴，
∴.
（2）仍然成立．
证明：∵，
∴如图所示，将绕点旋转顺时针得，与重合，
∴，，，，
又∵，
∴，即，，三点共线，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：如图所示，当时，
∵，，
∴，，
∴，，
将绕点顺时针旋转得到，
∴，
∴，，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴；
如图所示，当时，
将绕点顺时针旋转得到，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，则，
由（1）得，
∴，
∴设，则，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，的长为或．
解：，……第一步
.………………第二步
，.…………………第三步
..…………………第四步
.…………………第五步
背景
亚运会期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A，B两种款式的亚运盲盒作为奖品．
素材1
某商店在无促销活动时，若买个A款亚运盲盒，个B款亚运盲盒，共需元；若买个A款亚运盲盒，个B款亚运盲盒，共需元．
素材2
该商店龙年迎新春促销活动：用元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
问题解决
任务1
某商店在无促销活动时，求A款亚运盲盒和B款亚运盲盒的销售单价各是多少元？
任务2
小明计划在促销期间购买A，B两款盲盒共个，其中A款盲盒m个（），
若在线下商店购买，共需要______元；
若在线上淘宝店购买，共需要______元．（均用含m的代数式表示）
任务3
请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？
x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
…
5
4
m
2
1
0
1
2
3
…