广东省云浮市罗定市2024-2025学年下学期期中八年级 数学试卷（含解析）

这是一份广东省云浮市罗定市2024-2025学年下学期期中八年级 数学试卷（含解析），共16页。
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的学校、姓名、班级、考号等考生信息．用2B铅笔把对应考号栏的标号涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔、涂改液、涂改带等．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生务必保持答题卡的整洁，切勿折叠．
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的．
1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．
根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A．，是最简二次根式，符合题意；
B．，不符合题意；
C．，不符合题意；
D．，不符合题意；
故选：A．
2. 化简的结果是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式性质，根据二次根式的性质：，即可得出结果．
【详解】解：；
故选C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的四则运算，掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式的加、减、乘、除运算法则逐项计算即可．
【详解】解：A、和不是同类二次根式，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
4. 下列叙述中，正确的是
A. 直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方
B. 如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
C. 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若，则∠A=90º
D. 中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理及三角形对边与对角的知识求解．
【详解】解：∵由勾股定理知，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，而直角边应该都小于斜边，所以直角三角形中，应该是较小两条边的平方和等于第三边的平方，∴A错误；
∵由勾股定理的逆定理可得：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，∴B正确；
∵，∴c为斜边，c的对角∠C=90º，∴C错误；
∵△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠B=90º，∴b为斜边，∴，D错误；
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的简单应用，注意勾股定理是“两直角边的平方和等于斜边的平方”，所以注意分清直角边和斜边及其所对角是解题关键．
5. 如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，则木杆折断之前的高度为（ ）
A. 5mB. 7mC. 8mD. 9m
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，设折断部分的高度为，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：设折断部分的高度为，由题意和勾股定理，得：，
∴木杆折断之前的高度为；
故选C．
6. 在四边形中，，添加下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查添加条件使四边形为平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，或两组对边分别平行的四边形为平行四边形，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴当时，四边形是平行四边形；故选项B符合题意；
当时，四边形是平行四边形；
当时，无法判定四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
当时，无法判定四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
当，则：，无法判定四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选B
7. 给出下列判断，正确的是（ ）
A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形
【答案】D
【解析】
【分析】依据平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及菱形的判定方法，即可得出结论．
【详解】解：A. 一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项不正确，不符合题意；
C. 对角线互相平分，垂直且相等的四边形是正方形，故该选项不正确，不符合题意；
D. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了特殊四边形的判定方法，解题关键在于掌握各特殊四边形的判定方法．
8. 如图，在四边形中，，，，，且，则四边形面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢记勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
先由勾股定理求出，则，再通过勾股定理逆定理得，最后由即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
，
故选：．
9. 如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是2，于点B，且，以A点为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出，再由勾股定理可求得， 再由，即可得点D表示的数．
【详解】∵点A表示的数是，点B表示的数是2，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点A表示的数是，
∴点D表示数是：，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、数轴上的点表示实数，掌握勾股定理是关键．
10. 如图，矩形中，，点E是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点F，交于点H，连接交于点G．若G是的中点，则的长是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】过点E作于点P，证明四边形和四边形为矩形，得出，，根据证明，得出，又垂直平分，得出，令，则，进而，，，在中，，进行求解即可．
【详解】解：过点E作于点P，
在矩形中
，，
∴四边形和四边形为矩形，
又，，
∴，，
∵G是的中点，
∴，
又∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
令，则，
又∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理以及全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形求边长．
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11. 已知一菱形的边长为4，则其周长为___________．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的四边相等，即可得出结果．
【详解】解：菱形的周长为．
故答案为：16．
12. 要使有意义，必须满足______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于 0 ．
先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
，
解得．
故答案为：．
13. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理等知识点．三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积．
【详解】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方，另一条直角边的平方，由勾股定理可知：斜边的平方，即A所代表的正方形的面积为25．
∴A所代表的正方形的边长为5．
故答案为：5．
14. 当x＝﹣1时，代数式x2+2x+2的值是_____．
【答案】24
【解析】
【分析】将原式化为x2+2x+1+1的形式并运用完全平方公式进行求解.
【详解】解：原式=(x+1)2+1=(﹣1+1)2+1=23+1=24，
故答案24.
【点睛】观察并合理使用因式分解的相关公式可以大大简化计算过程.
15. 如图在正方形中，点E在上，连接，，F为的中点连接．若，则的长为_________．

【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的性质得到，，设，根据勾股定理求出的值，再根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：正方形
，
F为的中点，
设
，
在中，
即
解得
故，
在中
解得（负值舍去）
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
17. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．求证：是直角三角形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】先根据勾股定理的逆定理得出各边平方的值，再根据勾股定理的逆定理进行判定即可．
【详解】证明：
由图可知，，，，
，
是直角三角形．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题关键．
18. 如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点，且，求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证≌是解答本题的关键．
由平行四边形的性质可得，即，根据可得≌，最后根据全等三角形的性质即可解答．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
∴≌，
．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19. 如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米．
（1）政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长；
（2）现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值．
【答案】（1）475米
（2）1000米
【解析】
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，确定出Q、P的位置是本题的关键．
（1）设，则，根据利用勾股定理即可得出结果．
（2）作A关于l的对称点，连接，交l于P，由对称性得的最小值为线段的长，作于点E，在中，根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
解：如图1，
根据题意得：，
设，则，
，
解得，
即的长为475米；
【小问2详解】
如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P．
则，
，
的最小值为，
如图，作于点E，
在中，
米，米，
米，
的最小值为1000米．
20. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】
【解析】
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并得到原式，然后把、的值代入计算．
【详解】解：
原式
当，时，原式
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值,熟练运算二次根式是解题关键．
21. 图1是某重型卡车，图2是一个长方体木箱从重型卡车上卸下某时刻的平面示意图．已知重型卡车车身的高度为4m，卸货时会利用到辅助挡板，此时弯折落在处（即），，经过测量得，，四边形为矩形，当木箱底部顶点G与点重合时（为水平线，，，互相平行）．
（1）求的长．
（2）求图中木箱上点F到直线的距离．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）先求出，设，则，根据勾股定理得出，即，解方程即可得出答案；
（2）过点F作交于H，根据矩形的性质得出，求出，得出，根据题意可得，，求出，进而可得出答案．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵，
在中，设，则，
∴，即，
解得：，即，
答：的长为；
【小问2详解】
解：过点F作交于H，

∵四边形矩形，，
∴，
∴，
∴，
∵，，互相平行，
∴，，
∵，
∴，
∴F到直线的距离为，
答：F到直线的距离．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质，正确理解题意是解题的关键．
五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22. 已知：如图是直角三角形，，点分别在边上，且，，．

（1）证明：线段能组成直角三角形；
（2）当是边上的中点时，判断：的位置关系．
【答案】（1）证明见解析；
（2），理由见解析．
【解析】
【分析】（）根据勾股逆定理即可求证；
（）延长，使得，连接，证明，得到，，得到，根据平行线的性质得到，由勾股定理得到，进而得到，由等腰三角形三线合一即可求证；
本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴线段能组成直角三角形；
【小问2详解】
解：．
理由：延长，使得，连接，

∵是边上的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
即．
23. 在四边形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．点Q在的延长线上且．
（1）如图1，若四边形是正方形．
①求的度数；
②探究与的数量关系并说明理由．
（2）如图2，若四边形是菱形且．探究与的数量关系并说明理由．
【答案】（1）①；②，详见解析
（2），详见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形和菱形的性质、全等三角形的判定和性质、腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定等知识点，熟练掌握有关基础知识是解题的关键．
（1）①先证明，进而推出；可得出，根据等边对等角和8字形模型即可解答；②如图2，如图2，在上取一点N，使，连接，证明，再根据全等三角形的性质即可解答；
（2）如图3，过点D作于E，连接，先证明是等边三角形，再证明和，进而完成解答．
【小问1详解】
解：①如图：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②，理由如下：
如图2，在上取一点N，使，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：，理由如下：
如图3，过点D作于E，连接，
∴，，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，是等边三角形，
∴，
由（1）同理得：，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即．